Ley esférica de los cosenos

Relación matemática en triángulos esféricos

En trigonometría esférica , la ley de los cosenos (también llamada regla del coseno para los lados ^[1] ) es un teorema que relaciona los lados y los ángulos de los triángulos esféricos , análogo a la ley ordinaria de los cosenos de la trigonometría plana .

Triángulo esférico resuelto por la ley de los cosenos.

Dada una esfera unitaria, un "triángulo esférico" en la superficie de la esfera se define por los círculos máximos que conectan tres puntos u , v y w en la esfera (mostrados a la derecha). Si las longitudes de estos tres lados son a (de u a v ), b (de u a w ) y c (de v a w ), y el ángulo de la esquina opuesta a c es C , entonces la (primera) ley esférica de los cosenos establece: ^{[2] [1]}

$${\displaystyle \cos c=\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos C\,}$$

Como se trata de una esfera unitaria, las longitudes a , b y c son simplemente iguales a los ángulos (en radianes ) subtendidos por esos lados desde el centro de la esfera. (Para una esfera no unitaria, las longitudes son los ángulos subtendidos por el radio, y la fórmula sigue siendo válida si a , b y c se reinterpretan como los ángulos subtendidos). Como caso especial, para C = ⁠π/2⁠ , entonces cos C = 0 , y se obtiene el análogo esférico del teorema de Pitágoras :

$${\displaystyle \cos c=\cos a\cos b\,}$$

Si se utiliza la ley de los cosenos para calcular c , la necesidad de invertir el coseno aumenta los errores de redondeo cuando c es pequeño. En este caso, es preferible la formulación alternativa de la ley de los senos de Havers . ^[3]

Una variación de la ley de los cosenos, la segunda ley esférica de los cosenos, ^[4] (también llamada regla del coseno para ángulos ^[1] ) establece:

$${\displaystyle \cos C=-\cos A\cos B+\sin A\sin B\cos c\,}$$

donde A y B son los ángulos de los vértices opuestos a los lados a y b , respectivamente. Se puede obtener considerando un triángulo esférico dual al dado.

Pruebas

Primera prueba

Sean u , v y w los vectores unitarios desde el centro de la esfera hasta las esquinas del triángulo. Los ángulos y las distancias no cambian si se rota el sistema de coordenadas, por lo que podemos rotar el sistema de coordenadas de modo que esté en el polo norte y en algún lugar del meridiano principal (longitud de 0). Con esta rotación, las coordenadas esféricas para son donde θ es el ángulo medido desde el polo norte, no desde el ecuador, y las coordenadas esféricas para son Las coordenadas cartesianas para son y las coordenadas cartesianas para son El valor de es el producto escalar de los dos vectores cartesianos, que es ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle (r,\theta ,\phi )=(1,a,0),}$ ${\displaystyle \mathbf {w} }$ ${\displaystyle (r,\theta ,\phi )=(1,b,C).}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle (x,y,z)=(\sin a,0,\cos a)}$ ${\displaystyle \mathbf {w} }$ ${\displaystyle (x,y,z)=(\sin b\cos C,\sin b\sin C,\cos b).}$ ${\displaystyle \cos c}$ ${\displaystyle \sin a\sin b\cos C+\cos a\cos b.}$

Segunda prueba

Sean u , v y w los vectores unitarios desde el centro de la esfera hasta los vértices del triángulo. Tenemos u · u = 1 , v · w = cos c , u · v = cos a y u · w = cos b . Los vectores u × v y u × w tienen longitudes sen a y sen b respectivamente y el ángulo entre ellos es C , por lo que $${\displaystyle {\begin{aligned}\sin a\sin b\cos C&=({\mathbf {u}}\times {\mathbf {v}})\cdot ({\mathbf {u}}\times {\mathbf {w}})\\&=({\mathbf {u}}\cdot {\mathbf {u}})({\mathbf {v}}\cdot {\mathbf {w}})-({\mathbf {u}}\cdot {\mathbf {v}})({\mathbf {u}}\cdot {\mathbf {w}})\\&=\cos c-\cos a\cos b\end{aligned}}}$$

utilizando productos cruzados , productos escalares y la identidad de Binet-Cauchy $${\displaystyle ({\mathbf {p}}\times {\mathbf {q}})\cdot ({\mathbf {r}}\times {\mathbf {s}})=({\mathbf {p}}\cdot {\mathbf {r}})({\mathbf {q}}\cdot {\mathbf {s}})-({\mathbf {p}}\cdot {\mathbf {s}})({\mathbf {q}}\cdot {\mathbf {r}}).}$$

Reordenamientos

La primera y la segunda ley esférica de los cosenos se pueden reorganizar para colocar los lados ( a , b , c ) y los ángulos ( A , B , C ) en lados opuestos de las ecuaciones: $${\displaystyle {\begin{aligned}\cos C&={\frac {\cos c-\cos a\cos b}{\sin a\sin b}}\\\cos c&={\frac {\cos C+\cos A\cos B}{\sin A\sin B}}\\\end{aligned}}}$$

Límite planar: ángulos pequeños

Para triángulos esféricos pequeños , es decir, para a , b y c pequeños , la ley esférica de los cosenos es aproximadamente la misma que la ley plana ordinaria de los cosenos, $${\displaystyle c^{2}\approx a^{2}+b^{2}-2ab\cos C\,.}$$

Para demostrarlo, utilizaremos la aproximación de ángulo pequeño obtenida de la serie de Maclaurin para las funciones coseno y seno: $${\displaystyle {\begin{aligned}\cos a&=1-{\frac {a^{2}}{2}}+O\left(a^{4}\right)\\\sin a&=a+O\left(a^{3}\right)\end{aligned}}}$$

Sustituyendo estas expresiones en las redes de la ley esférica de cosenos:

$${\displaystyle 1-{\frac {c^{2}}{2}}+O\left(c^{4}\right)=1-{\frac {a^{2}}{2}}-{\frac {b^{2}}{2}}+{\frac {a^{2}b^{2}}{4}}+O\left(a^{4}\right)+O\left(b^{4}\right)+\cos(C)\left(ab+O\left(a^{3}b\right)+O\left(ab^{3}\right)+O\left(a^{3}b^{3}\right)\right)}$$

o después de simplificar:

$${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C+O\left(c^{4}\right)+O\left(a^{4}\right)+O\left(b^{4}\right)+O\left(a^{2}b^{2}\right)+O\left(a^{3}b\right)+O\left(ab^{3}\right)+O\left(a^{3}b^{3}\right).}$$

Los términos O grandes para a y b están dominados por O ( a ⁴ ) + O ( b ⁴ ) a medida que a y b se hacen pequeños, por lo que podemos escribir esta última expresión como:

$${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C+O\left(a^{4}\right)+O\left(b^{4}\right)+O\left(c^{4}\right).}$$

Historia

Algo equivalente a la ley esférica de los cosenos fue utilizado (aunque no enunciado en general) por al-Khwārizmī (siglo IX), al-Battānī (siglo IX) y Nīlakaṇṭha (siglo XV). ^[5]

Véase también

• Fórmula de la mitad del lado
• Ley hiperbólica de los cosenos
• Solución de triángulos
• Ley esférica de senos

Notas

1. W. Gellert, S. Gottwald, M. Hellwich, H. Kästner y H. Küstner, The VNR Concise Encyclopedia of Mathematics , 2ª ed., cap. 12 (Van Nostrand Reinhold: Nueva York, 1989).
2. Romuald Ireneus 'Scibor-Marchocki, Trigonometría esférica, Página web de Trigonometría de geometría elemental (1997).
3. RW Sinnott, "Virtudes de la Haversina", Sky and Telescope 68 (2), 159 (1984).
4. Reiman, István (1999). Geometria és határterületei . Szalay Könyvkiadó és Kereskedőház Kft. pag. 83.
5. Van Brummelen, Glen (2012). Matemáticas celestiales: El arte olvidado de la trigonometría esférica . Princeton University Press. p. 98. Bibcode :2012hmfa.book.....V.