Sistema de números logarítmicos

Un sistema numérico logarítmico ( LNS ) es un sistema aritmético utilizado para representar números reales en computadoras y hardware digital , especialmente para el procesamiento de señales digitales .

Descripción general

Un número, , está representado en un LNS por dos componentes: el logaritmo ( ) de su valor absoluto (como una palabra binaria generalmente en complemento a dos ) y su bit de signo ( ): ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle s}$

${\displaystyle X\rightarrow {\begin{cases}x=\log _{b}{\big |}X{\big |}\,,\\s={\begin{cases}0{\text{ if }}X>0\,,\\1{\text{ if }}X<0\,.\end{cases}}\end{cases}}}$

Un LNS se puede considerar como un número de coma flotante cuyo significado siempre es igual a 1 y un exponente no entero . Esta formulación simplifica las operaciones de multiplicación, división, potencias y raíces, ya que se reducen a suma, resta, multiplicación y división, respectivamente.

En cambio, las operaciones de suma y resta son más complicadas y se calculan mediante las fórmulas:

${\displaystyle \log _{b}(|X|+|Y|)=x+s_{b}(y-x)\,,}$

${\displaystyle \log _{b}{\bigg |}|X|-|Y|{\bigg |}=x+d_{b}(y-x)\,,}$

donde la función "suma" está definida por y la función "diferencia" por . Estas funciones y también se conocen como logaritmos gaussianos . ${\displaystyle s_{b}(z)=\log _{b}(1+b^{z})}$ ${\displaystyle d_{b}(z)=\log _{b}{\big |}1-b^{z}{\big |}}$ ${\displaystyle s_{b}(z)}$ ${\displaystyle d_{b}(z)}$

La simplificación de la multiplicación, la división, las raíces y las potencias se ve contrarrestada por el costo de evaluar estas funciones para la suma y la resta. Este costo adicional de evaluación puede no ser crítico cuando se utiliza un LNS principalmente para aumentar la precisión de las operaciones matemáticas de punto flotante.

Historia

Los sistemas numéricos logarítmicos se han inventado y publicado de forma independiente al menos tres veces como alternativa a los sistemas numéricos de punto fijo y punto flotante . ^[1]

Nicholas Kingsbury y Peter Rayner introdujeron la "aritmética logarítmica" para el procesamiento de señales digitales (DSP) en 1971. ^[2]

Un LNS similar denominado "sistema de números logarítmicos con signo" (SLNS) fue descrito en 1975 por Earl Swartzlander y Aristides Alexopoulos ; en lugar de utilizar la notación en complemento a dos para los logaritmos, los compensan (escalan los números que se representan) para evitar registros negativos. ^[3]

Samuel Lee y Albert Edgar describieron un sistema similar, al que llamaron sistema numérico "Focus", en 1977. ^{[4] [1] [5] [6]}

Los fundamentos matemáticos para la suma y la resta en un LNS se remontan a Zecchini Leonelli y Carl Friedrich Gauss a principios del siglo XIX. ^{[7] [8] [9] [10] [11]}

Aplicaciones

A finales del siglo XIX, el ingeniero español Leonardo Torres Quevedo concibió una serie de máquinas mecánicas calculadoras analógicas ^{[12] [13]} y desarrolló una que podía resolver ecuaciones algebraicas con ocho términos, encontrando raíces, incluidas las complejas. Una parte de esta máquina llamada "huso sin fin" permitía la expresión mecánica de la relación , ^[14] con el objetivo de extraer el logaritmo de una suma como suma de logaritmos. ${\displaystyle y=\log(1+10^{x})}$

Se ha utilizado un LNS en la supercomputadora de propósito especial Gravity Pipe ( GRAPE-5 ) ^[15] que ganó el Premio Gordon Bell en 1999.

En el contexto del microprocesador logarítmico europeo (ELM), se describe un esfuerzo sustancial para explorar la aplicabilidad de los LNS como una alternativa viable al punto flotante para el procesamiento de propósito general de números reales de precisión simple. ^{[16] [17]} Un prototipo fabricado del procesador, que tiene una unidad lógica aritmética (ALU) LNS basada en cotransformación de 32 bits, demostró que los LNS son una "alternativa más precisa al punto flotante", con velocidad mejorada. Una mejora adicional del diseño LNS basado en la arquitectura ELM ha demostrado su capacidad para ofrecer también una velocidad y precisión significativamente mayores que el punto flotante. ^[18]

Los LNS a veces se utilizan en aplicaciones basadas en FPGA donde la mayoría de las operaciones aritméticas son multiplicación o división. ^[19]

Ver también

• Decibel
• Número subnormal
• Punto flotante cónico (TFP)
• Aritmética de índice de nivel (LI) y aritmética de índice de nivel simétrica (SLI)
• logaritmo gaussiano
• logaritmo de zech
• UIT-T G.711
• Algoritmo de ley A
• algoritmo de ley μ

Referencias

1. Lee, Samuel C.; Edgar, Albert D. (septiembre de 1979). "Anexo al "Sistema numérico de enfoque"". Transacciones IEEE en Computadoras . C-28 (9). IEEE : 693. doi :10.1109/TC.1979.1675442. ISSN  0018-9340.(NB. El nombre de Nicholas Kingsbury está escrito incorrectamente en esta cita).
2. Kingsbury, Nicolás G.; Rayner, Peter JW (28 de enero de 1971). "Filtrado digital mediante aritmética logarítmica". Letras de Electrónica . 7 (2). Institución de Ingeniería y Tecnología (IET): 56–58. doi :10.1049/el:19710039. ISSN  0013-5194.También reimpreso en: Swartzlander, Jr., Earl E., ed. (1990). Aritmética informática . vol. I. Los Alamitos, CA, EE. UU.: IEEE Computer Society Press .
3. Swartzlander, Jr., Earl E.; Alexopoulos, Aristides Georgiou (diciembre de 1975). "El sistema numérico de signos/logaritmos". Transacciones IEEE en computadoras . C-24 (12). IEEE : 1238–1242. doi :10.1109/TC.1975.224172. ISSN  0018-9340.También reimpreso en: Swartzlander, Jr., Earl E., ed. (1990). Aritmética informática . vol. I. Los Alamitos, CA, EE. UU.: IEEE Computer Society Press .
4. Lee, Samuel C.; Edgar, Albert D. (noviembre de 1977). "El sistema numérico de enfoque". Transacciones IEEE en computadoras . C-26 (11). IEEE : 1167–1170. doi :10.1109/TC.1977.1674770. ISSN  0018-9340.
5. Lee, Samuel C.; Edgar, Albert D. (1977). "Capítulo I.1.: Diseño de Microcomputadores - Sistema Numérico de Microcomputadores Focus". En Lee, Samuel C. (ed.). Diseño y aplicaciones de microcomputadores . Academic Press, Inc. págs. 1–40. doi :10.1016/B978-0-12-442350-3.50005-5. ISBN 0-12-442350-7.[1]
6. Edgar, Alberto D.; Lee, Samuel C. (marzo de 1979). "Sistema numérico de microcomputadoras FOCUS". Comunicaciones de la ACM . 22 (3). Prensa ACM : 166–177. doi : 10.1145/359080.359085 .
7. Leonelli, Zecchini (1803) [1802]. Suplemento logarítmico. Théorie des logarithmes adicionalmente et diductifs (en francés). Burdeos: Brossier.(NB. 1802/1803 es el año XI. en el Calendario Republicano Francés .)
8. Leonhardi, Gottfried Wilhelm (1806). LEONELLIs logarithmische Supplemente, als ein Beitrag, Mängel der gewöhnlichen Logarithmentafeln zu ersetzen. Aus dem Französischen nebst einigen Zusätzen von GOTTFRIED WILHELM LEONHARDI, Souslieutenant beim kurfürstlichen sächsischen Feldartilleriecorps (en alemán). Dresde: Walther'sche Hofbuchhandlung.(NB. Una traducción ampliada del Supplément logarithmique de Zecchini Leonelli . Théorie des logarithmes adicionalmente et diductifs .)
9. Gauss, Johann Carl Friedrich (12 de febrero de 1808). "LEONELLI, Suplemento logarítmico". Allgemeine Literaturzeitung (en alemán) (45). Halle-Leipzig: 353–356.
10. "Logaritmo: suma y resta, o logaritmos gaussianos". Encyclopædia Britannica undécima edición .
11. Dunnington, Guy Waldo (2004) [1955]. Gris, Jeremy; Dohse, Fritz-Egbert (eds.). Carl Friedrich Gauss – Titán de la ciencia. Serie Spectrum (edición revisada). Asociación Matemática de América (MAA). ISBN 978-0-88385-547-8.
12. Horsburg, Ellice Martín (1914). "La solución instrumental de ecuaciones numéricas por D. Gibb, MA". Escrito en la exposición del tricentenario de Napier. Instrumentos y métodos de cálculo modernos: un manual de la exposición del tricentenario de Napier . Gerstein – Universidad de Toronto. Londres, Reino Unido: G. Bell. pag. 263.
13. Mehmke, Rudolf [en alemán] (1908). "I23". Encyclopédie des sciences mathematiques pures et appliquées . París, Francia: Gauthier-Villars. pag. 351.
14. F. Tomás. Breve relato sobre el huso sin fin , la teoría del mecanismo y las máquinas de Leonardo Torres, vol. 43, núm. 8, págs. 1055-1063, 2008.
15. Makino, Junichiro; Taiji, Makoto (1998). Simulaciones científicas con computadoras de propósito especial: los sistemas GRAPE. John Wiley e hijos . Código Bib : 1998sssc.book.....M. ISBN 978-0-471-96946-4.
16. Coleman, John Nicolás; Softley, Christopher I.; Kadlec, Jiri; Matousek, Rudolf; Ličko, Miroslav; Pohl, Zdenek; Hermanek, Antonin (7 de agosto de 2002) [4 de noviembre de 2001]. "El microprocesador logarítmico europeo: una aplicación QR RLS". Acta de la trigésima quinta conferencia de Asilomar sobre señales, sistemas y computadoras (Cat.No.01CH37256) . vol. 1. Monterey, CA, EE. UU.: IEEE . págs. 155-159. doi :10.1109/ACSSC.2001.986897. ISBN 0-7803-7147-X. ISSN  1058-6393.
17. Coleman, John Nicolás; Softley, Christopher I.; Kadlec, Jiri; Matousek, Rudolf; Tichy, Milán; Pohl, Zdenek; Hermanek, Antonin; Benschop, Nico F. (abril de 2008) [26 de febrero de 2008]. "El microprocesador logarítmico europeo". Transacciones IEEE en computadoras . 57 (4). IEEE : 532–546. doi :10.1109/TC.2007.70791. ISSN  0018-9340.
18. Ismail, R. Che; Coleman, John Nicholas (18 de agosto de 2011) [25 de julio de 2011]. "LNS sin ROM". 2011 IEEE 20º Simposio sobre aritmética informática . IEEE . págs. 43–51. doi :10.1109/ARITH.2011.15. ISBN 978-1-4244-9457-6. ISSN  1063-6889.
19. Fu, Haohuan; Mencer, Oskar; Luk, Wayne (2 de enero de 2007) [13 de diciembre de 2006]. "Comparación de representaciones de números logarítmicos y de punto flotante para aceleración reconfigurable". Conferencia internacional IEEE 2006 sobre tecnología programable en campo . IEEE . págs. 337–340. doi :10.1109/FPT.2006.270342. ISBN 978-0-7803-9728-6.

Otras lecturas

• Müller, Jean-Michel; Scherbyna, Alexandre; Tisserand, Arnaud (febrero de 1998). "Sistemas numéricos semilogarítmicos" (PDF) . Transacciones IEEE en computadoras . 47 (2): 145-151. doi : 10.1109/12.663760. ISSN  0018-9340. Archivado (PDF) desde el original el 13 de julio de 2018 . Consultado el 11 de julio de 2018 .Publicado anteriormente en: Muller, Jean-Michel; Scherbyna, Alexandre; Tisserand, Arnaud (julio de 1995). "Sistemas numéricos semilogarítmicos". Actas del 12º Simposio IEEE sobre aritmética informática ( ARITH 12 ) . Bath, Reino Unido.
• Kahrs, Marcos; Brandeburgo, Karlheinz, eds. (2002) [1998]. Aplicaciones del procesamiento de señales digitales al audio y la acústica (PDF) . Publicaciones académicas de Kluwer . ISBN 0-7923-8130-0. Archivado (PDF) desde el original el 7 de julio de 2018 . Consultado el 7 de julio de 2018 .(NB. Describe un LNS de 13 bits utilizado en los sintetizadores de música Yamaha durante la década de 1980).
• Kremer, Hermann (29 de agosto de 2002). "Gauss'sche Additionslogarithmen feiern 200. Geburtstag". de.sci.mathematik (en alemán). Archivado desde el original el 7 de julio de 2018 . Consultado el 7 de julio de 2018 .
• Zehendner, Eberhard (verano de 2008). "Rechnerarithmetik: Logarithmische Zahlensysteme" (PDF) (guión de la conferencia) (en alemán). Universidad Friedrich Schiller de Jena . Archivado (PDF) desde el original el 9 de julio de 2018 . Consultado el 9 de julio de 2018 .[2]
• Hayes, Brian (septiembre-octubre de 2009). "La aritmética superior". Científico americano . 97 (5): 364–368. doi :10.1511/2009.80.364. Archivado desde el original el 9 de julio de 2018 . Consultado el 9 de julio de 2018 .[3]. También reimpreso en: Hayes, Brian (2017). "Capítulo 8: Aritmética superior". Infalibles y otras meditaciones matemáticas (1 ed.). La prensa del MIT . págs. 113-126. ISBN 978-0-26203686-3. ISBN 0-26203686-X . 
• Amir Sabbagh, Molahosseini; de Sousa, Leonel Seabra; Chip-Hong Chang, eds. (21 de marzo de 2017). Diseño de sistemas integrados con sistemas numéricos y aritméticos especiales (1 ed.). Springer International Publishing AG . doi :10.1007/978-3-319-49742-6. ISBN 978-3-319-49741-9. LCCN  2017934074.(389 páginas)

enlaces externos

• Un sitio que enumera artículos de LNS
• esprit: microprocesador logarítmico europeo (anteriormente proyecto 'Aritmética logarítmica de alta velocidad' (HSLA))
• Una biblioteca VHDL para la generación de hardware LNS
• Un breve relato sobre el huso sin fin de Leonardo Torres