Cardinalidad del continuo

Cardinalidad del conjunto de los números reales

En la teoría de conjuntos , la cardinalidad del continuo es la cardinalidad o "tamaño" del conjunto de números reales , a veces llamado continuo . Es un número cardinal infinito y se denota por ( fracción " c " minúscula ) o ^[1] ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\mathbf {\mathfrak {c}}}}$ ${\displaystyle {\mathbf {|}}{\mathbf {\mathbb {R} }}{\mathbf {|}}}$

Los números reales son más numerosos que los números naturales . Además, tiene el mismo número de elementos que el conjunto potencia de . Simbólicamente, si la cardinalidad de se denota como , la cardinalidad del continuo es ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \aleph _{0}}$

${\displaystyle {\mathfrak {c}}=2^{\aleph _{0}}>\aleph _{0}.}$

Esto fue demostrado por Georg Cantor en su prueba de incontabilidad de 1874, parte de su estudio innovador de los distintos infinitos. La desigualdad fue enunciada más tarde de forma más sencilla en su argumento diagonal de 1891. Cantor definió la cardinalidad en términos de funciones biyectivas : dos conjuntos tienen la misma cardinalidad si, y solo si, existe una función biyectiva entre ellos.

Entre dos números reales cualesquiera a  <  b , por muy próximos que estén entre sí, siempre hay infinitos otros números reales, y Cantor demostró que son tantos como los que contiene todo el conjunto de números reales. En otras palabras, el intervalo abierto ( a , b ) es equinumeroso con , así como con varios otros conjuntos infinitos, como cualquier espacio euclidiano n -dimensional (véase curva de llenado del espacio ). Es decir, ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle |(a,b)|=|\mathbb {R} |=|\mathbb {R} ^{n}|.}$

El número cardinal infinito más pequeño es ( aleph-nulo ). El segundo más pequeño es ( aleph-uno ). La hipótesis del continuo , que afirma que no hay conjuntos cuya cardinalidad esté estrictamente entre y , significa que . ^[2] La verdad o falsedad de esta hipótesis es indecidible y no se puede probar dentro de la ampliamente utilizada teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel con axioma de elección (ZFC). ${\displaystyle \aleph _{0}}$ ${\displaystyle \aleph _{1}}$ ${\displaystyle \aleph _{0}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {c}}=\aleph _{1}}$

Propiedades

Incontabilidad

Georg Cantor introdujo el concepto de cardinalidad para comparar los tamaños de conjuntos infinitos. Demostró que el conjunto de números reales es incontablemente infinito . Es decir, es estrictamente mayor que la cardinalidad de los números naturales : ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ ${\displaystyle \aleph _{0}}$

${\displaystyle \aleph _{0}<{\mathfrak {c}}.}$

En la práctica, esto significa que, estrictamente hablando, hay más números reales que enteros. Cantor demostró esta afirmación de varias maneras diferentes. Para obtener más información sobre este tema, consulte la primera prueba de incontabilidad de Cantor y el argumento diagonal de Cantor .

Igualdades cardinales

Una variación del argumento diagonal de Cantor se puede utilizar para demostrar el teorema de Cantor , que establece que la cardinalidad de cualquier conjunto es estrictamente menor que la de su conjunto potencia . Es decir, (y por lo que el conjunto potencia de los números naturales es incontable). ^[3] De hecho, la cardinalidad de , por definición , es igual a . Esto se puede demostrar proporcionando aplicaciones uno a uno en ambas direcciones entre subconjuntos de un conjunto infinito numerable y números reales, y aplicando el teorema de Cantor-Bernstein-Schroeder según el cual dos conjuntos con aplicaciones uno a uno en ambas direcciones tienen la misma cardinalidad. ^{[4] [5]} En una dirección, los reales se pueden equiparar con cortes de Dedekind , conjuntos de números racionales, ^[4] o con sus expansiones binarias . ^[5] En la otra dirección, las expansiones binarias de números en el intervalo semiabierto , vistas como conjuntos de posiciones donde la expansión es uno, casi dan una aplicación uno a uno de subconjuntos de un conjunto contable (el conjunto de posiciones en las expansiones) a números reales, pero no es uno a uno para números con expansiones binarias terminales, que también pueden representarse mediante una expansión no terminal que termina en una secuencia repetida de 1. Esto puede convertirse en una aplicación uno a uno mediante que suma uno a las expansiones no terminales repetidas de 1, asignándolas a . ^[5] Por lo tanto, concluimos que ^{[4] [5]} ${\displaystyle |A|<2^{|A|}}$ ${\displaystyle \wp (\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \wp (\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ ${\displaystyle [0,1)}$ ${\displaystyle [1,2)}$

${\displaystyle {\mathfrak {c}}=|\wp (\mathbb {N} )|=2^{\aleph _{0}}.}$

La igualdad cardinal se puede demostrar utilizando aritmética cardinal : ${\displaystyle {\mathfrak {c}}^{2}={\mathfrak {c}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {c}}^{2}=(2^{\aleph _{0}})^{2}=2^{2\times {\aleph _{0}}}=2^{\aleph _{0}}={\mathfrak {c}}.}$

Utilizando las reglas de la aritmética cardinal, también se puede demostrar que

${\displaystyle {\mathfrak {c}}^{\aleph _{0}}={\aleph _{0}}^{\aleph _{0}}=n^{\aleph _{0}}={\mathfrak {c}}^{n}=\aleph _{0}{\mathfrak {c}}=n{\mathfrak {c}}={\mathfrak {c}}}$

donde n es cualquier cardinal finito ≥ 2 y

${\displaystyle {\mathfrak {c}}^{\mathfrak {c}}=(2^{\aleph _{0}})^{\mathfrak {c}}=2^{{\mathfrak {c}}\times \aleph _{0}}=2^{\mathfrak {c}}}$

donde es la cardinalidad del conjunto potencia de R , y . ${\displaystyle 2^{\mathfrak {c}}}$ ${\displaystyle 2^{\mathfrak {c}}>{\mathfrak {c}}}$

Explicación alternativa para 𝔠 = 20​

Todo número real tiene al menos una expansión decimal infinita . Por ejemplo,

1/2 = 0,50000...

1/3 = 0,33333...

π = 3,14159....

(Esto es cierto incluso en el caso de que la expansión se repita, como en los dos primeros ejemplos).

En cualquier caso dado, el número de decimales es contable, ya que se pueden poner en correspondencia uno a uno con el conjunto de números naturales . Esto hace que tenga sentido hablar, por ejemplo, del primer, el centésimo o el millonésimo decimal de π. Como los números naturales tienen cardinalidad, cada número real tiene dígitos en su desarrollo. ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \aleph _{0},}$ ${\displaystyle \aleph _{0}}$

Como cada número real se puede descomponer en una parte entera y una fracción decimal, obtenemos:

${\displaystyle {\mathfrak {c}}\leq \aleph _{0}\cdot 10^{\aleph _{0}}\leq 2^{\aleph _{0}}\cdot {(2^{4})}^{\aleph _{0}}=2^{\aleph _{0}+4\cdot \aleph _{0}}=2^{\aleph _{0}}}$

donde utilizamos el hecho de que

${\displaystyle \aleph _{0}+4\cdot \aleph _{0}=\aleph _{0}\,}$

Por otra parte, si asignamos y consideramos que las fracciones decimales que contienen solo 3 o 7 son solo una parte de los números reales, entonces obtenemos ${\displaystyle 2=\{0,1\}}$ ${\displaystyle \{3,7\}}$

${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}\leq {\mathfrak {c}}\,}$

y por lo tanto

${\displaystyle {\mathfrak {c}}=2^{\aleph _{0}}\,.}$

Números de Beth

La secuencia de números beth se define estableciendo y . Así es el segundo número beth, beth-uno : ${\displaystyle \beth _{0}=\aleph _{0}}$ ${\displaystyle \beth _{k+1}=2^{\beth _{k}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {c}}=\beth _{1}.}$

El tercer número beth, beth-dos , es la cardinalidad del conjunto potencia de (es decir, el conjunto de todos los subconjuntos de la línea real ): ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle 2^{\mathfrak {c}}=\beth _{2}.}$

La hipótesis del continuo

La hipótesis del continuo afirma que es también el segundo número aleph , . ^[2] En otras palabras, la hipótesis del continuo afirma que no existe ningún conjunto cuya cardinalidad se encuentre estrictamente entre y ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ ${\displaystyle \aleph _{1}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \aleph _{0}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$

${\displaystyle \nexists A\quad :\quad \aleph _{0}<|A|<{\mathfrak {c}}.}$

Ahora se sabe que esta afirmación es independiente de los axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel con el axioma de elección (ZFC), como lo demostraron Kurt Gödel y Paul Cohen . ^{[6] [7] [8]} Es decir, tanto la hipótesis como su negación son consistentes con estos axiomas. De hecho, para cada número natural distinto de cero n , la igualdad = es independiente de ZFC ( siendo el caso la hipótesis del continuo). Lo mismo es cierto para la mayoría de los demás alephs, aunque en algunos casos, la igualdad puede descartarse mediante el teorema de König sobre la base de la cofinalidad (por ejemplo, ). En particular, podría ser o , donde es el primer ordinal incontable , por lo que podría ser un cardenal sucesor o un cardenal límite , y un cardenal regular o un cardenal singular . ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ ${\displaystyle \aleph _{n}}$ ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle {\mathfrak {c}}\neq \aleph _{\omega }}$ ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ ${\displaystyle \aleph _{1}}$ ${\displaystyle \aleph _{\omega _{1}}}$ ${\displaystyle \omega _{1}}$

Conjuntos con cardinalidad del continuo

Una gran cantidad de conjuntos estudiados en matemáticas tienen cardinalidad igual a . Algunos ejemplos comunes son los siguientes: ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$

• Los números reales ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• cualquier intervalo ( no degenerado ) cerrado o abierto en (como el intervalo unitario ) ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle [0,1]}$
• Los números irracionales
• los números trascendentales
  El conjunto de los números algebraicos reales es infinito numerable (asignemos a cada fórmula su número de Gödel ). Por lo tanto, la cardinalidad de los números algebraicos reales es . Además, los números algebraicos reales y los números trascendentales reales son conjuntos disjuntos cuya unión es . Por lo tanto, como la cardinalidad de es , la cardinalidad de los números trascendentales reales es . Un resultado similar se sigue para los números trascendentales complejos, una vez que hemos demostrado que . ${\displaystyle \aleph _{0}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {c}}-\aleph _{0}={\mathfrak {c}}}$ ${\displaystyle \left\vert \mathbb {C} \right\vert ={\mathfrak {c}}}$
• El conjunto de Cantor
• Espacio euclidiano ^[9] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
• Los números complejos ${\displaystyle \mathbb {C} }$

  Según la prueba de la cardinalidad del espacio euclidiano de Per Cantor, ^[9] . Por definición, cualquier puede expresarse de forma única como para algún . Por lo tanto, definimos la biyección ${\displaystyle \left\vert \mathbb {R} ^{2}\right\vert ={\mathfrak {c}}}$ ${\displaystyle c\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle a+bi}$ ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$

  ${\displaystyle {\begin{aligned}f\colon \mathbb {R} ^{2}&\to \mathbb {C} \\(a,b)&\mapsto a+bi\end{aligned}}}$
• el conjunto potencia de los números naturales (el conjunto de todos los subconjuntos de los números naturales) ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {N} )}$
• el conjunto de secuencias de números enteros (es decir, todas las funciones , a menudo denotadas como ) ${\displaystyle \mathbb {N} \rightarrow \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{\mathbb {N} }}$
• el conjunto de secuencias de números reales, ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$
• el conjunto de todas las funciones continuas desde hasta ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• la topología euclidiana en (es decir, el conjunto de todos los conjuntos abiertos en ) ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
• el σ-álgebra de Borel en (es decir, el conjunto de todos los conjuntos de Borel en ). ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Conjuntos con mayor cardinalidad

Los conjuntos con cardinalidad mayor que incluyen: ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$

• el conjunto de todos los subconjuntos de (es decir, el conjunto potencia ) ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {R} )}$
• el conjunto 2 R de funciones indicadoras definidas en subconjuntos de los números reales (el conjunto es isomorfo a  – la función indicadora elige elementos de cada subconjunto para incluir) ${\displaystyle 2^{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {R} )}$
• el conjunto de todas las funciones desde hasta ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• el σ-álgebra de Lebesgue de , es decir, el conjunto de todos los conjuntos medibles de Lebesgue en . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• el conjunto de todas las funciones integrables de Lebesgue desde hasta ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• el conjunto de todas las funciones medibles por Lebesgue desde hasta ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• Las compactificaciones de Stone-Čech de , , y ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• el conjunto de todos los automorfismos del campo (discreto) de números complejos.

Todos estos tienen cardinalidad ( beth dos ) ${\displaystyle 2^{\mathfrak {c}}=\beth _{2}}$

Véase también

• Característica cardinal del continuo

Referencias

1. "Número transfinito | Matemáticas". Enciclopedia Británica . Consultado el 12 de agosto de 2020 .
2. Weisstein, Eric W. "Continuum". mathworld.wolfram.com . Consultado el 12 de agosto de 2020 .
3. "Teorema de Cantor". Enciclopedia de Matemáticas . EMS Press . 2001 [1994].
4. Stillwell, John (2002). "El problema del continuo". American Mathematical Monthly . 109 (3): 286–297. doi :10.1080/00029890.2002.11919865. JSTOR  2695360. MR  1903582.
5. Johnson, DL (1998). "Números cardinales". Capítulo 6: Números cardinales . Elementos de lógica a través de números y conjuntos. Springer Undergraduate Mathematics Series. Springer Londres. págs. 113–130. doi :10.1007/978-1-4471-0603-6_6. ISBN 9781447106036.
6. Gödel, Kurt (1940-12-31). Consistencia de la hipótesis del continuo. (AM-3). doi :10.1515/9781400881635. ISBN 9781400881635.
7. Cohen, Paul J. (diciembre de 1963). "La independencia de la hipótesis del continuo". Actas de la Academia Nacional de Ciencias . 50 (6): 1143–1148. Bibcode :1963PNAS...50.1143C. doi : 10.1073/pnas.50.6.1143 . ISSN  0027-8424. PMC 221287 . PMID  16578557. 
8. Cohen, Paul J. (enero de 1964). "La independencia de la hipótesis del continuo, II". Actas de la Academia Nacional de Ciencias . 51 (1): 105–110. Bibcode :1964PNAS...51..105C. doi : 10.1073/pnas.51.1.105 . ISSN  0027-8424. PMC 300611 . PMID  16591132. 
9. Se sorprendió Cantor?, Fernando Q. Gouvêa , American Mathematical Monthly , marzo de 2011.

Bibliografía

• Paul Halmos , Teoría ingenua de conjuntos . Princeton, Nueva Jersey: D. Van Nostrand Company, 1960. Reimpreso por Springer-Verlag, Nueva York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (edición Springer-Verlag). 
• Jech, Thomas , 2003. Teoría de conjuntos: edición del tercer milenio, revisada y ampliada . Springer. ISBN 3-540-44085-2 . 
• Kunen, Kenneth , 1980. Teoría de conjuntos: Introducción a las pruebas de independencia . Elsevier. ISBN 0-444-86839-9 . 

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