Código de conducta local

Método en computación y comunicación cuántica

Paradigma LOCC: las partes no pueden intercambiar partículas de manera coherente. Solo se permiten operaciones locales y comunicación clásica.

LOCC , u operaciones locales y comunicación clásica , es un método en la teoría de la información cuántica donde se realiza una operación local (producto) en una parte del sistema, y ​​donde el resultado de esa operación se "comunica" clásicamente a otra parte donde generalmente se realiza otra operación local condicionada a la información recibida.

Propiedades matemáticas

La definición formal del conjunto de operaciones LOCC es complicada debido al hecho de que las operaciones locales posteriores dependen en general de toda la comunicación clásica anterior y debido al número ilimitado de rondas de comunicación. Para cualquier número finito se puede definir , el conjunto de operaciones LOCC que se pueden lograr con rondas de comunicación clásica. El conjunto se vuelve estrictamente más grande siempre que se incrementa y se debe tener cuidado para definir el límite de infinitas rondas. En particular, el conjunto LOCC no es topológicamente cerrado, es decir, hay operaciones cuánticas que se pueden aproximar de forma arbitrariamente cercana mediante LOCC pero que no son en sí mismas LOCC. ^[1] ${\displaystyle r\geq 1}$ ${\displaystyle \operatorname {LOCC} _{r}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$

Un LOCC de una ronda es un instrumento cuántico , para el cual los mapas completamente positivos (CPM) no crecientes de trazas son locales para todos los resultados de medición , es decir, y hay un sitio tal que solo en el mapa no se preservan las trazas. Esto significa que el instrumento puede ser implementado por la parte en el sitio que aplica el instrumento (local) y comunica el resultado clásico a todas las demás partes, las cuales luego realizan (condicionadas a ) operaciones cuánticas locales que preservan las trazas (deterministas) . ${\displaystyle \operatorname {LOCC} _{1}}$ ${\displaystyle \left\{{\mathcal {E}}_{x}\right\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}_{x}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}_{x}=\bigotimes _{j}({\cal {E}}_{x}^{j})}$ ${\displaystyle j=K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}_{x}^{K}}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}_{x}=\bigotimes _{j\not =K}({\cal {T_{j}^{x}}})\otimes {\cal {E}}_{K}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \left\{{\mathcal {E}}_{x}^{K}\right\}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\cal {T}}_{x}^{j}}$

Entonces se definen recursivamente como aquellas operaciones que se pueden realizar siguiendo una operación con una operación -. Aquí se permite que la parte que realiza las operaciones de seguimiento dependa del resultado de las rondas anteriores. Además, también permitimos el "granulado grueso", es decir, descartar parte de la información clásica codificada en los resultados de la medición (de todas las rondas). ${\displaystyle \operatorname {LOCC} _{r}}$ ${\displaystyle \operatorname {LOCC} _{r-1}}$ ${\displaystyle \operatorname {LOCC} _{1}}$

La unión de todas las operaciones se denota por y contiene instrumentos que pueden aproximarse cada vez mejor con más rondas LOCC. Su cierre topológico contiene todas esas operaciones. ${\displaystyle \operatorname {LOCC} _{r}}$ ${\displaystyle \operatorname {LOCC} _{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle {\overline {\operatorname {LOCC} }}_{\mathbb {N} }}$

Se puede demostrar que todos estos conjuntos son diferentes: ^[1]

${\displaystyle \operatorname {LOCC} _{r}\subset \operatorname {LOCC} _{r+1}\subset \operatorname {LOCC} _{\mathbb {N} }\subset {\overline {\operatorname {LOCC} }}_{\mathbb {N} }}$

El conjunto de todas las operaciones LOCC está contenido en el conjunto de todas las operaciones separables . contiene todas las operaciones que se pueden escribir utilizando operadores de Kraus que tienen todas la forma de producto, es decir, ${\displaystyle \operatorname {SEP} }$ ${\displaystyle \operatorname {SEP} }$

${\displaystyle {\cal {E}}(\rho )=\sum _{l}K_{1}^{l}\otimes K_{2}^{l}\dots \otimes K_{N}\rho (K_{1}^{l}\otimes K_{2}^{l}\dots \otimes K_{N})^{\dagger },}$

con . No todas las operaciones en son LOCC, ${\displaystyle \sum _{l}K_{1}^{l}\otimes K_{2}^{l}\dots \otimes K_{N}(K_{1}^{l}\otimes K_{2}^{l}\dots \otimes K_{N})^{\dagger }=1}$ ${\displaystyle \operatorname {SEP} }$

${\displaystyle {\overline {\operatorname {LOCC} }}_{\mathbb {N} }\subset \operatorname {SEP} ,}$

es decir, hay ejemplos que no se pueden implementar localmente ni siquiera con infinitas rondas de comunicación. ^[1]

LOCC son las "operaciones libres" en las teorías de recursos del entrelazamiento : el entrelazamiento no se puede producir a partir de estados separables con LOCC y si las partes locales además de poder realizar todas las operaciones LOCC también están provistas de algunos estados entrelazados, pueden realizar más operaciones que con LOCC solo.

Ejemplos

Las operaciones LOCC son útiles para la preparación de estados , la discriminación de estados y las transformaciones de entrelazamiento .

Preparación del estado

Alice y Bob reciben un sistema cuántico en el estado de producto . Su tarea es producir el estado separable . Esto no se puede lograr solo con operaciones locales, ya que no pueden producir las correlaciones (clásicas) presentes en . Sin embargo, con LOCC (con una ronda de comunicación) se puede preparar: Alice lanza una moneda imparcial (que muestra cara o cruz cada una con una probabilidad del 50%) y lanza su qubit (a ) si la moneda muestra "cruz", de lo contrario no cambia. Luego envía el resultado del lanzamiento de la moneda (información clásica) a Bob, quien también lanza su qubit si recibe el mensaje "cruz". El estado resultante es . En general, todos los estados separables (y solo estos) se pueden preparar a partir de estados de producto solo con operaciones LOCC. ^[1] ${\displaystyle |00\rangle =|0\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}}$ ${\displaystyle \rho ={\frac {1}{2}}|00\rangle \langle 00|+{\frac {1}{2}}|11\rangle \langle 11|}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle |1\rangle _{A}}$ ${\displaystyle \rho }$

Discriminación estatal

Dados dos estados cuánticos en un espacio de Hilbert bipartito o multipartito , la tarea consiste en determinar cuál de los dos (o más) estados posibles es. Como ejemplo simple, considere los dos estados de Bell ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle {\cal {H}}={\cal {H}}_{A}\otimes {\cal {H}}_{B}\otimes \dots {\cal {H}}_{Z}}$ ${\displaystyle \psi _{1},\psi _{2}}$

${\displaystyle |\psi _{1}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(|0\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}+|1\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B}\right)}$

${\displaystyle |\psi _{2}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(|0\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B}+|1\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}\right)}$

Digamos que el sistema de dos qubits está separado, donde el primer qubit se le da a Alice y el segundo a Bob. Sin comunicación, Alice y Bob no pueden distinguir los dos estados, ya que para todas las mediciones locales todas las estadísticas de medición son exactamente las mismas (ambos estados tienen la misma matriz de densidad reducida). Por ejemplo, supongamos que Alice mide el primer qubit y obtiene el resultado 0. Dado que este resultado tiene la misma probabilidad de ocurrir (con una probabilidad del 50%) en cada uno de los dos casos, no obtiene ninguna información sobre qué par de Bell se le dio y lo mismo se aplica a Bob si realiza alguna medición. Pero ahora dejemos que Alice envíe su resultado a Bob a través de un canal clásico. Ahora Bob puede comparar su resultado con el de ella y, si son iguales, puede concluir que el par dado fue , ya que solo esto permite un resultado de medición conjunto . Por lo tanto, con LOCC y dos mediciones, estos dos estados se pueden distinguir perfectamente. Nótese que con mediciones globales ( no locales o entrelazadas ), una sola medición (en el espacio de Hilbert conjunto ) es suficiente para distinguir estos dos estados (mutuamente ortogonales ^{[ ancla rota ] ).} ${\displaystyle |\psi _{1}\rangle }$ ${\displaystyle |0\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}}$

Hay estados cuánticos que no se pueden distinguir con operaciones LOCC. ^[2]

Transformaciones de entrelazamiento

Si bien los LOCC no pueden generar estados entrelazados a partir de estados de producto, sí se pueden utilizar para transformar estados entrelazados en otros estados entrelazados. La restricción de los LOCC limita severamente las transformaciones posibles.

Conversión de entrelazamiento

Nielsen ^[3] ha derivado una condición general para determinar si un estado puro de un sistema cuántico bipartito puede transformarse en otro utilizando únicamente LOCC. Se pueden encontrar detalles completos en el artículo mencionado anteriormente; los resultados se resumen aquí.

Consideremos dos partículas en un espacio de Hilbert de dimensión con estados de partículas y con descomposiciones de Schmidt ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\phi \rangle }$

${\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{i}{\sqrt {\omega _{i}}}|i_{A}\rangle \otimes |i_{B}\rangle }$

${\displaystyle |\phi \rangle =\sum _{i}{\sqrt {\omega _{i}'}}|i_{A}'\rangle \otimes |i_{B}'\rangle }$

Los se conocen como coeficientes de Schmidt . Si se ordenan de mayor a menor (es decir, con ), entonces solo se pueden transformar en utilizando solo operaciones locales si y solo si para todos en el rango ${\displaystyle {\sqrt {\omega _{i}}}}$ ${\displaystyle \omega _{1}>\omega _{d}}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\phi \rangle }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle 1\leq k\leq d}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}\omega _{i}\leq \sum _{i=1}^{k}\omega _{i}'}$

En notación más concisa:

${\displaystyle |\psi \rangle \rightarrow |\phi \rangle \quad {\text{iff}}\quad \omega \prec \omega '}$

Esta es una condición más restrictiva que la de que las operaciones locales no pueden aumentar las medidas de entrelazamiento . Es muy posible que y tengan la misma cantidad de entrelazamiento, pero convertir uno en el otro no es posible e incluso esa conversión en cualquier dirección es imposible porque ningún conjunto de coeficientes de Schmidt mayoriza al otro. Para grandes , si todos los coeficientes de Schmidt son distintos de cero, entonces la probabilidad de que un conjunto de coeficientes mayorice al otro se vuelve insignificante. Por lo tanto, para grandes, la probabilidad de que cualquier estado arbitrario sea convertible en otro a través de LOCC se vuelve insignificante. ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\phi \rangle }$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d}$

Las operaciones descritas hasta ahora son deterministas, es decir, tienen una probabilidad del 100 % de éxito. Si se está satisfecho con las transformaciones probabilísticas , se pueden realizar muchas más transformaciones utilizando LOCC. ^[4] Estas operaciones se denominan LOCC estocástico (SLOCC). En particular, para los estados multipartitos, se estudia la convertibilidad bajo SLOCC para obtener una visión cualitativa de las propiedades de entrelazamiento de los estados involucrados. ^[5]

Más allá del LOCC: conversión catalítica

Si los estados entrelazados están disponibles como recurso, estos junto con LOCC permiten una clase mucho más grande de transformaciones. Este es el caso incluso si estos estados de recursos no se consumen en el proceso (como lo son, por ejemplo, en la teletransportación cuántica ). Por lo tanto, las transformaciones se denominan catálisis de entrelazamiento . ^[6] En este procedimiento, la conversión de un estado inicial a un estado final que es imposible con LOCC se hace posible tomando un producto tensorial del estado inicial con un "estado catalizador" y requiriendo que este estado todavía esté disponible al final del proceso de conversión. Es decir, el estado catalizador no cambia con la conversión y luego se puede eliminar, dejando solo el estado final deseado. Considere los estados, ${\displaystyle |c\rangle }$

${\displaystyle |\psi \rangle ={\sqrt {0.4}}|00\rangle +{\sqrt {0.4}}|11\rangle +{\sqrt {0.1}}|22\rangle +{\sqrt {0.1}}|33\rangle }$

${\displaystyle |\phi \rangle ={\sqrt {0.5}}|00\rangle +{\sqrt {0.25}}|11\rangle +{\sqrt {0.25}}|22\rangle }$

${\displaystyle |c\rangle ={\sqrt {0.6}}\mid \uparrow \uparrow \rangle +{\sqrt {0.4}}\mid \downarrow \downarrow \rangle }$

Estos estados se escriben en forma de descomposición de Schmidt y en orden descendente. Comparamos la suma de los coeficientes de y ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\phi \rangle }$

En la tabla, se pone el color rojo si , se pone el color verde si , y se mantiene el color blanco si . Después de construir la tabla, uno puede averiguar fácilmente si y son convertibles mirando el color en la dirección. se puede convertir a por LOCC si los colores son todos verdes o blancos, y se puede convertir a por LOCC si los colores son todos rojos o blancos. Cuando la tabla presenta tanto el color rojo como el verde, los estados no son convertibles. ${\displaystyle \sum _{i=0}^{k}\omega _{i}>\sum _{i=0}^{k}\omega '_{i}}$ ${\displaystyle \sum _{i=0}^{k}\omega _{i}<\sum _{i=0}^{k}\omega '_{i}}$ ${\displaystyle \sum _{i=0}^{k}\omega _{i}=\sum _{i=0}^{k}\omega '_{i}}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\phi \rangle }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\phi \rangle }$ ${\displaystyle |\phi \rangle }$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$

Ahora consideremos los estados del producto y : ${\displaystyle |\psi \rangle |c\rangle }$ ${\displaystyle |\phi \rangle |c\rangle }$

${\displaystyle {\begin{aligned}|\psi \rangle |c\rangle &={\sqrt {0.24}}|00\rangle \mid \uparrow \uparrow \rangle +{\sqrt {0.24}}|11\rangle \mid \uparrow \uparrow \rangle +{\sqrt {0.16}}|00\rangle \mid \downarrow \downarrow \rangle +{\sqrt {0.16}}|11\rangle \mid \downarrow \downarrow \rangle \\&+{\sqrt {0.06}}|22\rangle \mid \uparrow \uparrow \rangle +{\sqrt {0.06}}|33\rangle \mid \uparrow \uparrow \rangle +{\sqrt {0.04}}|22\rangle \mid \downarrow \downarrow \rangle +{\sqrt {0.04}}|33\rangle \mid \downarrow \downarrow \rangle \end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}|\phi \rangle |c\rangle &={\sqrt {0.30}}|00\rangle \mid \uparrow \uparrow \rangle +{\sqrt {0.20}}|00\rangle \mid \downarrow \downarrow \rangle +{\sqrt {0.15}}|11\rangle \mid \uparrow \uparrow \rangle +{\sqrt {0.15}}|22\rangle \mid \uparrow \uparrow \rangle \\&+{\sqrt {0.10}}|11\rangle \mid \downarrow \downarrow \rangle +{\sqrt {0.10}}|22\rangle \mid \downarrow \downarrow \rangle \end{aligned}}}$

De la misma manera, confeccionamos la tabla:

Los colores en la dirección son todos verdes o blancos, por lo tanto, según el teorema de Nielsen, es posible convertirlos mediante el LOCC. El estado catalizador se elimina después de la conversión. Finalmente, lo encontramos mediante el LOCC. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle |\psi \rangle |c\rangle }$ ${\displaystyle |\phi \rangle |c\rangle }$ ${\displaystyle |c\rangle }$ ${\displaystyle |\psi \rangle {\overset {|c\rangle }{\rightarrow }}|\phi \rangle }$

Si se permiten correlaciones entre el sistema y el catalizador, las transformaciones catalíticas entre estados puros bipartitos se caracterizan a través de la entropía de entrelazamiento . ^[7] Con más detalle, un estado puro se puede convertir en otro estado puro a través de LOCC catalítico si y solo si ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\phi \rangle }$

${\displaystyle S(\psi ^{A})\geq S(\phi ^{A})}$,

donde es la entropía de von Neumann , y y son los estados reducidos de y , respectivamente. En general, la conversión no es exacta, pero se puede realizar con una precisión arbitraria. La cantidad de correlaciones entre el sistema y el catalizador también se puede hacer arbitrariamente pequeña. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \psi ^{A}}$ ${\displaystyle \phi ^{A}}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\phi \rangle }$

Véase también

• Teletransportación cuántica

Referencias

1. Chitambar, E.; Leung, D.; Mancinska, L.; Ozols, M.; Winter, A. (2012). "Todo lo que siempre quiso saber sobre LOCC (pero tenía miedo de preguntar)". Commun. Math. Phys . 328 (1): 303. arXiv : 1210.4583 . Bibcode :2014CMaPh.328..303C. doi :10.1007/s00220-014-1953-9. S2CID  118478457.
2. Charles H. Bennett; David P. DiVincenzo; Christopher A. Fuchs; Tal Mor; Eric Rains; Peter W. Shor; John A. Smolin; William K. Wootters (1999). "No localidad cuántica sin entrelazamiento". Phys. Rev. A . 59 (2): 1070–1091. arXiv : quant-ph/9804053 . Código Bibliográfico :1999PhRvA..59.1070B. doi :10.1103/PhysRevA.59.1070. S2CID  15282650.
3. MA Nielsen (1999). "Condiciones para una clase de transformaciones de entrelazamiento". Phys. Rev. Lett . 83 (2): 436–439. arXiv : quant-ph/9811053 . Código Bibliográfico :1999PhRvL..83..436N. doi :10.1103/PhysRevLett.83.436. S2CID  17928003.
4. Guifré Vidal (2000). "Monótonos de enredo". J.Mod. Optar . 47 (2–3): 355. arXiv : quant-ph/9807077 . Código Bib : 2000JMOp...47..355V. doi :10.1080/09500340008244048. S2CID  119347961.
5. G. Gour; NR Wallach (2013). "Clasificación del entrelazamiento multipartito de toda dimensionalidad finita". Phys. Rev. Lett . 111 (6): 060502. arXiv : 1304.7259 . Código Bibliográfico :2013PhRvL.111f0502G. doi :10.1103/PhysRevLett.111.060502. PMID  23971544. S2CID  1570745.
6. D. Jonathan; MB Plenio (1999). "Manipulación local asistida por entrelazamiento de estados cuánticos puros". Phys. Rev. Lett . 83 (17): 3566–3569. arXiv : quant-ph/9905071 . Código Bibliográfico :1999PhRvL..83.3566J. doi :10.1103/PhysRevLett.83.3566. S2CID  392419.
7. Kondra, Tulja Varun; Datta, Chandan; Streltsov, Alexander (5 de octubre de 2021). "Transformaciones catalíticas de estados entrelazados puros". Physical Review Letters . 127 (15): 150503. arXiv : 2102.11136 . Código Bibliográfico :2021PhRvL.127o0503K. doi :10.1103/PhysRevLett.127.150503. PMID  34678004. S2CID  237532098.

Lectura adicional

• https://quantiki.org/wiki/LOCC/locc-operaciones
• Nielsen MA (1999). "Condiciones para una clase de transformaciones de entrelazamiento". Phys. Rev. Lett . 83 (2): 436–439. arXiv : quant-ph/9811053 . Código Bibliográfico :1999PhRvL..83..436N. doi :10.1103/physrevlett.83.436. S2CID  17928003.