En matemáticas, una lemniscata polinomial o curva de nivel polinomial es una curva algebraica plana de grado 2n, construida a partir de un polinomio p con coeficientes complejos de grado n .
Para cualquier polinomio p y número real positivo c , podemos definir un conjunto de números complejos mediante Este conjunto de números puede equipararse a puntos en el plano cartesiano real, lo que conduce a una curva algebraica ƒ ( x , y ) = c 2 de grado 2 n , que resulta de expandirse en términos de z = x + iy .
Cuando p es un polinomio de grado 1 entonces la curva resultante es simplemente un círculo cuyo centro es el cero de p . Cuando p es un polinomio de grado 2 entonces la curva es un óvalo de Cassini .
Una conjetura de Erdős que ha atraído un interés considerable se refiere a la longitud máxima de una lemniscata polinómica ƒ ( x , y ) = 1 de grado 2 n cuando p es mónica , que Erdős conjeturó que se alcanzaba cuando p ( z ) = z n − 1. Esto aún no se ha demostrado, pero Fryntov y Nazarov demostraron que p da un máximo local. [1] En el caso en que n = 2, la lemniscata de Erdős es la lemniscata de Bernoulli.
y se ha demostrado que esta es de hecho la longitud máxima en grado cuatro. La lemniscata de Erdős tiene tres puntos de pliegue n ordinarios, uno de los cuales está en el origen, y un género de ( n − 1)( n − 2)/2. Al invertir la lemniscata de Erdős en el círculo unitario, se obtiene una curva no singular de grado n .
En general, una lemniscata polinómica no se tocará en el origen y tendrá solo dos singularidades ordinarias de n pliegues y, por lo tanto, un género de ( n − 1) 2 . Como curva real, puede tener varios componentes desconectados. Por lo tanto, no se verá como una lemniscata , lo que hace que el nombre sea un tanto inapropiado.
Un ejemplo interesante de tales lemniscatas polinómicas son las curvas de Mandelbrot. Si establecemos p 0 = z , y p n = p n −1 2 + z , entonces las lemniscatas polinómicas correspondientes M n definidas por | p n ( z )| = 2 convergen al límite del conjunto de Mandelbrot . [2] Las curvas de Mandelbrot son de grado 2 n+1 . [3]
