En geometría , un poliedro uniforme es un poliedro que tiene polígonos regulares como caras y es transitivo por vértices ( transitivo en sus vértices , isogonal, es decir, hay una isometría que mapea cualquier vértice sobre cualquier otro). De ello se deduce que todos los vértices son congruentes y que el poliedro tiene un alto grado de simetría reflexiva y rotacional .
Los poliedros uniformes se pueden dividir entre formas convexas con caras de polígonos regulares convexas y formas de estrella. Las formas de estrella tienen caras poligonales de estrella regulares o figuras de vértice , o ambas.
Esta lista incluye estos:
Sopov (1970) demostró que sólo existen 75 poliedros uniformes además de las infinitas familias de prismas y antiprismas . John Skilling descubrió un ejemplo degenerado que se había pasado por alto, al relajar la condición de que sólo dos caras pueden encontrarse en un borde. Este es un poliedro uniforme degenerado en lugar de un poliedro uniforme, porque algunos pares de aristas coinciden.
No se incluyen:
Indexación
Son de uso común cuatro esquemas de numeración para los poliedros uniformes, que se distinguen por letras:
- [ C ] Coxeter et al., 1954, mostraron las formas convexas como las figuras 15 a 32; tres formas prismáticas, figuras 33–35; y las formas no convexas, figuras 36 a 92.
- [ W ] Wenninger, 1974, tiene 119 figuras: 1–5 para los sólidos platónicos, 6–18 para los sólidos de Arquímedes, 19–66 para las formas estrelladas, incluidos los 4 poliedros regulares no convexos, y terminó con 67–119 para el uniforme no convexo. poliedros.
- [ K ] Kaleido, 1993: Las 80 figuras se agruparon por simetría: 1 a 5 como representantes de las infinitas familias de formas prismáticas con simetría diédrica , 6 a 9 con simetría tetraédrica , 10 a 26 con simetría octaédrica , 27 a 80 con simetría icosaédrica. simetría .
- [ U ] Mathematica, 1993, sigue la serie Kaleido con las 5 formas prismáticas movidas al final, de modo que las formas no prismáticas se convierten en 1–75.
Nombres de poliedros por número de lados.
Existen nombres geométricos genéricos para los poliedros más comunes . Los 5 sólidos platónicos se denominan tetraedro , hexaedro , octaedro , dodecaedro e icosaedro de 4, 6, 8, 12 y 20 lados respectivamente. El hexaedro regular es un cubo .
tabla de poliedros
Las formas convexas se enumeran en orden de grado de configuraciones de vértice desde 3 caras/vértice en adelante, y en lados crecientes por cara. Este ordenamiento permite mostrar similitudes topológicas.
Existen infinitos prismas y antiprismas, uno por cada polígono regular; se enumeran los que llegan hasta los casos de 12 gonales.
Poliedros uniformes convexos
Poliedros estelares uniformes
Las formas que contienen sólo caras convexas se enumeran primero, seguidas de las formas con caras de estrella. Nuevamente existen infinitos prismas y antiprismas; se enumeran aquí hasta los de 8 caras.
Los poliedros uniformes |5/23 3, |5/2 3/2 3/2, |5/3 5/23, |3/2 5/335/2, y | (3/2)5/3(3)5/2algunas caras aparecen como pares coplanares. (Coxeter et al. 1954, págs. 423, 425, 426; Skilling 1975, pág. 123)
Caso especial
El gran dirhombidodecaedro disnub tiene 240 de sus 360 aristas coincidentes en el espacio en 120 pares. Debido a esta degeneración de las aristas, no siempre se considera un poliedro uniforme.
Clave de columna
- Indexación uniforme: U01–U80 (tetraedro primero, prismas en 76+)
- Indexación del software Kaleido: K01–K80 (K n = U n –5 para n = 6 a 80) (prismas 1–5, tetraedro, etc. 6+)
- Modelos de poliedro Magnus Wenninger : W001-W119
- 1–18: 5 convexos regulares y 13 convexos semirregulares
- 20–22, 41: 4 regulares no convexos
- 19–66: 48 estelaciones/compuestos especiales (los no regulares no figuran en esta lista)
- 67-109: 43 uniforme no convexo y no desaire
- 110-119: 10 uniformes chatos no convexos
- Chi: la característica de Euler , χ . Los mosaicos uniformes en el plano corresponden a una topología toroidal, con la característica de Euler de cero.
- Densidad: la Densidad (politopo) representa el número de vueltas de un poliedro alrededor de su centro. Esto se deja en blanco para poliedros y hemipoliedros no orientables (poliedros con caras que pasan por sus centros), para los cuales la densidad no está bien definida.
- Nota sobre las imágenes de figuras de Vertex:
- Las líneas poligonales blancas representan el polígono de la "figura de vértice". Las caras coloreadas que se incluyen en las imágenes de las figuras del vértice ayudan a ver sus relaciones. Algunas de las caras que se cruzan se dibujan visualmente incorrectamente porque no se cruzan visualmente correctamente para mostrar qué partes están al frente.
Ver también
Referencias
- Coxeter, Harold Scott MacDonald ; Longuet-Higgins, MS; Miller, JCP (1954). "Poliedros uniformes". Transacciones filosóficas de la Royal Society de Londres. Serie A. Ciencias Matemáticas y Físicas . 246 (916). La Sociedad de la Realeza: 401–450. Código bibliográfico : 1954RSPTA.246..401C. doi :10.1098/rsta.1954.0003. ISSN 0080-4614. JSTOR 91532. SEÑOR 0062446. S2CID 202575183.
- Habilidad, J. (1975). "El conjunto completo de poliedros uniformes". Transacciones filosóficas de la Royal Society de Londres. Serie A. Ciencias Matemáticas y Físicas . 278 (1278): 111-135. Código bibliográfico : 1975RSPTA.278..111S. doi :10.1098/rsta.1975.0022. ISSN 0080-4614. JSTOR 74475. SEÑOR 0365333. S2CID 122634260.
- Sopov, SP (1970). "Una prueba de la integridad de la lista de poliedros elementales homogéneos". Ukrainskiui Geometriheskiui Sbornik (8): 139-156. SEÑOR 0326550.
- Wenninger, Magnus (1974). Modelos de poliedros . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-09859-9.
- Wenninger, Magnus (1983). Modelos duales . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-54325-8.
enlaces externos
- Stella: Polyhedron Navigator: software capaz de generar e imprimir redes para todos los poliedros uniformes. Se utiliza para crear la mayoría de las imágenes en esta página.
- Modelos de papel
- Indexación uniforme: U1-U80, (tetraedro primero)
- Poliedros uniformes (80), Paul Bourke
- Weisstein, Eric W. "Poliedro uniforme". MundoMatemático .
- http://www.mathconsult.ch/showroom/unipoly
- Todos los poliedros uniformes por grupo de rotación.
- https://web.archive.org/web/20171110075259/http://gratrix.net/polyhedra/uniform/summary/
- http://www.it-c.dk/edu/documentation/mathworks/math/math/u/u034.htm
- http://www.buddenbooks.com/jb/uniform/
- Indexación Kaleido: K1-K80 (prisma pentagonal primero)
- https://www.math.technion.ac.il/~rl/kaleido
- https://web.archive.org/web/20110927223146/http://www.math.technion.ac.il/~rl/docs/uniform.pdf Solución uniforme para poliedros uniformes
- http://bulatov.org/polyhedra/uniform
- http://www.orchidpalms.com/polyhedra/uniform/uniform.html
- También
- http://www.polyedergarten.de/polyhedrix/e_klintro.htm
