Límite establecido

Estado de un sistema dinámico después de un tiempo infinitamente largo

En matemáticas , especialmente en el estudio de sistemas dinámicos , un conjunto límite es el estado que alcanza un sistema dinámico después de que ha transcurrido una cantidad infinita de tiempo, ya sea avanzando o retrocediendo en el tiempo. Los conjuntos límite son importantes porque se pueden utilizar para comprender el comportamiento a largo plazo de un sistema dinámico. Se dice que un sistema que ha alcanzado su conjunto límite está en equilibrio .

Tipos

• puntos fijos
• órbitas periódicas
• ciclos límite
• atractores

En general, los conjuntos límites pueden ser muy complicados, como en el caso de los atractores extraños , pero para sistemas dinámicos bidimensionales el teorema de Poincaré-Bendixson proporciona una caracterización simple de todos los conjuntos límites compactos, no vacíos, que contienen como máximo un número finito de puntos fijos como un punto fijo, una órbita periódica o una unión de puntos fijos y órbitas homoclínicas o heteroclínicas que conectan esos puntos fijos. ${\displaystyle \omega }$

Definición de funciones iteradas

Sea un espacio métrico , y sea una función continua . El conjunto -límite de , denotado por , es el conjunto de puntos de agrupamiento de la órbita hacia delante de la función iterada . ^[1] Por lo tanto, si y solo si existe una secuencia estrictamente creciente de números naturales tales que como . Otra forma de expresar esto es ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:X\rightarrow X}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \omega (x,f)}$ ${\displaystyle \{f^{n}(x)\}_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle y\in \omega (x,f)}$ ${\displaystyle \{n_{k}\}_{k\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle f^{n_{k}}(x)\rightarrow y}$ ${\displaystyle k\rightarrow \infty }$

${\displaystyle \omega (x,f)=\bigcap _{n\in \mathbb {N} }{\overline {\{f^{k}(x):k>n\}}},}$

donde denota el cierre del conjunto . Los puntos en el conjunto límite no son errantes (pero no pueden ser puntos recurrentes ). Esto también puede formularse como el límite externo ( limsup ) de una secuencia de conjuntos, de modo que ${\displaystyle {\overline {S}}}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle \omega (x,f)=\bigcap _{n=1}^{\infty }{\overline {\bigcup _{k=n}^{\infty }\{f^{k}(x)\}}}.}$

Si es un homeomorfismo (es decir, una biyección bicontinua), entonces el conjunto -límite se define de manera similar, pero para la órbita hacia atrás, es decir . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha (x,f)=\omega (x,f^{-1})}$

Ambos conjuntos son -invariantes, y si es compacto , son compactos y no vacíos. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$

Definición de flujos

Dado un sistema dinámico real con flujo , un punto , llamamos a un punto y un punto límite de si existe una secuencia en tal que ${\displaystyle (T,X,\varphi )}$ ${\displaystyle \varphi :\mathbb {R} \times X\to X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (t_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }t_{n}=\infty }$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\varphi (t_{n},x)=y}$.

Para una órbita de , decimos que es un punto límite de , si es un punto límite de algún punto en la órbita. ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle (T,X,\varphi )}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \omega }$

Análogamente, llamamos punto límite a si existe una secuencia en tal que ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (t_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }t_{n}=-\infty }$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\varphi (t_{n},x)=y}$.

Para una órbita de , decimos que es un punto límite de , si es un punto límite de algún punto en la órbita. ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle (T,X,\varphi )}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \alpha }$

El conjunto de todos los puntos -límite ( -limit points) para una órbita dada se llama - conjunto límite ( - conjunto límite ) para y se denota ( ). ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \lim _{\omega }\gamma }$ ${\displaystyle \lim _{\alpha }\gamma }$

Si el conjunto -límite ( conjunto -límite ) es disjunto de la órbita , es decir ( ), llamamos ( ) un ciclo ω-límite ( ciclo α-límite ). ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \lim _{\omega }\gamma \cap \gamma =\varnothing }$ ${\displaystyle \lim _{\alpha }\gamma \cap \gamma =\varnothing }$ ${\displaystyle \lim _{\omega }\gamma }$ ${\displaystyle \lim _{\alpha }\gamma }$

Alternativamente, los conjuntos de límites se pueden definir como

${\displaystyle \lim _{\omega }\gamma :=\bigcap _{s\in \mathbb {R} }{\overline {\{\varphi (x,t):t>s\}}}}$

y

${\displaystyle \lim _{\alpha }\gamma :=\bigcap _{s\in \mathbb {R} }{\overline {\{\varphi (x,t):t<s\}}}.}$

Ejemplos

• Para cualquier órbita periódica de un sistema dinámico, ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \lim _{\omega }\gamma =\lim _{\alpha }\gamma =\gamma }$
• Para cualquier punto fijo de un sistema dinámico, ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle \lim _{\omega }x_{0}=\lim _{\alpha }x_{0}=x_{0}}$

Propiedades

• ${\displaystyle \lim _{\omega }\gamma }$y estan cerrados ${\displaystyle \lim _{\alpha }\gamma }$
• Si es compacto entonces y son no vacíos , compactos y conexos ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \lim _{\omega }\gamma }$ ${\displaystyle \lim _{\alpha }\gamma }$
• ${\displaystyle \lim _{\omega }\gamma }$y son -invariantes, es decir y ${\displaystyle \lim _{\alpha }\gamma }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi (\mathbb {R} \times \lim _{\omega }\gamma )=\lim _{\omega }\gamma }$ ${\displaystyle \varphi (\mathbb {R} \times \lim _{\alpha }\gamma )=\lim _{\alpha }\gamma }$

Véase también

• Conjunto de Julia
• Conjunto estable
• Ciclo límite
• Punto periódico
• Conjunto no errante
• Grupo kleiniano

Referencias

1. Alligood, Kathleen T.; Sauer, Tim D.; Yorke, James A. (1996). Caos, una introducción a los sistemas dinámicos . Springer.

Lectura adicional

• Teschl, Gerald (2012). Ecuaciones diferenciales ordinarias y sistemas dinámicos. Providence : American Mathematical Society . ISBN 978-0-8218-8328-0.

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