Distribución logística

Distribución de probabilidad continua

En teoría de probabilidad y estadística , la distribución logística es una distribución de probabilidad continua . Su función de distribución acumulativa es la función logística , que aparece en la regresión logística y en las redes neuronales de propagación hacia adelante . Se parece a la distribución normal en forma, pero tiene colas más pesadas (mayor curtosis ). La distribución logística es un caso especial de la distribución lambda de Tukey .

Especificación

Función de distribución acumulativa

La distribución logística recibe su nombre de su función de distribución acumulativa , que es una instancia de la familia de funciones logísticas. La función de distribución acumulativa de la distribución logística es también una versión escalada de la tangente hiperbólica .

${\displaystyle F(x;\mu ,s)={\frac {1}{1+e^{-(x-\mu )/s}}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\operatorname {tanh} \left({\frac {x-\mu }{2s}}\right).}$

En esta ecuación , μ es la media y s es un parámetro de escala proporcional a la desviación estándar .

Función de densidad de probabilidad

La función de densidad de probabilidad es la derivada parcial de la función de distribución acumulativa:

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x;\mu ,s)&={\frac {\partial F(x;\mu ,s)}{\partial x}}={\frac {e^{-(x-\mu )/s}}{s\left(1+e^{-(x-\mu )/s}\right)^{2}}}\\[4pt]&={\frac {1}{s\left(e^{(x-\mu )/(2s)}+e^{-(x-\mu )/(2s)}\right)^{2}}}\\[4pt]&={\frac {1}{4s}}\operatorname {sech} ^{2}\left({\frac {x-\mu }{2s}}\right).\end{aligned}}}$

Cuando el parámetro de ubicación  μ es 0 y el parámetro de escala  s es 1, entonces la función de densidad de probabilidad de la distribución logística está dada por

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x;0,1)&={\frac {e^{-x}}{(1+e^{-x})^{2}}}\\[4pt]&={\frac {1}{(e^{x/2}+e^{-x/2})^{2}}}\\[5pt]&={\frac {1}{4}}\operatorname {sech} ^{2}\left({\frac {x}{2}}\right).\end{aligned}}}$

Debido a que esta función se puede expresar en términos del cuadrado de la función secante hiperbólica "sech", a veces se la denomina distribución sech-cuadrado(d) . ^[2] (Véase también: distribución secante hiperbólica ).

Función cuantil

La función de distribución acumulativa inversa ( función cuantil ) de la distribución logística es una generalización de la función logit . Su derivada se denomina función de densidad cuantil. Se definen de la siguiente manera:

${\displaystyle Q(p;\mu ,s)=\mu +s\ln \left({\frac {p}{1-p}}\right).}$

${\displaystyle Q'(p;s)={\frac {s}{p(1-p)}}.}$

Parametrización alternativa

Se puede derivar una parametrización alternativa de la distribución logística expresando el parámetro de escala, , en términos de la desviación estándar, , utilizando la sustitución , donde . Las formas alternativas de las funciones anteriores son razonablemente sencillas. ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle s\,=\,q\,\sigma }$ ${\displaystyle q\,=\,{\sqrt {3}}/{\pi }\,=\,0.551328895\ldots }$

Aplicaciones

La distribución logística —y el patrón en forma de S de su función de distribución acumulativa (la función logística ) y su función cuantil (la función logit )— se han utilizado ampliamente en muchas áreas diferentes.

Regresión logística

Una de las aplicaciones más comunes es la regresión logística , que se utiliza para modelar variables dependientes categóricas (por ejemplo, opciones de sí o no o una elección de 3 o 4 posibilidades), de forma muy similar a como se utiliza la regresión lineal estándar para modelar variables continuas (por ejemplo, ingresos o población). Específicamente, los modelos de regresión logística se pueden formular como modelos de variable latente con variables de error que siguen una distribución logística. Esta formulación es común en la teoría de los modelos de elección discreta , donde la distribución logística juega el mismo papel en la regresión logística que la distribución normal en la regresión probit . De hecho, las distribuciones logística y normal tienen una forma bastante similar. Sin embargo, la distribución logística tiene colas más pesadas , lo que a menudo aumenta la solidez de los análisis basados ​​en ella en comparación con el uso de la distribución normal.

Física

La PDF de esta distribución tiene la misma forma funcional que la derivada de la función de Fermi . En la teoría de las propiedades de los electrones en semiconductores y metales, esta derivada establece el peso relativo de las diversas energías de los electrones en sus contribuciones al transporte de electrones. Aquellos niveles de energía cuyas energías son más cercanas a la "media" de la distribución ( nivel de Fermi ) dominan procesos como la conducción electrónica, con algunas manchas inducidas por la temperatura. ^{[3] : 34} Nótese, sin embargo, que la distribución de probabilidad pertinente en las estadísticas de Fermi-Dirac es en realidad una distribución de Bernoulli simple , con el factor de probabilidad dado por la función de Fermi.

La distribución logística surge como una distribución límite de un movimiento aleatorio amortiguado de velocidad finita descrito por un proceso telegráfico en el que los tiempos aleatorios entre cambios de velocidad consecutivos tienen distribuciones exponenciales independientes con parámetros que aumentan linealmente. ^[4]

Hidrología

Distribución logística acumulada ajustada a las precipitaciones de octubre utilizando CumFreq , consulte también Ajuste de distribución

En hidrología, la distribución de la descarga de los ríos y las precipitaciones de larga duración (por ejemplo, los totales mensuales y anuales, que consisten en la suma de 30 respectivamente 360 ​​valores diarios) a menudo se considera casi normal de acuerdo con el teorema del límite central . ^[5] Sin embargo, la distribución normal necesita una aproximación numérica. Como la distribución logística, que se puede resolver analíticamente, es similar a la distribución normal, se puede utilizar en su lugar. La imagen azul ilustra un ejemplo de ajuste de la distribución logística a las precipitaciones de octubre clasificadas, que se distribuyen casi normalmente, y muestra el cinturón de confianza del 90% basado en la distribución binomial . Los datos de precipitaciones se representan trazando posiciones como parte del análisis de frecuencia acumulada .

Calificaciones de ajedrez

La Federación de Ajedrez de los Estados Unidos y la FIDE han cambiado su fórmula para calcular las clasificaciones de ajedrez de la distribución normal a la distribución logística; consulte el artículo sobre el sistema de clasificación Elo (basado en la distribución normal).

Distribuciones relacionadas

• La distribución logística imita la distribución Sech ; son casos diferentes de la distribución de Champernowne .
• Si entonces . ${\displaystyle X\sim \mathrm {Logistic} (\mu ,s)}$ ${\displaystyle kX+\ell \sim \mathrm {Logistic} (k\mu +\ell ,|k|s)}$
• Si U(0, 1) entonces . ${\displaystyle X\sim }$ ${\displaystyle \mu +s(\log X-\log(1-X))\sim \mathrm {Logistic} (\mu ,s)}$
• Si y independientemente entonces . ${\displaystyle X\sim \mathrm {Gumbel} (\mu _{X},\beta )}$ ${\displaystyle Y\sim \mathrm {Gumbel} (\mu _{Y},\beta )}$ ${\displaystyle X-Y\sim \mathrm {Logistic} (\mu _{X}-\mu _{Y},\beta )\,}$
• Si y entonces (La suma no es una distribución logística). Nótese que . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y\sim \mathrm {Gumbel} (\mu ,\beta )}$ ${\displaystyle X+Y\nsim \mathrm {Logistic} (2\mu ,\beta )\,}$ ${\displaystyle E(X+Y)=2\mu +2\beta \gamma \neq 2\mu =E\left(\mathrm {Logistic} (2\mu ,\beta )\right)}$
• Si X ~ Logístico( μ , s ) entonces exp( X ) ~ LogLogístico , y exp( X ) + γ ~ log-logístico desplazado . ${\displaystyle \left(\alpha =e^{\mu },\beta ={\frac {1}{s}}\right)}$ ${\displaystyle \left(\alpha =e^{\mu },\beta ={\frac {1}{s}},\gamma \right)}$
• Si X ~ Exponencial(1) entonces

${\displaystyle \mu +s\log(e^{X}-1)\sim \operatorname {Logistic} (\mu ,s).}$

• Si X , Y ~ Exponencial(λ) independientemente entonces

${\displaystyle \mu +s\log \left({\frac {X}{Y}}\right)\sim \operatorname {Logistic} (\mu ,s).}$

• La distribución metalog es una generalización de la distribución logística, en la que las expansiones de series de potencias en términos de se sustituyen por parámetros logísticos y . La función cuantil metalog resultante tiene una forma muy flexible, tiene una forma cerrada simple y se puede ajustar a los datos con mínimos cuadrados lineales. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma }$

Derivaciones

Momentos de orden superior

El momento central de orden n se puede expresar en términos de la función cuantil:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [(X-\mu )^{n}]&=\int _{-\infty }^{\infty }(x-\mu )^{n}\,dF(x)\\&=\int _{0}^{1}{\big (}Q(p)-\mu {\big )}^{n}\,dp=s^{n}\int _{0}^{1}\left[\ln \!\left({\frac {p}{1-p}}\right)\right]^{n}\,dp.\end{aligned}}}$

Esta integral es bien conocida ^[6] y puede expresarse en términos de números de Bernoulli :

${\displaystyle \operatorname {E} [(X-\mu )^{n}]=s^{n}\pi ^{n}(2^{n}-2)\cdot |B_{n}|.}$

Véase también

• distribución logística generalizada
• Distribución lambda de Tukey
• distribución logístico-logística
• distribución semi-logística
• regresión logística
• función sigmoidea

Notas

1. Norton, Matthew; Khokhlov, Valentyn; Uryasev, Stan (2019). "Cálculo de CVaR y bPOE para distribuciones de probabilidad comunes con aplicación a la optimización de carteras y estimación de densidad" (PDF) . Anales de investigación de operaciones . 299 (1–2). Springer: 1281–1315. doi :10.1007/s10479-019-03373-1 . Consultado el 27 de febrero de 2023 .
2. Johnson, Kotz y Balakrishnan (1995, p.116).
3. Davies, John H. (1998). La física de los semiconductores de baja dimensión: una introducción . Cambridge University Press. ISBN 9780521484916.
4. A. Di Crescenzo, B. Martinucci (2010) "Un proceso aleatorio telegráfico amortiguado con distribución logística estacionaria", J. Appl. Prob. , vol. 47, págs. 84–96.
5. Ritzema, HP, ed. (1994). Análisis de frecuencia y regresión. Capítulo 6 en: Principios y aplicaciones del drenaje, Publicación 16, Instituto Internacional para la Recuperación y Mejora de Tierras (ILRI), Wageningen, Países Bajos. pp. 175–224. ISBN 90-70754-33-9.
6. OEIS : A001896

Referencias

• John S. deCani y Robert A. Stine (1986). "Una nota sobre la derivación de la matriz de información para una distribución logística". The American Statistician . 40 . Asociación Estadounidense de Estadística: 220–222. doi :10.2307/2684541.
• N., Balakrishnan (1992). Manual de distribución logística . Marcel Dekker, Nueva York. ISBN 0-8247-8587-8.
• Johnson, NL; Kotz, S.; N., Balakrishnan (1995). Distribuciones univariadas continuas . Vol. 2 (2.ª ed.). ISBN 0-471-58494-0.

• Modis, Theodore (1992) Predicciones: la firma reveladora de la sociedad revela el pasado y pronostica el futuro , Simon & Schuster, Nueva York. ISBN 0-671-75917-5