Existen muchas relaciones entre los poliedros uniformes . La construcción de Wythoff es capaz de construir casi todos los poliedros uniformes a partir de los triángulos de Schwarz agudos y obtusos . Los números que se pueden usar para los lados de un triángulo de Schwarz agudo u obtuso no- diedrico que no necesariamente conduce a poliedros uniformes degenerados son 2, 3, 3/2, 4, 4/3, 5, 5/2, 5/3 y 5/4 (pero los números con numerador 4 y aquellos con numerador 5 pueden no aparecer juntos). (También se puede utilizar 4/2, pero sólo conduce a poliedros uniformes degenerados, ya que 4 y 2 tienen un factor común). Hay 44 triángulos de Schwarz (5 con simetría tetraédrica , 7 con simetría octaédrica y 32 con simetría icosaédrica ), que , junto con la familia infinita de triángulos diédricos de Schwarz, pueden formar casi todos los poliedros uniformes no degenerados . La construcción de Wythoff también puede generar muchos poliedros uniformes degenerados, con vértices, aristas o caras completamente coincidentes, y aquellos que surgen de triángulos de Schwarz que no usan 4/2 también se muestran en las tablas siguientes junto con sus contrapartes no degeneradas. . No se han incluido los triángulos Reflex Schwarz, ya que simplemente crean duplicados o degenerados; sin embargo, algunos se mencionan fuera de las tablas debido a su aplicación a tres de los poliedros chatos .
Hay algunos poliedros uniformes no wythoffianos, que ningún triángulo de Schwarz puede generar; sin embargo, la mayoría de ellos pueden generarse usando la construcción Wythoff como cubiertas dobles (el poliedro no Wythoffiano se cubre dos veces en lugar de una) o con varias caras coincidentes adicionales que deben descartarse para dejar no más de dos caras en cada borde (ver Poliedro omnitruncado#Otros poliedros no convexos de lados pares ). Estos poliedros están marcados con un asterisco en esta lista. Los únicos poliedros uniformes que aún no han sido generados por la construcción de Wythoff son el gran dirhombidodecaedro y el gran dirhombidodecaedro disnub .
Cada mosaico de triángulos de Schwarz en una esfera puede cubrir la esfera solo una vez o, en cambio, puede enrollarse alrededor de la esfera un número entero de veces, cruzándose en el proceso. El número de veces que el mosaico gira alrededor de la esfera es la densidad del mosaico y se denota μ.
Los nombres cortos de Jonathan Bowers para los poliedros, conocidos como acrónimos de Bowers, se utilizan en lugar de los nombres completos de los poliedros para ahorrar espacio. [1] También se proporciona el índice de Maeder. A excepción de los triángulos diédricos de Schwarz, los triángulos de Schwarz están ordenados por sus densidades.
También se enumeran los casos análogos de teselaciones euclidianas y se analizan breve e incompletamente los de teselaciones hiperbólicas.
Hay 4 triángulos esféricos con ángulos π/p, π/q, π/r, donde (pqr) son números enteros: ( Coxeter , "Uniform polyhedra", 1954)
Se llaman triángulos de Möbius.
Además consideramos los triángulos de Schwarz (pqr) que son números racionales. Cada uno de estos se puede clasificar en uno de los 4 conjuntos anteriores.
Aunque un poliedro suele tener la misma densidad que el triángulo de Schwarz del que se genera, no siempre es así. En primer lugar, los poliedros que tienen caras que pasan por el centro del modelo (incluidos los hemipoliedros , el gran dirhombicosidodecaedro y el gran dirhombidodecaedro disnub ) no tienen una densidad bien definida. En segundo lugar, la distorsión necesaria para recuperar la uniformidad al cambiar un poliedro esférico a su contraparte plana puede empujar caras a través del centro del poliedro y salir por el otro lado, cambiando la densidad. Esto sucede en los siguientes casos:
Hay siete puntos generadores con cada conjunto de p,q,r (y algunas formas especiales):
Hay cuatro casos especiales:
Esta tabla de conversión de símbolo de Wythoff a configuración de vértice falla para los cinco poliedros excepcionales enumerados anteriormente cuyas densidades no coinciden con las densidades de sus teselaciones de triángulos de Schwarz generadores. En estos casos la figura del vértice está muy distorsionada para lograr uniformidad con caras planas: en los dos primeros casos es un triángulo obtuso en lugar de un triángulo agudo, y en los tres últimos es un pentagrama o hexagrama en lugar de un pentágono o hexágono. dando dos vueltas alrededor del centro. Esto da como resultado que algunas caras sean empujadas a través del poliedro en comparación con las formas topológicamente equivalentes sin la distorsión de la figura del vértice y que salgan retrógradas en el otro lado. [2]
En las tablas siguientes, los fondos rojos marcan poliedros degenerados. Los fondos verdes marcan los poliedros uniformes convexos.
En los triángulos diédricos de Schwarz, dos de los números son 2 y el tercero puede ser cualquier número racional estrictamente mayor que 1.
Muchos de los poliedros con simetría diédrica tienen caras de digón que los convierten en poliedros degenerados (por ejemplo, diedros y hosoedros ). Las columnas de la tabla que solo dan poliedros uniformes degenerados no están incluidas: los casos degenerados especiales (solo en el triángulo de Schwarz (2 2 2)) están marcados con una cruz grande. Antiprismas cruzados uniformes con base { p } donde p < 3/2 no pueden existir ya que sus figuras de vértice violarían la desigualdad triangular ; estos también están marcados con una gran cruz. El antiprisma de 3/2 cruz (trirp) es degenerado, es plano en el espacio euclidiano y también está marcado con una cruz grande. Los triángulos de Schwarz (2 2 n / d ) se enumeran aquí solo cuando mcd( n , d ) = 1, ya que de lo contrario solo dan como resultado poliedros uniformes degenerados.
La siguiente lista proporciona todos los casos posibles donde n ≤ 6.
En los triángulos tetraédricos de Schwarz, el numerador máximo permitido es 3.
En los triángulos octaédricos de Schwarz, el numerador máximo permitido es 4. También existen triángulos octaédricos de Schwarz que utilizan 4/2 como número, pero estos sólo conducen a poliedros uniformes degenerados ya que 4 y 2 tienen un factor común .
En los triángulos icosaédricos de Schwarz, el numerador máximo permitido es 5. Además, el numerador 4 no se puede utilizar en absoluto en los triángulos icosaédricos de Schwarz, aunque se permiten los numeradores 2 y 3. (Si 4 y 5 pudieran ocurrir juntos en algún triángulo de Schwarz, tendrían que ocurrir también en algún triángulo de Möbius; pero esto es imposible ya que (2 4 5) es un triángulo hiperbólico, no esférico.)
Además del octahemioctaedro , la construcción de Wythoff genera los hemipoliedros como cubiertas dobles. [3]
Estos poliedros se generan con caras adicionales mediante la construcción Wythoff.
El tetrahemihexaedro (thah, U4) es también una versión reducida de la cúpula {3/2} (cúpula triangular retrógrada, ratricu) en {6/2}. Como tal, también se le puede llamar cuploide triangular cruzado .
Muchos de los casos anteriores se derivan de poliedros omnitruncados degenerados pqr |. En estos casos, dos casos degenerados distintos pqr | y pqs | se puede generar a partir del mismo p y q; el resultado tiene caras {2p}, {2q} y {2r} o {2s} coincidentes, respectivamente. Ambos producen los mismos poliedros uniformes no degenerados cuando se descartan las caras coincidentes, lo que Coxeter simbolizó pqrs
|. Estos casos se enumeran a continuación:
En los rombihexaedros pequeños y grandes se utiliza la fracción 4/2 a pesar de no estar en términos mínimos. Mientras 2 4 2 | y 2 4/3 2 | representan un solo prisma octogonal u octagrámico respectivamente, 2 4 4/2 | y 2 4/3 4/2 | representan tres de esos prismas, que comparten algunas de sus caras cuadradas (precisamente aquellas duplicadas para producir {8/2}). Estos {8/2} aparecen con simetría rotacional cuádruple y no doble, lo que justifica el uso de 4/2 en lugar de 2. [2]
Estos dos poliedros uniformes no pueden generarse en absoluto mediante la construcción de Wythoff. Este es el conjunto de poliedros uniformes comúnmente descritos como "no wythoffianos". En lugar de los dominios fundamentales triangulares de los poliedros uniformes de Wythoff, estos dos poliedros tienen dominios fundamentales tetragonales .
La figura de Skilling no recibe un índice en la lista de Maeder debido a que es un poliedro uniforme exótico , con crestas (bordes en el caso 3D) completamente coincidentes. Esto también es cierto para algunos de los poliedros degenerados incluidos en la lista anterior, como el pequeño icosidodecaedro complejo . Esta interpretación de que las aristas son coincidentes permite que estas figuras tengan dos caras por arista: no duplicar las aristas les daría 4, 6, 8, 10 o 12 caras reunidas en una arista, figuras que generalmente se excluyen como poliedros uniformes. La figura de Skilling tiene 4 caras que se unen en algunos bordes.
Ambos poliedros especiales pueden derivarse del gran dodecicosidodecaedro chato , | 3 5/3 5/2 (U64). Este es un poliedro chato quiral, pero sus pentagramas aparecen en pares coplanares. Combinando una copia de este poliedro con su enantiomorfo, los pentagramas coinciden y pueden eliminarse. Como las aristas de la figura del vértice de este poliedro incluyen tres lados de un cuadrado, siendo el cuarto lado aportado por su enantiomorfo, vemos que el poliedro resultante es de hecho el compuesto de veinte octaedros . Cada uno de estos octaedros contiene un par de caras paralelas que surgen de un triángulo totalmente simétrico de | 3 5/3 5/2, mientras que los otros tres provienen del original | Triángulos chatos de 3 5/3 5/2. Además, cada octaedro puede ser reemplazado por el tetrahemihexaedro con las mismas aristas y vértices. Tomando los triángulos totalmente simétricos de los octaedros, los pentagramas coincidentes originales del gran dodecicosidodecaedro chato y los cuadrados ecuatoriales de los tetrahemihexaedros juntos se obtiene el gran dirhombicosidodecaedro (el monstruo de Miller). [2] Tomando los triángulos chatos del octaedro se obtiene el gran dirhombidodecaedro chato (figura de Skilling). [4]
Los únicos triángulos planos que recubren el plano son (3 3 3), (4 2 4) y (3 2 6): son respectivamente el triángulo equilátero, el triángulo rectángulo isósceles 45-45-90 y el triángulo 30 -60-90 triángulo rectángulo. De ello se deduce que cualquier triángulo plano que coloque el plano en mosaico varias veces debe construirse a partir de múltiples copias de uno de ellos. La única posibilidad es el triángulo isósceles obtuso 30-30-120 (3/2 6 6) = (6 2 3) + (2 6 3) que coloca el plano dos veces. Cada triángulo cuenta dos veces con orientaciones opuestas, con un punto de bifurcación en los vértices de 120°. [5]
El mosaico {∞,2} formado por dos apeirogonos no se acepta porque sus caras se encuentran en más de un borde. Aquí ∞' denota la contraparte retrógrada de ∞.
Las formas nombradas degeneradas son:
El mosaico 6 6/5 | ∞ se genera como una doble cobertura por la construcción de Wythoff:
También hay algunos mosaicos con el símbolo mixto pq.rs
|:
También hay algunos mosaicos no wythoffianos:
No se ha demostrado que el conjunto de mosaicos uniformes del plano sea completo, a diferencia del conjunto de poliedros uniformes. Los mosaicos anteriores representan todos los encontrados por Coxeter, Longuet-Higgins y Miller en su artículo de 1954 sobre poliedros uniformes. Supusieron que las listas estaban completas: esto lo demostró Sopov en 1970 para los poliedros uniformes, pero no para los mosaicos uniformes. De hecho, Branko Grünbaum , JCP Miller y GC Shephard enumeran quince mosaicos uniformes no wythoffianos más en Uniform Tilings with Hollow Tiles (1981): [6]
Hay dos mosaicos cada uno para las figuras de vértice 4.8.4/3.8.4/3.∞ y 4.8/3.4.8/3.4/3.∞; utilizan los mismos conjuntos de vértices y aristas, pero tienen un conjunto diferente de cuadrados. También existe un tercer mosaico para cada una de estas dos figuras de vértice que es solo pseudouniforme (todos los vértices se parecen, pero vienen en dos órbitas de simetría). Por lo tanto, para los mosaicos euclidianos, la configuración del vértice no determina de forma única el mosaico. [6] En las imágenes siguientes, los cuadrados incluidos con bordes horizontales y verticales están marcados con un punto central. Un solo cuadrado tiene los bordes resaltados. [6]
Grünbaum, Miller y Shephard también enumeran 33 mosaicos uniformes que utilizan zigzags (apeirogons sesgados) como caras, diez de las cuales son familias que tienen un parámetro libre (el ángulo del zigzag). En ocho casos este parámetro es continuo; en dos, es discreto. [6]
El conjunto de triángulos que forman el plano hiperbólico es infinito. Además, en el espacio hiperbólico el dominio fundamental no tiene por qué ser un simplex. En consecuencia, no se puede dar una lista completa de los mosaicos uniformes del plano hiperbólico.
Incluso cuando se limita a mosaicos convexos, es posible encontrar múltiples mosaicos con la misma configuración de vértice: consulte, por ejemplo, Orden de desaire-6 mosaicos cuadrados # Poliedros y mosaicos relacionados . [7]
A continuación se detallan algunos pequeños casos convexos (que no involucran caras o vértices ideales):
Richard Klitzing: Poliedros de
Las tablas se basan en las presentadas por Klitzing en su sitio.
Jim McNeill:
Zvi Har'El:
Hironori Sakamoto: