Trayectoria

Trayectoria de un objeto en movimiento

Ilustración que muestra la trayectoria direccional de una bala disparada a un objetivo en una pendiente

Una trayectoria o camino de vuelo es el camino que sigue un objeto con masa en movimiento a través del espacio en función del tiempo. En mecánica clásica , una trayectoria se define mediante la mecánica hamiltoniana a través de coordenadas canónicas ; por lo tanto, una trayectoria completa se define por la posición y el momento , simultáneamente.

La masa puede ser un proyectil o un satélite . ^[1] Por ejemplo, puede ser una órbita : la trayectoria de un planeta , asteroide o cometa a medida que viaja alrededor de una masa central .

En teoría de control , una trayectoria es un conjunto de estados ordenados en el tiempo de un sistema dinámico (véase, por ejemplo, el mapa de Poincaré ). En matemáticas discretas , una trayectoria es una secuencia de valores calculados mediante la aplicación iterada de una función a un elemento de su fuente. ${\displaystyle (f^{k}(x))_{k\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$

Física de trayectorias

Un ejemplo conocido de trayectoria es la trayectoria de un proyectil, como una pelota o una piedra lanzada. En un modelo significativamente simplificado, el objeto se mueve solo bajo la influencia de un campo de fuerza gravitacional uniforme . Esto puede ser una buena aproximación para una piedra lanzada a distancias cortas, por ejemplo, a la superficie de la Luna . En esta aproximación simple, la trayectoria toma la forma de una parábola . Generalmente, al determinar trayectorias, puede ser necesario tener en cuenta las fuerzas gravitacionales no uniformes y la resistencia del aire ( resistencia y aerodinámica ). Este es el enfoque de la disciplina de la balística .

Uno de los logros notables de la mecánica newtoniana fue la derivación de las leyes de Kepler del movimiento planetario . En el campo gravitatorio de una masa puntual o una masa extendida esféricamente simétrica (como el Sol ), la trayectoria de un objeto en movimiento es una sección cónica , generalmente una elipse o una hipérbola . ^[a] Esto concuerda con las órbitas observadas de planetas , cometas y naves espaciales artificiales en una aproximación razonablemente buena, aunque si un cometa pasa cerca del Sol, entonces también está influenciado por otras fuerzas como el viento solar y la presión de radiación , que modifican la órbita y hacen que el cometa expulse material al espacio.

La teoría de Newton se desarrolló posteriormente en la rama de la física teórica conocida como mecánica clásica . Emplea las matemáticas del cálculo diferencial (que también fue iniciado por Newton en su juventud). A lo largo de los siglos, innumerables científicos han contribuido al desarrollo de estas dos disciplinas. La mecánica clásica se convirtió en una demostración destacada del poder del pensamiento racional, es decir, la razón , tanto en la ciencia como en la tecnología. Ayuda a comprender y predecir una enorme variedad de fenómenos ; las trayectorias son solo un ejemplo.

Consideremos una partícula de masa , que se mueve en un campo potencial . Físicamente hablando, la masa representa la inercia y el campo representa fuerzas externas de un tipo particular conocido como "conservativo". Dado en cada posición relevante, hay una manera de inferir la fuerza asociada que actuaría en esa posición, por ejemplo, la gravedad. Sin embargo, no todas las fuerzas se pueden expresar de esta manera. ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$

El movimiento de la partícula se describe mediante la ecuación diferencial de segundo orden

${\displaystyle m{\frac {\mathrm {d} ^{2}{\vec {x}}(t)}{\mathrm {d} t^{2}}}=-\nabla V({\vec {x}}(t)){\text{ with }}{\vec {x}}=(x,y,z).}$

En el lado derecho, la fuerza se expresa en términos de , el gradiente del potencial, tomado en posiciones a lo largo de la trayectoria. Esta es la forma matemática de la segunda ley de movimiento de Newton : la fuerza es igual a la masa por la aceleración, para tales situaciones. ${\displaystyle \nabla V}$

Ejemplos

Gravedad uniforme, ni arrastre ni viento.

Trayectorias de una masa lanzada en un ángulo de 70°:
 Sin arrastre
 Con Stokes arrastrando
 Con el arrastre de Newton

El caso ideal de movimiento de un proyectil en un campo gravitatorio uniforme en ausencia de otras fuerzas (como la resistencia del aire) fue investigado por primera vez por Galileo Galilei . Descuidar la acción de la atmósfera en la conformación de una trayectoria habría sido considerado una hipótesis inútil por los investigadores de mentalidad práctica a lo largo de la Edad Media en Europa . Sin embargo, al anticipar la existencia del vacío , que luego sería demostrada en la Tierra por su colaborador Evangelista Torricelli ^{[ cita requerida ]} , Galileo pudo iniciar la futura ciencia de la mecánica . ^{[ cita requerida ]} En un vacío cercano, como resulta por ejemplo en la Luna , su trayectoria parabólica simplificada resulta esencialmente correcta.

En el análisis que sigue, derivamos la ecuación de movimiento de un proyectil medida desde un marco inercial en reposo con respecto al suelo. Asociado con el marco hay un sistema de coordenadas de la derecha con su origen en el punto de lanzamiento del proyectil. El eje y es tangente al suelo, y el eje es perpendicular a él (paralelo a las líneas del campo gravitacional ). Sea la aceleración de la gravedad . Con respecto al terreno plano, sea la velocidad horizontal inicial y la velocidad vertical inicial . También se mostrará que el alcance es , y la altitud máxima es . El alcance máximo para una velocidad inicial dada se obtiene cuando , es decir, el ángulo inicial es 45 . Este alcance es , y la altitud máxima en el alcance máximo es . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle v_{h}=v\cos(\theta )}$ ${\displaystyle v_{v}=v\sin(\theta )}$ ${\displaystyle 2v_{h}v_{v}/g}$ ${\displaystyle v_{v}^{2}/2g}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle v_{h}=v_{v}}$ ${\displaystyle ^{\circ }}$ ${\displaystyle v^{2}/g}$ ${\displaystyle v^{2}/(4g)}$

Derivación de la ecuación de movimiento

Supongamos que el movimiento del proyectil se mide desde un marco de caída libre que se encuentra en ( x , y ) = (0,0) en  t  = 0. La ecuación de movimiento del proyectil en este marco (por el principio de equivalencia ) sería . Las coordenadas de este marco de caída libre, con respecto a nuestro marco inercial, serían . Es decir, . ${\displaystyle y=x\tan(\theta )}$ ${\displaystyle y=-gt^{2}/2}$ ${\displaystyle y=-g(x/v_{h})^{2}/2}$

Ahora, traduciendo nuevamente al marco inercial, las coordenadas del proyectil quedan así: ${\displaystyle y=x\tan(\theta )-g(x/v_{h})^{2}/2}$

${\displaystyle y=-{g\sec ^{2}\theta \over 2v_{0}^{2}}x^{2}+x\tan \theta ,}$

(donde v ₀ es la velocidad inicial, es el ángulo de elevación y g es la aceleración debida a la gravedad). ${\displaystyle \theta }$

Alcance y altura

Trayectorias de proyectiles lanzados en diferentes ángulos de elevación pero a la misma velocidad de 10 m/s en el vacío y un campo gravitatorio descendente uniforme de 10 m/s2 ^. Los puntos están a intervalos de 0,05 s y la longitud de sus colas es linealmente proporcional a su velocidad. t = tiempo desde el lanzamiento, T = tiempo de vuelo, R = alcance y H = punto más alto de la trayectoria (indicado con flechas).

El alcance , R , es la distancia máxima que recorre el objeto a lo largo del eje x en el sector I. La velocidad inicial , v _i , es la rapidez con la que se lanza dicho objeto desde el punto de origen. El ángulo inicial , θ _i , es el ángulo con el que se suelta dicho objeto. La g es la respectiva atracción gravitatoria sobre el objeto dentro de un medio nulo.

${\displaystyle R={v_{i}^{2}\sin 2\theta _{i} \over g}}$

La altura , h , es la mayor altura parabólica que alcanza dicho objeto dentro de su trayectoria.

${\displaystyle h={v_{i}^{2}\sin ^{2}\theta _{i} \over 2g}}$

Angulo de elevacion

Un ejemplo que muestra cómo calcular la trayectoria de una bala.

En términos de ángulo de elevación y velocidad inicial : ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle v}$

${\displaystyle v_{h}=v\cos \theta ,\quad v_{v}=v\sin \theta \;}$

dando el rango como

${\displaystyle R=2v^{2}\cos(\theta )\sin(\theta )/g=v^{2}\sin(2\theta )/g\,.}$

Esta ecuación se puede reorganizar para encontrar el ángulo para un rango requerido.

${\displaystyle \theta ={\frac {1}{2}}\sin ^{-1}\left({\frac {gR}{v^{2}}}\right)}$(Ecuación II: ángulo de lanzamiento del proyectil)

Nótese que la función seno es tal que existen dos soluciones para un rango dado . El ángulo que da el rango máximo se puede hallar considerando la derivada o con respecto a y fijándola en cero. ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle d_{h}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle {\mathrm {d} R \over \mathrm {d} \theta }={2v^{2} \over g}\cos(2\theta )=0}$

que tiene una solución no trivial en , o . El alcance máximo es entonces . En este ángulo , por lo que la altura máxima obtenida es . ${\displaystyle 2\theta =\pi /2=90^{\circ }}$ ${\displaystyle \theta =45^{\circ }}$ ${\displaystyle R_{\max }=v^{2}/g\,}$ ${\displaystyle \sin(\pi /2)=1}$ ${\displaystyle {v^{2} \over 4g}}$

Para hallar el ángulo que da la altura máxima para una velocidad dada, calcule la derivada de la altura máxima con respecto a , es decir, que es cero cuando . Por lo tanto, la altura máxima se obtiene cuando el proyectil se dispara en línea recta hacia arriba. ${\displaystyle H=v^{2}\sin ^{2}(\theta )/(2g)}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle {\mathrm {d} H \over \mathrm {d} \theta }=v^{2}2\cos(\theta )\sin(\theta )/(2g)}$ ${\displaystyle \theta =\pi /2=90^{\circ }}$ ${\displaystyle H_{\mathrm {max} }={v^{2} \over 2g}}$

Objetos en órbita

Si en lugar de una fuerza gravitatoria uniforme hacia abajo consideramos dos cuerpos que orbitan con la gravitación mutua entre ellos, obtenemos las leyes de Kepler del movimiento planetario . La derivación de estas leyes fue uno de los principales trabajos de Isaac Newton y proporcionó gran parte de la motivación para el desarrollo del cálculo diferencial .

Atrapando pelotas

Si un proyectil, como una pelota de béisbol o de cricket, viaja en una trayectoria parabólica, con una resistencia del aire despreciable, y si un jugador está posicionado de manera que pueda atraparlo mientras desciende, verá que su ángulo de elevación aumenta continuamente durante todo su vuelo. La tangente del ángulo de elevación es proporcional al tiempo transcurrido desde que la pelota fue lanzada al aire, generalmente al ser golpeada con un bate. Incluso cuando la pelota está realmente descendiendo, cerca del final de su vuelo, su ángulo de elevación visto por el jugador continúa aumentando. Por lo tanto, el jugador la ve como si estuviera ascendiendo verticalmente a velocidad constante. Encontrar el lugar desde el cual la pelota parece elevarse de manera constante ayuda al jugador a posicionarse correctamente para atraparla. Si está demasiado cerca del bateador que ha golpeado la pelota, parecerá que se eleva a un ritmo acelerado. Si está demasiado lejos del bateador, parecerá que disminuye rápidamente y luego desciende.

Notas

1. En teoría, es posible que una órbita sea una línea recta radial, un círculo o una parábola. Estos son casos límite cuya probabilidad de ocurrencia en la realidad es cero.

Véase también

• Trayectoria de cruce de popa
• Desplazamiento (geometría)
• Invariancia galileana
• Órbita (dinámica)
• Órbita (teoría de grupos)
• Trayectoria orbital
• Fugoide
• Órbita planetaria
• Parcela de chuletas de cerdo
• Movimiento de proyectil
• Alcance de un proyectil
• Cuerpo rígido
• Línea mundial

Referencias

1. Metha, Rohit. "11". Los principios de la física . pág. 378.

Enlaces externos

• Applet Flash de movimiento de proyectiles Archivado el 14 de septiembre de 2008 en Wayback Machine :)
• Calculadora de trayectoria
• Una simulación interactiva sobre el movimiento de proyectiles.
• Projectile Lab, simulador de trayectorias en JavaScript
• Movimiento de proyectil parabólico: disparar un dardo tranquilizante inofensivo a un mono que cae por Roberto Castilla-Meléndez, Roxana Ramírez-Herrera y José Luis Gómez-Muñoz, The Wolfram Demonstrations Project .
• Trayectoria, ScienceWorld.
• Simulación del movimiento de un proyectil en Java, con resistencia del aire de primer orden. Archivado el 3 de julio de 2012 en Wayback Machine.
• Simulación de movimiento de proyectiles en Java; soluciones de orientación, parábola de seguridad.