Órbita heteroclínica

Trayectoria entre puntos de equilibrio en un espacio de fases

El retrato de fase de la ecuación del péndulo x  ″ + sen x = 0 . La curva resaltada muestra la órbita heteroclínica desde ( x , x ′) = (–π, 0) hasta ( x , x ′) = (π, 0) . Esta órbita corresponde con el péndulo (rígido) que comienza en posición vertical, da una vuelta hasta su posición más baja y termina en posición vertical nuevamente.

En matemáticas , en el esquema de fases de un sistema dinámico , una órbita heteroclínica (a veces llamada conexión heteroclínica ) es un camino en el espacio de fases que une dos puntos de equilibrio diferentes . Si los puntos de equilibrio al principio y al final de la órbita son los mismos, la órbita es una órbita homoclínica .

Consideremos el sistema dinámico continuo descrito por la ecuación diferencial ordinaria Supongamos que hay equilibrios en Entonces una solución es una órbita heteroclínica de a si se satisfacen ambos límites : $${\displaystyle {\dot {x}}=f(x).}$$ ${\displaystyle x=x_{0},x_{1}.}$ ${\displaystyle \phi (t)}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle x_{1}}$ $${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\phi (t)\rightarrow x_{0}&{\text{as}}&t\rightarrow -\infty ,\\[4pt]\phi (t)\rightarrow x_{1}&{\text{as}}&t\rightarrow +\infty .\end{array}}}$$

Esto implica que la órbita está contenida en la variedad estable de y la variedad inestable de . ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{0}}$

Dinámica simbólica

Utilizando la partición de Markov , se puede estudiar el comportamiento a largo plazo de un sistema hiperbólico utilizando las técnicas de dinámica simbólica . En este caso, una órbita heteroclínica tiene una representación particularmente simple y clara. Supongamos que es un conjunto finito de M símbolos. La dinámica de un punto x se representa entonces mediante una cadena bi-infinita de símbolos. ${\displaystyle S=\{1,2,\ldots ,M\}}$

${\displaystyle \sigma =\{(\ldots ,s_{-1},s_{0},s_{1},\ldots ):s_{k}\in S\;\forall k\in \mathbb {Z} \}}$

Un punto periódico del sistema es simplemente una secuencia recurrente de letras. Una órbita heteroclínica es entonces la unión de dos órbitas periódicas distintas. Puede escribirse como

${\displaystyle p^{\omega }s_{1}s_{2}\cdots s_{n}q^{\omega }}$

donde es una secuencia de símbolos de longitud k , (por supuesto, ), y es otra secuencia de símbolos, de longitud m (igualmente, ). La notación simplemente denota la repetición de p un número infinito de veces. Por lo tanto, una órbita heteroclínica puede entenderse como la transición de una órbita periódica a otra. Por el contrario, una órbita homoclínica puede escribirse como ${\displaystyle p=t_{1}t_{2}\cdots t_{k}}$ ${\displaystyle t_{i}\in S}$ ${\displaystyle q=r_{1}r_{2}\cdots r_{m}}$ ${\displaystyle r_{i}\in S}$ ${\displaystyle p^{\omega }}$

${\displaystyle p^{\omega }s_{1}s_{2}\cdots s_{n}p^{\omega }}$

siendo la secuencia intermedia no vacía y, por supuesto, no siendo p , ya que de lo contrario, la órbita sería simplemente . ${\displaystyle s_{1}s_{2}\cdots s_{n}}$ ${\displaystyle p^{\omega }}$

Véase también

• Conexión heteroclínica
• Ciclo heteroclínico
• Bifurcación heteroclínica
• Órbita homoclínica
• Onda viajera

Referencias

• John Guckenheimer y Philip Holmes , Oscilaciones no lineales, sistemas dinámicos y bifurcaciones de campos vectoriales , (Applied Mathematical Sciences Vol. 42 ), Springer