En geometría algebraica , una lemniscata ( ⫽ l ɛ m ˈ n ɪ s k ɪ t ⫽ o ⫽ ˈ l ɛ m n ɪ s ˌ k eɪ t , - k ɪ t ⫽ ) [1] es cualquiera de varias figuras en forma de ocho o Curvas en forma de ∞ . [2] [3] La palabra proviene del latín lēmniscātus , que significa "decorado con cintas", [4] del griego λημνίσκος ( lēmnískos ), que significa "cinta", [3] [5] [6] [7] o que alternativamente puede referirse a la lana con la que se hicieron las cintas . [2]
Las curvas que han sido llamadas lemniscata incluyen tres curvas de plano cuártico : el hipopedo o lemniscata de Booth , la lemniscata de Bernoulli y la lemniscata de Gerono . El hipopótamo fue estudiado por Proclo (siglo V), pero el término "lemniscata" no se utilizó hasta el trabajo de Jacob Bernoulli a finales del siglo XVII.
La consideración de las curvas con forma de ocho se remonta a Proclo , un filósofo y matemático neoplatónico griego que vivió en el siglo V d.C. Proclo consideró las secciones transversales de un toro por un plano paralelo al eje del toro. Como observó, en la mayoría de estas secciones la sección transversal consta de uno o dos óvalos; sin embargo, cuando el plano es tangente a la superficie interna del toroide, la sección transversal adopta una forma de ocho, que Proclo llamó grillete de caballo (un dispositivo para mantener juntas las dos patas de un caballo) o "hipopede". en griego. [8] El nombre "lemniscata de Booth" para esta curva se remonta a su estudio por parte del matemático del siglo XIX James Booth . [2]
La lemniscata se puede definir como una curva algebraica , el conjunto cero del polinomio de cuarto grado cuando el parámetro d es negativo (o cero para el caso especial en el que la lemniscata se convierte en un par de círculos externamente tangentes). Para valores positivos de d se obtiene en cambio el óvalo de Booth .
En 1680, Cassini estudió una familia de curvas, ahora llamada óvalo de Cassini , definida de la siguiente manera: el lugar geométrico de todos los puntos, el producto de cuyas distancias a dos puntos fijos, los focos de las curvas , es una constante. En circunstancias muy particulares (cuando la media distancia entre los puntos es igual a la raíz cuadrada de la constante) esto da lugar a una lemniscata.
En 1694, Johann Bernoulli estudió la caja de lemniscata del óvalo de Cassini, ahora conocida como lemniscata de Bernoulli (mostrada arriba), en relación con un problema de " isocronas " que había planteado anteriormente Leibniz . Como el hipopótamo, es una curva algebraica, el conjunto cero del polinomio . El hermano de Bernoulli, Jacob Bernoulli, también estudió la misma curva ese mismo año y le dio su nombre, lemniscata. [9] También puede definirse geométricamente como el lugar geométrico de puntos cuyo producto de distancias desde dos focos es igual al cuadrado de la mitad de la distancia interfocal. [10] Es un caso especial del hipopédico (lemniscata de Booth), con , y puede formarse como una sección transversal de un toro cuyo orificio interior y secciones transversales circulares tienen el mismo diámetro entre sí. [2] Las funciones elípticas lemniscatas son análogas a las funciones trigonométricas de la lemniscata de Bernoulli, y las constantes de la lemniscata surgen al evaluar la longitud del arco de esta lemniscata.
Otra lemniscata, la lemniscata de Gerono o lemniscata de Huygens, es el conjunto cero del polinomio cuártico . [12] [13] La curva de Viviani , una curva tridimensional formada al cruzar una esfera con un cilindro, también tiene forma de ocho y tiene la lemniscata de Gerono como proyección plana. [14]
Otras curvas algebraicas en forma de ocho incluyen
