Operador diferencial invariante

En matemáticas y física teórica , un operador diferencial invariante es una especie de mapa matemático de algunos objetos a un objeto de tipo similar. Estos objetos suelen ser funciones en , funciones en una variedad , funciones con valores vectoriales , campos vectoriales o, de forma más general, secciones de un fibrado vectorial . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

En un operador diferencial invariante , el término operador diferencial indica que el valor de la función depende únicamente de y de las derivadas de en . La palabra invariante indica que el operador contiene cierta simetría . Esto significa que hay un grupo con una acción de grupo sobre las funciones (u otros objetos en cuestión) y esta acción es preservada por el operador: ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle Df}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle D(g\cdot f)=g\cdot (Df).}$

Generalmente, la acción del grupo tiene el significado de un cambio de coordenadas (cambio de observador) y la invariancia significa que el operador tiene la misma expresión en todas las coordenadas admisibles.

Invariancia en espacios homogéneos

Sea M  =  G / H un espacio homogéneo para un grupo de Lie G y un subgrupo de Lie H. Toda representación da lugar a un fibrado vectorial ${\displaystyle \rho :H\rightarrow \mathrm {Aut} (\mathbb {V} )}$

${\displaystyle V=G\times _{H}\mathbb {V} \;{\text{where}}\;(gh,v)\sim (g,\rho (h)v)\;\forall \;g\in G,\;h\in H\;{\text{and}}\;v\in \mathbb {V} .}$

Las secciones se pueden identificar con ${\displaystyle \varphi \in \Gamma (V)}$

${\displaystyle \Gamma (V)=\{\varphi :G\rightarrow \mathbb {V} \;:\;\varphi (gh)=\rho (h^{-1})\varphi (g)\;\forall \;g\in G,\;h\in H\}.}$

En esta forma el grupo G actúa sobre las secciones a través de

${\displaystyle (\ell _{g}\varphi )(g')=\varphi (g^{-1}g').}$

Ahora sean V y W dos fibrados vectoriales sobre M. Entonces un operador diferencial

${\displaystyle d:\Gamma (V)\rightarrow \Gamma (W)}$

que asigna secciones de V a secciones de W se llama invariante si

${\displaystyle d(\ell _{g}\varphi )=\ell _{g}(d\varphi ).}$

para todas las secciones en y elementos g en G . Todos los operadores diferenciales invariantes lineales en geometrías parabólicas homogéneas , es decir cuando G es semisimple y H es un subgrupo parabólico, se dan dualmente por homomorfismos de módulos de Verma generalizados . ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \Gamma (V)}$

Invariancia en términos de índices abstractos

Dadas dos conexiones y una forma , tenemos ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle {\hat {\nabla }}}$ ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \nabla _{a}\omega _{b}={\hat {\nabla }}_{a}\omega _{b}-Q_{ab}{}^{c}\omega _{c}}$

para algún tensor . ^[1] Dada una clase de equivalencia de conexiones , decimos que un operador es invariante si la forma del operador no cambia cuando cambiamos de una conexión en la clase de equivalencia a otra. Por ejemplo, si consideramos la clase de equivalencia de todas las conexiones libres de torsión , entonces el tensor Q es simétrico en sus índices inferiores, es decir . Por lo tanto, podemos calcular ${\displaystyle Q_{ab}{}^{c}}$ ${\displaystyle [\nabla ]}$ ${\displaystyle Q_{ab}{}^{c}=Q_{(ab)}{}^{c}}$

${\displaystyle \nabla _{[a}\omega _{b]}={\hat {\nabla }}_{[a}\omega _{b]},}$

donde los corchetes indican simetrización oblicua. Esto muestra la invariancia de la derivada exterior cuando actúa sobre una de las formas. Las clases de equivalencia de conexiones surgen naturalmente en geometría diferencial, por ejemplo:

• En geometría conforme, una clase de equivalencia de conexiones está dada por las conexiones de Levi Civita de todas las métricas en la clase conforme;
• En geometría proyectiva, una clase de equivalencia de conexión está dada por todas las conexiones que tienen las mismas geodésicas ;
• En la geometría CR, una clase de equivalencia de conexiones está dada por las conexiones de Tanaka-Webster para cada elección de estructura pseudohermítica.

Ejemplos

1. El operador de gradiente habitual que actúa sobre funciones de valores reales en el espacio euclidiano es invariante con respecto a todas las transformaciones euclidianas . ${\displaystyle \nabla }$
2. La diferencial que actúa sobre funciones de una variedad con valores en 1-formas (su expresión está en cualquier coordenada local) es invariante con respecto a todas las transformaciones suaves de la variedad (la acción de la transformación sobre las formas diferenciales es simplemente el pullback ).
         ${\displaystyle d=\sum _{j}\partial _{j}\,dx_{j}}$
   
3. En términos más generales, la derivada exterior que actúa sobre n -formas de cualquier variedad suave M es invariante con respecto a todas las transformaciones suaves. Se puede demostrar que la derivada exterior es el único operador diferencial invariante lineal entre esos fibrados.
         ${\displaystyle d:\Omega ^{n}(M)\rightarrow \Omega ^{n+1}(M)}$
   
4. El operador de Dirac en física es invariante con respecto al grupo de Poincaré (si elegimos la acción propia del grupo de Poincaré sobre funciones con valores de espín. Sin embargo, esta es una cuestión sutil y si queremos hacerla matemáticamente rigurosa, deberíamos decir que es invariante con respecto a un grupo que es una doble cobertura del grupo de Poincaré).
5. La ecuación de Killing conforme es un operador diferencial lineal invariante conforme entre campos vectoriales y tensores simétricos sin trazas.
         ${\displaystyle X^{a}\mapsto \nabla _{(a}X_{b)}-{\frac {1}{n}}\nabla _{c}X^{c}g_{ab}}$
   

Invariancia conforme

• 
  La esfera (aquí mostrada como un círculo rojo) como una variedad homogénea conforme.

Dada una métrica

${\displaystyle g(x,y)=x_{1}y_{n+2}+x_{n+2}y_{1}+\sum _{i=2}^{n+1}x_{i}y_{i}}$

En , podemos escribir la esfera como el espacio de generadores del cono nulo ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+2}}$ ${\displaystyle S^{n}}$

${\displaystyle S^{n}=\{[x]\in \mathbb {RP} _{n+1}\;:\;g(x,x)=0\}.}$

De esta manera, el modelo plano de la geometría conforme es la esfera con y P el estabilizador de un punto en . Se conoce una clasificación de todos los operadores diferenciales lineales conformemente invariantes sobre la esfera (Eastwood y Rice, 1987). ^[2] ${\displaystyle S^{n}=G/P}$ ${\displaystyle G=SO_{0}(n+1,1)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+2}}$

Véase también

• Operadores diferenciales
• Invariante de Laplace
• Factorización invariante de LPDO

Notas

1. Penrose y Rindler (1987). Espinores y espacio-tiempo . Cambridge Monographs on Mathematical Physics.
2. MG Eastwood y JW Rice (1987). "Operadores diferenciales conformemente invariantes en el espacio de Minkowski y sus análogos curvos". Commun. Math. Phys . 109 (2): 207–228. Bibcode :1987CMaPh.109..207E. doi :10.1007/BF01215221. S2CID  121161256.

^[1]

Referencias

• Slovák, Jan (1993). Operadores invariantes en variedades conformes. Apuntes de investigación, Universidad de Viena (tesis doctoral).
• Kolář, Ivan; Michor, Peter; Slovák, Jan (1993). Operadores naturales en geometría diferencial (PDF) . Springer-Verlag, Berlín, Heidelberg, Nueva York. Archivado desde el original (PDF) el 2017-03-30 . Consultado el 2011-01-05 .
• Eastwood, MG; Rice, JW (1987). "Operadores diferenciales conformemente invariantes en el espacio de Minkowski y sus análogos curvos". Commun. Math. Phys . 109 (2): 207–228. Bibcode :1987CMaPh.109..207E. doi :10.1007/BF01215221. S2CID  121161256.
• Kroeske, Jens (2008). "Invariant bilinear differential pairings on parabolic geometries". Tesis doctoral de la Universidad de Adelaida . arXiv : 0904.3311 . Bibcode :2009PhDT.......274K.

1. Dobrev, Vladimir (1988). "Construcción canónica de operadores diferenciales entrelazados asociados con representaciones de grupos de Lie semisimples reales". Rep. Math. Phys . 25 (2): 159–181. Bibcode :1988RpMP...25..159D. doi :10.1016/0034-4877(88)90050-X.