La curva de Viviani.

Curva en forma de ocho sobre una esfera

Curva de Viviani: intersección de una esfera con un cilindro tangente.

La parte azul claro de la media esfera se puede cuadrar.

En matemáticas , la curva de Viviani , también conocida como ventana de Viviani , es una curva espacial en forma de ocho que lleva el nombre del matemático italiano Vincenzo Viviani . Es la intersección de una esfera con un cilindro que es tangente a la esfera y pasa por dos polos (un diámetro) de la esfera (ver diagrama). Antes de Viviani esta curva fue estudiada por Simon de La Loubère y Gilles de Roberval . ^{[1] [2]}

La proyección ortográfica de la curva de Viviani sobre un plano perpendicular a la recta que pasa por el punto de cruce y el centro de la esfera es la lemniscata de Gerono , mientras que la proyección estereográfica es una hipérbola o la lemniscata de Bernoulli , dependiendo de qué punto de la misma recta se utilice. para proyectar. ^[3]

En 1692 Viviani resolvió la siguiente tarea: Cortar de una media esfera (radio ) dos ventanas, de manera que la superficie restante (de la media esfera) pueda ser cuadrada , es decir, se pueda construir un cuadrado con la misma área usando sólo un compás y una regla. . Su solución tiene un área de (ver más abajo). ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle 4r^{2}}$

Ecuaciones

Con el cilindro en posición vertical.

Para mantener simple la prueba de elevar al cuadrado,

la esfera tiene la ecuacion ${\displaystyle \;x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}\;}$

y

el cilindro está en posición vertical con la ecuación . ${\displaystyle \;x^{2}+y^{2}-rx=0\;}$

El cilindro tiene radio y es tangente a la esfera en el punto ${\displaystyle r/2}$ ${\displaystyle (r,0,0)\ .}$

Propiedades de la curva

Planta, alzado y planta lateral.

Planta, alzado y planta lateral.

La eliminación de , , respectivamente produce: ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$

La proyección ortogonal de la curva de intersección sobre la

${\displaystyle x}$- -el plano es el círculo con ecuación ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \;\left(x-{\tfrac {r}{2}}\right)^{2}+y^{2}=\left({\tfrac {r}{2}}\right)^{2}\ .}$

${\displaystyle x}$- -planear la parábola con ecuación ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \;x=-{\tfrac {1}{r}}z^{2}+r\;.}$

${\displaystyle y}$- -planear la curva algebraica con la ecuación ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \;z^{4}+r^{2}(y^{2}-z^{2})=0\;.}$

Representación paramétrica

Para la representación paramétrica y la determinación del área.

Representando la esfera por

${\displaystyle {\begin{array}{cll}x&=&r\cdot \cos \theta \cdot \cos \varphi \\y&=&r\cdot \cos \theta \cdot \sin \varphi \\z&=&r\cdot \sin \theta \qquad \qquad -{\tfrac {\pi }{2}}\leq \theta \leq {\tfrac {\pi }{2}}\ ,\ -\pi \leq \varphi \leq \pi \;,\end{array}}}$

y el ajuste produce la curva ${\displaystyle \;\varphi =\theta ,\;}$

${\displaystyle {\begin{array}{cll}x&=&r\cdot \cos \theta \cdot \cos \theta \\y&=&r\cdot \cos \theta \cdot \sin \theta \\z&=&r\cdot \sin \theta \qquad \qquad -{\tfrac {\pi }{2}}\leq \theta \leq {\tfrac {\pi }{2}}\ .\end{array}}}$

Se comprueba fácilmente que la curva esférica cumple la ecuación del cilindro. Pero los límites sólo permiten la parte roja (ver diagrama) de la curva de Viviani. La segunda mitad faltante (verde) tiene la propiedad. ${\displaystyle \;\color {green}\varphi =-\theta \;.}$

Con la ayuda de esta representación paramétrica es fácil demostrar la afirmación: El área de la media esfera (que contiene la curva de Viviani) menos el área de las dos ventanas es . El área de la parte superior derecha de la ventana de Viviani (ver diagrama) se puede calcular mediante una integración : ${\displaystyle 4r^{2}}$

${\displaystyle \iint _{S_{sphere}}r^{2}\cos \theta \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi =r^{2}\int _{0}^{\pi /2}\int _{0}^{\theta }\cos \theta \,\mathrm {d} \varphi \,\mathrm {d} \theta =r^{2}\left({\frac {\pi }{2}}-1\right)\ .}$

Por lo tanto, el área total de la superficie esférica incluida por la curva de Viviani es y el área de la media esfera ( ) menos el área de la ventana de Viviani es el área de un cuadrado con el diámetro de la esfera como la longitud de un borde. ${\displaystyle 2\pi r^{2}-4r^{2}}$ ${\displaystyle 2\pi r^{2}}$ ${\displaystyle \;4r^{2}\;}$

Representación racional de Bézier

El cuarto de la curva de Viviani que se encuentra en el cuadrante totalmente positivo del espacio 3D no puede representarse exactamente mediante una curva de Bézier regular de ningún grado.

Sin embargo, se puede representar exactamente mediante un segmento de Bézier racional 3D de grado 4, y existe una familia infinita de puntos de control de Bézier racionales que generan ese segmento.

Una posible solución viene dada por los siguientes cinco puntos de control:

${\displaystyle {\boldsymbol {p0}}={\begin{bmatrix}0\\0\\1\\1\end{bmatrix}}{\boldsymbol {p1}}={\begin{bmatrix}0\\{\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}{\boldsymbol {p2}}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{3}}\\{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2}}\\{\frac {2}{3}}\end{bmatrix}}{\boldsymbol {p3}}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}\\{\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}{\boldsymbol {p4}}={\begin{bmatrix}1\\0\\0\\1\end{bmatrix}}}$

La parametrización racional correspondiente es:

${\displaystyle \left({\begin{array}{c}{\frac {2\mu ^{2}\left(\mu ^{2}-2\left(2+{\sqrt {2}}\right)\mu +4{\sqrt {2}}+6\right)}{\left(2(\mu -1)\mu +{\sqrt {2}}+2\right)^{2}}}\\{\frac {2(\mu -1)\mu \left((\mu -1)\mu -3{\sqrt {2}}-4\right)}{\left(2(\mu -1)\mu +{\sqrt {2}}+2\right)^{2}}}\\-{\frac {(\mu -1)\left({\sqrt {2}}\mu +{\sqrt {2}}+2\right)}{2(\mu -1)\mu +{\sqrt {2}}+2}}\\\end{array}}\right)\;\mu \in \left[0,1\right]}$

Relación con otras curvas

• La elevación en forma de 8 (ver arriba) es una Lemniscata de Gerono .
• La curva de Viviani es una curva especial de Clelia . Para una curva de Clelia, la relación entre los ángulos es ${\displaystyle \;\varphi =c\;\theta \;.}$

Curva de Viviani (roja) como intersección de la esfera y un cono (rosa)

Restar 2× la ecuación del cilindro de la ecuación de la esfera y aplicar completar el cuadrado lleva a la ecuación

${\displaystyle (x-r)^{2}+y^{2}=z^{2}\;,}$

que describe un cono circular recto con su vértice en , el doble punto de la curva de Viviani. Por eso ${\displaystyle \;(r,0,0)\;}$

• La curva de Viviani puede considerarse no sólo como la curva de intersección de una esfera y un cilindro sino también como

a) la intersección de una esfera y un cono y como

b) la intersección de un cilindro y un cono.

Ver también

• Intersección esfera-cilindro

Referencias

1. Kuno Fladt: Analytische Geometrie spezieller Flächen und Raumkurven. Springer-Verlag, 2013, ISBN  3322853659 , 9783322853653, pág. 97.
2. K. Strubecker: Vorlesungen der Darstellenden Geometrie. Vandenhoeck y Ruprecht, Gotinga 1967, pág. 250.
3. Costa, Luisa Rossi; Marchetti, Elena (2005), “Investigación Matemática e Histórica sobre Cúpulas y Bóvedas”, en Weber, Ralf; Amann, Matthias Albrecht (eds.), Estética y composición arquitectónica: actas del Simposio Internacional de Arquitectura de Dresde 2004 , Mammendorf: Pro Literatur, págs..

enlaces externos

• Berger, Marcel: Geometría. II. Traducido del francés por M. Cole y S. Levy. Texto universitario. Springer-Verlag, Berlín, 1987.
• Berger, Marcel: Geometría. I. Traducido del francés por M. Cole y S. Levy. Texto universitario. Springer-Verlag, Berlín, 1987. xiv+428 págs. ISBN 3-540-11658-3 
• "Curva de Viviani", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "La curva de Viviani". MundoMatemático .