Colector Stiefel

En matemáticas , la variedad de Stiefel es el conjunto de todos los k -frames ortonormales en Es decir, es el conjunto de k -tuplas ortonormales ordenadas de vectores en Lleva el nombre del matemático suizo Eduard Stiefel . Asimismo, se puede definir la variedad compleja de Stiefel de fotogramas k ortonormales en y la variedad Stiefel cuaterniónica de fotogramas k ortonormales en . De manera más general, la construcción se aplica a cualquier espacio de producto interno real, complejo o cuaterniónico . ${\displaystyle V_{k}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$ ${\displaystyle V_{k}(\mathbb {C} ^{n})}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle V_{k}(\mathbb {H} ^{n})}$ ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$

En algunos contextos, una variedad de Stiefel no compacta se define como el conjunto de todos los fotogramas k linealmente independientes en o esto es equivalente a la homotopía , ya que la variedad de Stiefel compacta es una retracción de deformación de la no compacta, por Gram-Schmidt . Los enunciados sobre la forma no compacta corresponden a los de la forma compacta, reemplazando el grupo ortogonal (o grupo unitario o simpléctico ) por el grupo lineal general . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},\mathbb {C} ^{n},}$ ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n};}$

Topología

Dejemos representar o La variedad de Stiefel se puede considerar como un conjunto de matrices n × k escribiendo un marco k como una matriz de k vectores columna en La condición de ortonormalidad se expresa por A * A = donde A * denota la transpuesta conjugada de A y denota la matriz identidad k × k . entonces tenemos ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,\mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {H} .}$ ${\displaystyle V_{k}(\mathbb {F} ^{n})}$ ${\displaystyle \mathbb {F} ^{n}.}$ ${\displaystyle I_{k}}$ ${\displaystyle I_{k}}$

${\displaystyle V_{k}(\mathbb {F} ^{n})=\left\{A\in \mathbb {F} ^{n\times k}:A^{*}A=I_{k}\right\}.}$

La topología es la topología subespacial heredada de Con esta topología es una variedad compacta cuya dimensión está dada por ${\displaystyle V_{k}(\mathbb {F} ^{n})}$ ${\displaystyle \mathbb {F} ^{n\times k}.}$ ${\displaystyle V_{k}(\mathbb {F} ^{n})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\dim V_{k}(\mathbb {R} ^{n})&=nk-{\frac {1}{2}}k(k+1)\\\dim V_{k}(\mathbb {C} ^{n})&=2nk-k^{2}\\\dim V_{k}(\mathbb {H} ^{n})&=4nk-k(2k-1)\end{aligned}}}$

Como un espacio homogéneo

Cada una de las variedades de Stiefel puede verse como un espacio homogéneo para la acción de un grupo clásico de forma natural. ${\displaystyle V_{k}(\mathbb {F} ^{n})}$

Cada transformación ortogonal de un k -cuadro da como resultado otro k -cuadro, y dos k -cuadros cualesquiera están relacionados por alguna transformación ortogonal. En otras palabras, el grupo ortogonal O( n ) actúa transitivamente sobre el complemento ortogonal del espacio abarcado por ese marco. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle V_{k}(\mathbb {R} ^{n}).}$

Asimismo, el grupo unitario U ( n ) actúa transitivamente con el subgrupo estabilizador U ( n − k ) y el grupo simpléctico Sp ( n ) actúa transitivamente con el subgrupo estabilizador Sp ( n − k ). ${\displaystyle V_{k}(\mathbb {C} ^{n})}$ ${\displaystyle V_{k}(\mathbb {H} ^{n})}$

En cada caso se puede considerar como un espacio homogéneo: ${\displaystyle V_{k}(\mathbb {F} ^{n})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{k}(\mathbb {R} ^{n})&\cong {\mbox{O}}(n)/{\mbox{O}}(n-k)\\V_{k}(\mathbb {C} ^{n})&\cong {\mbox{U}}(n)/{\mbox{U}}(n-k)\\V_{k}(\mathbb {H} ^{n})&\cong {\mbox{Sp}}(n)/{\mbox{Sp}}(n-k)\end{aligned}}}$

Cuando k = n , la acción correspondiente es libre, de modo que la variedad de Stiefel es un espacio principal homogéneo para el grupo clásico correspondiente. ${\displaystyle V_{n}(\mathbb {F} ^{n})}$

Cuando k es estrictamente menor que n , entonces el grupo ortogonal especial SO ( n ) también actúa transitivamente con el subgrupo estabilizador isomorfo a SO( n − k ) de modo que ${\displaystyle V_{k}(\mathbb {R} ^{n})}$

${\displaystyle V_{k}(\mathbb {R} ^{n})\cong {\mbox{SO}}(n)/{\mbox{SO}}(n-k)\qquad {\mbox{for }}k<n.}$

Lo mismo se aplica a la acción del grupo unitario especial sobre ${\displaystyle V_{k}(\mathbb {C} ^{n})}$

${\displaystyle V_{k}(\mathbb {C} ^{n})\cong {\mbox{SU}}(n)/{\mbox{SU}}(n-k)\qquad {\mbox{for }}k<n.}$

Así, para k = n  − 1, la variedad de Stiefel es un espacio homogéneo principal para el grupo clásico especial correspondiente.

Medida uniforme

La variedad Stiefel puede equiparse con una medida uniforme , es decir, una medida Borel que es invariante bajo la acción de los grupos mencionados anteriormente. Por ejemplo, que es isomorfo al círculo unitario en el plano euclidiano, tiene como medida uniforme la medida uniforme obvia ( longitud del arco ) en el círculo. Es sencillo muestrear esta medida usando matrices aleatorias gaussianas : si es una matriz aleatoria con entradas independientes distribuidas idénticamente según la distribución normal estándar y A  =  QR es la factorización QR de A , entonces las matrices son variables aleatorias independientes y Q se distribuye según la medida uniforme en Este resultado es consecuencia del teorema de descomposición de Bartlett . ^[1] ${\displaystyle V_{1}(\mathbb {R} ^{2})}$ ${\displaystyle V_{k}(\mathbb {F} ^{n})}$ ${\displaystyle A\in \mathbb {F} ^{n\times k}}$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle Q\in \mathbb {F} ^{n\times k},R\in \mathbb {F} ^{k\times k}}$ ${\displaystyle V_{k}(\mathbb {F} ^{n}).}$

Casos especiales

Un cuadro de 1 no es más que un vector unitario, por lo que la variedad de Stiefel es solo la esfera unitaria en Por lo tanto: ${\displaystyle \mathbb {F} ^{n}}$ ${\displaystyle V_{1}(\mathbb {F} ^{n})}$ ${\displaystyle \mathbb {F} ^{n}.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{1}(\mathbb {R} ^{n})&=S^{n-1}\\V_{1}(\mathbb {C} ^{n})&=S^{2n-1}\\V_{1}(\mathbb {H} ^{n})&=S^{4n-1}\end{aligned}}}$

Dado un cuadro de 2, deje que el primer vector defina un punto en S ^{n −1 y el segundo un} vector unitario tangente a la esfera en ese punto. De esta manera, la variedad de Stiefel puede identificarse con el haz unitario tangente a S ^{n −1} . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle V_{2}(\mathbb {R} ^{n})}$

Cuando k = n o n −1 vimos en el apartado anterior que es un espacio principal homogéneo, y por tanto difeomorfo al grupo clásico correspondiente: ${\displaystyle V_{k}(\mathbb {F} ^{n})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{n-1}(\mathbb {R} ^{n})&\cong \mathrm {SO} (n)\\V_{n-1}(\mathbb {C} ^{n})&\cong \mathrm {SU} (n)\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{n}(\mathbb {R} ^{n})&\cong \mathrm {O} (n)\\V_{n}(\mathbb {C} ^{n})&\cong \mathrm {U} (n)\\V_{n}(\mathbb {H} ^{n})&\cong \mathrm {Sp} (n)\end{aligned}}}$

Funcionalidad

Dada una inclusión ortogonal entre espacios vectoriales, la imagen de un conjunto de k vectores ortonormales es ortonormal, por lo que hay una inclusión cerrada inducida de variedades de Stiefel, y esto es functorial . Más sutilmente, dado un espacio vectorial X de n dimensiones , la construcción de base dual proporciona una biyección entre bases para X y bases para el espacio dual que es continua y, por lo tanto, produce un homeomorfismo de las variedades superiores de Stiefel. Esto también es funcional para isomorfismos de vector espacios. ${\displaystyle X\hookrightarrow Y,}$ ${\displaystyle V_{k}(X)\hookrightarrow V_{k}(Y),}$ ${\displaystyle X^{*},}$ ${\displaystyle V_{n}(X){\stackrel {\sim }{\to }}V_{n}(X^{*}).}$

Como paquete principal

Hay una proyección natural.

${\displaystyle p:V_{k}(\mathbb {F} ^{n})\to G_{k}(\mathbb {F} ^{n})}$

desde la variedad Stiefel hasta la Grassmanniana de k -planos en la que envía un k -cuadro al subespacio abarcado por ese marco. La fibra sobre un punto dado P es el conjunto de todos los k -marcos ortonormales contenidos en el espacio P. ${\displaystyle V_{k}(\mathbb {F} ^{n})}$ ${\displaystyle \mathbb {F} ^{n}}$ ${\displaystyle G_{k}(\mathbb {F} ^{n})}$

Esta proyección tiene la estructura de un paquete G principal donde G es el grupo clásico asociado de grado k . Tomemos el caso real a favor de la concreción. Existe una acción recta natural de O( k ) sobre la cual gira un k -marco en el espacio que abarca. Esta acción es gratuita pero no transitiva. Las órbitas de esta acción son precisamente los k -marcos ortonormales que abarcan un subespacio k -dimensional dado; es decir, son las fibras del mapa p . Argumentos similares son válidos en los casos complejos y cuaterniónicos. ${\displaystyle V_{k}(\mathbb {R} ^{n})}$

Entonces tenemos una secuencia de paquetes principales:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {O} (k)&\to V_{k}(\mathbb {R} ^{n})\to G_{k}(\mathbb {R} ^{n})\\\mathrm {U} (k)&\to V_{k}(\mathbb {C} ^{n})\to G_{k}(\mathbb {C} ^{n})\\\mathrm {Sp} (k)&\to V_{k}(\mathbb {H} ^{n})\to G_{k}(\mathbb {H} ^{n})\end{aligned}}}$

Los haces de vectores asociados a estos haces principales mediante la acción natural de G on son simplemente los haces tautológicos de los Grassmannianos. En otras palabras, la variedad de Stiefel es el paquete de marcos ortogonal, unitario o simpléctico asociado al paquete tautológico en un Grassmanniano. ${\displaystyle \mathbb {F} ^{k}}$ ${\displaystyle V_{k}(\mathbb {F} ^{n})}$

Cuando se pasa al límite, estas cestas se convierten en cestas universales para los grupos clásicos. ${\displaystyle n\to \infty }$

homotopía

Las variedades Stiefel encajan en una familia de fibraciones :

${\displaystyle V_{k-1}(\mathbb {R} ^{n-1})\to V_{k}(\mathbb {R} ^{n})\to S^{n-1},}$

por tanto, el primer grupo de homotopía no trivial del espacio está en dimensión n  −  k . Además, ${\displaystyle V_{k}(\mathbb {R} ^{n})}$

${\displaystyle \pi _{n-k}V_{k}(\mathbb {R} ^{n})\simeq {\begin{cases}\mathbb {Z} &n-k{\text{ even or }}k=1\\\mathbb {Z} _{2}&n-k{\text{ odd and }}k>1\end{cases}}}$

Este resultado se utiliza en la definición teórica de la obstrucción de las clases de Stiefel-Whitney .

Ver también

• Colector de bandera
• Distribución de Matrix Langevin ^{[2] [3]}

Referencias

1. Muirhead, Robb J. (1982). Aspectos de la teoría estadística multivariada . John Wiley & Sons, Inc., Nueva York. págs. xix+673. ISBN 0-471-09442-0.
2. Chikuse, Yasuko (1 de mayo de 2003). "Distribuciones de Langevin de matriz concentrada". Revista de análisis multivariado . 85 (2): 375–394. doi : 10.1016/S0047-259X(02)00065-9 . ISSN  0047-259X.
3. Amigo, Subhadip; Sengupta, Subhajit; Mitra, Riten; Banerjee, Arunava (septiembre de 2020). "Antes conjugados e inferencia posterior para la distribución de Matrix Langevin en la variedad Stiefel". Análisis bayesiano . 15 (3): 871–908. doi : 10.1214/19-BA1176 . ISSN  1936-0975.

• Hatcher, Allen (2002). Topología algebraica. Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-79540-0.
• Husemoller, Dale (1994). Paquetes de fibra ((3ª ed.) ed.). Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-94087-1.
• James, Ioan Mackenzie (1976). La topología de las variedades Stiefel. Archivo COPA. ISBN 978-0-521-21334-9.
• "Múltiple Stiefel", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]