Geodésicas en relatividad general.

Generalización de la línea recta a un espacio-tiempo curvo.

En la relatividad general , una geodésica generaliza la noción de "línea recta" al espaciotiempo curvo . Es importante destacar que la línea mundial de una partícula libre de todas las fuerzas externas no gravitacionales es un tipo particular de geodésica. En otras palabras, una partícula que se mueve o cae libremente siempre se mueve a lo largo de una geodésica.

En la relatividad general, la gravedad no puede considerarse una fuerza sino una consecuencia de una geometría espacio-temporal curvada donde la fuente de curvatura es el tensor tensión-energía (que representa la materia, por ejemplo). Así, por ejemplo, la trayectoria de un planeta que orbita alrededor de una estrella es la proyección de una geodésica de la geometría espacio-temporal curvada de cuatro dimensiones (4-D) alrededor de la estrella en un espacio tridimensional (3-D).

expresión matemática

La ecuación geodésica completa es

${\displaystyle {d^{2}x^{\mu } \over ds^{2}}+\Gamma ^{\mu }{}_{\alpha \beta }{dx^{\alpha } \over ds}{dx^{\beta } \over ds}=0\ }$

donde s es un parámetro escalar de movimiento (por ejemplo, el tiempo adecuado ) y son símbolos de Christoffel (a veces llamados coeficientes de conexión afines o coeficientes de conexión de Levi-Civita ) simétricos en los dos índices inferiores. Los índices griegos pueden tomar los valores: 0, 1, 2, 3 y la convención de suma se utiliza para índices repetidos y . La cantidad en el lado izquierdo de esta ecuación es la aceleración de una partícula, por lo que esta ecuación es análoga a las leyes del movimiento de Newton , que también proporcionan fórmulas para la aceleración de una partícula. Los símbolos de Christoffel son funciones de las cuatro coordenadas del espacio-tiempo y, por lo tanto, son independientes de la velocidad o aceleración u otras características de una partícula de prueba cuyo movimiento se describe mediante la ecuación geodésica. ${\displaystyle \Gamma ^{\mu }{}_{\alpha \beta }}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$

Expresión matemática equivalente utilizando el tiempo coordinado como parámetro.

Hasta ahora, la ecuación de movimiento geodésico se ha escrito en términos de un parámetro escalar s . Alternativamente, se puede escribir en términos de coordenadas de tiempo (aquí hemos utilizado la barra triple para indicar una definición). La ecuación de movimiento geodésica entonces queda como: ${\displaystyle t\equiv x^{0}}$

${\displaystyle {d^{2}x^{\mu } \over dt^{2}}=-\Gamma ^{\mu }{}_{\alpha \beta }{dx^{\alpha } \over dt}{dx^{\beta } \over dt}+\Gamma ^{0}{}_{\alpha \beta }{dx^{\alpha } \over dt}{dx^{\beta } \over dt}{dx^{\mu } \over dt}\ .}$

Esta formulación de la ecuación de movimiento geodésica puede resultar útil para cálculos por computadora y para comparar la relatividad general con la gravedad newtoniana. ^[1] Es sencillo derivar esta forma de la ecuación de movimiento geodésica a partir de la forma que utiliza el tiempo propio como parámetro utilizando la regla de la cadena . Observe que ambos lados de esta última ecuación desaparecen cuando el índice mu se establece en cero. Si la velocidad de la partícula es lo suficientemente pequeña, entonces la ecuación geodésica se reduce a esto:

${\displaystyle {d^{2}x^{n} \over dt^{2}}=-\Gamma ^{n}{}_{00}.}$

Aquí el índice latino n toma los valores [1,2,3]. Esta ecuación simplemente significa que todas las partículas de prueba en un lugar y momento determinados tendrán la misma aceleración, que es una característica bien conocida de la gravedad newtoniana. Por ejemplo, todo lo que flota en la Estación Espacial Internacional sufrirá aproximadamente la misma aceleración debida a la gravedad.

Derivación directa del principio de equivalencia

El físico Steven Weinberg ha presentado una derivación de la ecuación de movimiento geodésica directamente a partir del principio de equivalencia . ^[2] El primer paso en tal derivación es suponer que una partícula en caída libre no se acelera en las proximidades de un evento puntual con respecto a un sistema de coordenadas en caída libre ( ). Configurando , tenemos la siguiente ecuación que es aplicable localmente en caída libre: ${\displaystyle X^{\mu }}$ ${\displaystyle T\equiv X^{0}}$

${\displaystyle {d^{2}X^{\mu } \over dT^{2}}=0.}$

El siguiente paso es emplear la regla de la cadena multidimensional . Tenemos:

${\displaystyle {dX^{\mu } \over dT}={dx^{\nu } \over dT}{\partial X^{\mu } \over \partial x^{\nu }}}$

Diferenciando una vez más respecto al tiempo, tenemos:

${\displaystyle {d^{2}X^{\mu } \over dT^{2}}={d^{2}x^{\nu } \over dT^{2}}{\partial X^{\mu } \over \partial x^{\nu }}+{dx^{\nu } \over dT}{dx^{\alpha } \over dT}{\partial ^{2}X^{\mu } \over \partial x^{\nu }\partial x^{\alpha }}}$

Ya hemos dicho que el lado izquierdo de esta última ecuación debe desaparecer debido al Principio de Equivalencia. Por lo tanto:

${\displaystyle {d^{2}x^{\nu } \over dT^{2}}{\partial X^{\mu } \over \partial x^{\nu }}=-{dx^{\nu } \over dT}{dx^{\alpha } \over dT}{\partial ^{2}X^{\mu } \over \partial x^{\nu }\partial x^{\alpha }}}$

Multiplica ambos lados de esta última ecuación por la siguiente cantidad:

${\displaystyle {\partial x^{\lambda } \over \partial X^{\mu }}}$

En consecuencia, tenemos esto:

${\displaystyle {d^{2}x^{\lambda } \over dT^{2}}=-{dx^{\nu } \over dT}{dx^{\alpha } \over dT}\left[{\partial ^{2}X^{\mu } \over \partial x^{\nu }\partial x^{\alpha }}{\partial x^{\lambda } \over \partial X^{\mu }}\right].}$

Weinberg define la conexión afín de la siguiente manera: ^[3]

${\displaystyle \Gamma ^{\lambda }{}_{\nu \alpha }=\left[{\partial ^{2}X^{\mu } \over \partial x^{\nu }\partial x^{\alpha }}{\partial x^{\lambda } \over \partial X^{\mu }}\right]}$

lo que lleva a esta fórmula:

${\displaystyle {d^{2}x^{\lambda } \over dT^{2}}=-\Gamma _{\nu \alpha }^{\lambda }{dx^{\nu } \over dT}{dx^{\alpha } \over dT}.}$

Observe que, si hubiéramos usado el tiempo adecuado "s" como parámetro de movimiento, en lugar de usar la coordenada de tiempo localmente inercial "T", entonces nuestra derivación de la ecuación geodésica de movimiento estaría completa. En cualquier caso, sigamos aplicando la regla de la cadena unidimensional :

${\displaystyle {d^{2}x^{\lambda } \over dt^{2}}\left({\frac {dt}{dT}}\right)^{2}+{dx^{\lambda } \over dt}{\frac {d^{2}t}{dT^{2}}}=-\Gamma _{\nu \alpha }^{\lambda }{dx^{\nu } \over dt}{dx^{\alpha } \over dt}\left({\frac {dt}{dT}}\right)^{2}.}$

${\displaystyle {d^{2}x^{\lambda } \over dt^{2}}+{dx^{\lambda } \over dt}{\frac {d^{2}t}{dT^{2}}}\left({\frac {dT}{dt}}\right)^{2}=-\Gamma _{\nu \alpha }^{\lambda }{dx^{\nu } \over dt}{dx^{\alpha } \over dt}.}$

Como antes, podemos configurar . Entonces la primera derivada de x ⁰ con respecto a t es uno y la segunda derivada es cero. Reemplazar λ con cero da: ${\displaystyle t\equiv x^{0}}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}t}{dT^{2}}}\left({\frac {dT}{dt}}\right)^{2}=-\Gamma _{\nu \alpha }^{0}{dx^{\nu } \over dt}{dx^{\alpha } \over dt}.}$

Restar d x ^λ / d t multiplicado por esto de la ecuación anterior da:

${\displaystyle {d^{2}x^{\lambda } \over dt^{2}}=-\Gamma _{\nu \alpha }^{\lambda }{dx^{\nu } \over dt}{dx^{\alpha } \over dt}+\Gamma _{\nu \alpha }^{0}{dx^{\nu } \over dt}{dx^{\alpha } \over dt}{dx^{\lambda } \over dt}}$

que es una forma de la ecuación de movimiento geodésica (usando el tiempo de coordenadas como parámetro).

La ecuación de movimiento geodésico también se puede derivar utilizando el concepto de transporte paralelo . ^[4]

Derivar la ecuación geodésica mediante una acción

Podemos (y esta es la técnica más común) derivar la ecuación geodésica mediante el principio de acción . Consideremos el caso de intentar encontrar una geodésica entre dos eventos separados en el tiempo.

Deja que la acción sea

${\displaystyle S=\int ds}$

¿ Dónde está el elemento de línea ? Hay un signo negativo dentro de la raíz cuadrada porque la curva debe ser temporal. Para obtener la ecuación geodésica debemos variar esta acción. Para ello parametricemos esta acción con respecto a un parámetro . Haciendo esto obtenemos: ${\displaystyle ds={\sqrt {-g_{\mu \nu }(x)\,dx^{\mu }\,dx^{\nu }}}}$ ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle S=\int {\sqrt {-g_{\mu \nu }{\frac {dx^{\mu }}{d\lambda }}{\frac {dx^{\nu }}{d\lambda }}}}\,d\lambda }$

Ahora podemos seguir adelante y variar esta acción con respecto a la curva . Por el principio de mínima acción obtenemos: ${\displaystyle x^{\mu }}$

${\displaystyle 0=\delta S=\int \delta \left({\sqrt {-g_{\mu \nu }{\frac {dx^{\mu }}{d\lambda }}{\frac {dx^{\nu }}{d\lambda }}}}\right)\,d\lambda =\int {\frac {\delta \left(-g_{\mu \nu }{\frac {dx^{\mu }}{d\lambda }}{\frac {dx^{\nu }}{d\lambda }}\right)}{2{\sqrt {-g_{\mu \nu }{\frac {dx^{\mu }}{d\lambda }}{\frac {dx^{\nu }}{d\lambda }}}}}}d\lambda }$

Usando la regla del producto obtenemos:

${\displaystyle 0=\int \left({\frac {dx^{\mu }}{d\lambda }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}\delta g_{\mu \nu }+g_{\mu \nu }{\frac {d\delta x^{\mu }}{d\lambda }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}+g_{\mu \nu }{\frac {dx^{\mu }}{d\tau }}{\frac {d\delta x^{\nu }}{d\lambda }}\right)\,d\lambda =\int \left({\frac {dx^{\mu }}{d\lambda }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}\partial _{\alpha }g_{\mu \nu }\delta x^{\alpha }+2g_{\mu \nu }{\frac {d\delta x^{\mu }}{d\lambda }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}\right)\,d\lambda }$

dónde

${\displaystyle {\frac {d\tau }{d\lambda }}={\sqrt {-g_{\mu \nu }{\frac {dx^{\mu }}{d\lambda }}{\frac {dx^{\nu }}{d\lambda }}}}}$

Integrando el último término por partes y eliminando la derivada total (que es igual a cero en los límites) obtenemos que:

${\displaystyle 0=\int \left({\frac {dx^{\mu }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}\partial _{\alpha }g_{\mu \nu }\delta x^{\alpha }-2\delta x^{\mu }{\frac {d}{d\tau }}\left(g_{\mu \nu }{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}\right)\right)\,d\tau =\int \left({\frac {dx^{\mu }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}\partial _{\alpha }g_{\mu \nu }\delta x^{\alpha }-2\delta x^{\mu }\partial _{\alpha }g_{\mu \nu }{\frac {dx^{\alpha }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}-2\delta x^{\mu }g_{\mu \nu }{\frac {d^{2}x^{\nu }}{d\tau ^{2}}}\right)\,d\tau }$

Simplificando un poco vemos que:

${\displaystyle 0=\int \left(-2g_{\mu \nu }{\frac {d^{2}x^{\nu }}{d\tau ^{2}}}+{\frac {dx^{\alpha }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}\partial _{\mu }g_{\alpha \nu }-2{\frac {dx^{\alpha }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}\partial _{\alpha }g_{\mu \nu }\right)\delta x^{\mu }d\tau }$

entonces,

${\displaystyle 0=\int \left(-2g_{\mu \nu }{\frac {d^{2}x^{\nu }}{d\tau ^{2}}}+{\frac {dx^{\alpha }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}\partial _{\mu }g_{\alpha \nu }-{\frac {dx^{\alpha }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}\partial _{\alpha }g_{\mu \nu }-{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}{\frac {dx^{\alpha }}{d\tau }}\partial _{\nu }g_{\mu \alpha }\right)\delta x^{\mu }\,d\tau }$

multiplicando esta ecuación por obtenemos: ${\displaystyle -{\frac {1}{2}}}$

${\displaystyle 0=\int \left(g_{\mu \nu }{\frac {d^{2}x^{\nu }}{d\tau ^{2}}}+{\frac {1}{2}}{\frac {dx^{\alpha }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}\left(\partial _{\alpha }g_{\mu \nu }+\partial _{\nu }g_{\mu \alpha }-\partial _{\mu }g_{\alpha \nu }\right)\right)\delta x^{\mu }\,d\tau }$

Entonces, según el principio de Hamilton encontramos que la ecuación de Euler-Lagrange es

${\displaystyle g_{\mu \nu }{\frac {d^{2}x^{\nu }}{d\tau ^{2}}}+{\frac {1}{2}}{\frac {dx^{\alpha }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}\left(\partial _{\alpha }g_{\mu \nu }+\partial _{\nu }g_{\mu \alpha }-\partial _{\mu }g_{\alpha \nu }\right)=0}$

Multiplicando por el tensor métrico inverso obtenemos que ${\displaystyle g^{\mu \beta }}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}x^{\beta }}{d\tau ^{2}}}+{\frac {1}{2}}g^{\mu \beta }\left(\partial _{\alpha }g_{\mu \nu }+\partial _{\nu }g_{\mu \alpha }-\partial _{\mu }g_{\alpha \nu }\right){\frac {dx^{\alpha }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}=0}$

Así obtenemos la ecuación geodésica:

${\displaystyle {\frac {d^{2}x^{\beta }}{d\tau ^{2}}}+\Gamma ^{\beta }{}_{\alpha \nu }{\frac {dx^{\alpha }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}=0}$

con el símbolo de Christoffel definido en términos del tensor métrico como

${\displaystyle \Gamma ^{\beta }{}_{\alpha \nu }={\frac {1}{2}}g^{\mu \beta }\left(\partial _{\alpha }g_{\mu \nu }+\partial _{\nu }g_{\mu \alpha }-\partial _{\mu }g_{\alpha \nu }\right)}$

(Nota: Se pueden utilizar derivaciones similares, con modificaciones menores, para producir resultados análogos para geodésicas entre pares de puntos separados en forma de luz ^{[ cita necesaria ] o en forma de espacio).}

La ecuación de movimiento puede derivarse de las ecuaciones de campo para el espacio vacío.

Albert Einstein creía que la ecuación del movimiento geodésico se puede derivar de las ecuaciones de campo para el espacio vacío , es decir, del hecho de que la curvatura de Ricci desaparece. Él escribió: ^[5]

Se ha demostrado que esta ley del movimiento (generalizada al caso de masas gravitantes arbitrariamente grandes) puede derivarse únicamente de las ecuaciones de campo del espacio vacío. Según esta derivación, la ley del movimiento está implícita en la condición de que el campo no sea singular en ninguna parte fuera de sus puntos de masa generadores.

y ^[6]

Una de las imperfecciones de la teoría relativista original de la gravitación fue que, como teoría de campo, no estaba completa; introdujo el postulado independiente de que la ley del movimiento de una partícula viene dada por la ecuación de la geodésica.

Una teoría de campos completa sólo conoce campos y no los conceptos de partícula y movimiento. Porque éstos no deben existir independientemente del campo sino que deben ser tratados como parte de él.

Partiendo de la descripción de una partícula sin singularidad, existe la posibilidad de un tratamiento lógicamente más satisfactorio del problema combinado: el problema del campo y el del movimiento coinciden.

Tanto los físicos como los filósofos han repetido a menudo la afirmación de que la ecuación geodésica se puede obtener a partir de las ecuaciones de campo para describir el movimiento de una singularidad gravitacional , pero esta afirmación sigue siendo controvertida. ^[7] Según David Malament , “Aunque el principio geodésico puede recuperarse como teorema de la relatividad general, no es una consecuencia de la ecuación de Einstein (o del principio de conservación) únicamente. Se necesitan otras suposiciones para derivar los teoremas en cuestión”. ^[8] Menos controvertida es la noción de que las ecuaciones de campo determinan el movimiento de un fluido o polvo, a diferencia del movimiento de una singularidad puntual. ^[9]

Ampliación al caso de una partícula cargada.

Al derivar la ecuación geodésica a partir del principio de equivalencia, se supuso que las partículas en un sistema de coordenadas inercial local no se están acelerando. Sin embargo, en la vida real, las partículas pueden estar cargadas y, por lo tanto, pueden estar acelerando localmente de acuerdo con la fuerza de Lorentz . Eso es:

${\displaystyle {d^{2}X^{\mu } \over ds^{2}}={q \over m}{F^{\mu \beta }}{dX^{\alpha } \over ds}{\eta _{\alpha \beta }}.}$

con

${\displaystyle {\eta _{\alpha \beta }}{dX^{\alpha } \over ds}{dX^{\beta } \over ds}=-1.}$

El tensor de Minkowski viene dado por: ${\displaystyle \eta _{\alpha \beta }}$

${\displaystyle \eta _{\alpha \beta }={\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}}$

Estas últimas tres ecuaciones se pueden utilizar como punto de partida para derivar una ecuación de movimiento en la Relatividad General, en lugar de suponer que la aceleración es cero en caída libre. ^[2] Debido a que aquí está involucrado el tensor de Minkowski, se hace necesario introducir algo llamado tensor métrico en la Relatividad General. El tensor métrico g es simétrico y se reduce localmente al tensor de Minkowski en caída libre. La ecuación de movimiento resultante es la siguiente: ^[10]

${\displaystyle {d^{2}x^{\mu } \over ds^{2}}=-\Gamma ^{\mu }{}_{\alpha \beta }{dx^{\alpha } \over ds}{dx^{\beta } \over ds}\ +{q \over m}{F^{\mu \beta }}{dx^{\alpha } \over ds}{g_{\alpha \beta }}.}$

con

${\displaystyle {g_{\alpha \beta }}{dx^{\alpha } \over ds}{dx^{\beta } \over ds}=-1.}$

Esta última ecuación significa que la partícula se mueve a lo largo de una geodésica temporal; Las partículas sin masa como el fotón siguen geodésicas nulas (reemplace −1 con cero en el lado derecho de la última ecuación). Es importante que las dos últimas ecuaciones sean consistentes entre sí, cuando esta última se diferencia con respecto al tiempo propio, y la siguiente fórmula para los símbolos de Christoffel asegura esa consistencia:

${\displaystyle \Gamma ^{\lambda }{}_{\alpha \beta }={\frac {1}{2}}g^{\lambda \tau }\left({\frac {\partial g_{\tau \alpha }}{\partial x^{\beta }}}+{\frac {\partial g_{\tau \beta }}{\partial x^{\alpha }}}-{\frac {\partial g_{\alpha \beta }}{\partial x^{\tau }}}\right)}$

Esta última ecuación no involucra los campos electromagnéticos y es aplicable incluso en el límite cuando los campos electromagnéticos desaparecen. La letra g con superíndices se refiere a la inversa del tensor métrico. En la Relatividad General, los índices de los tensores disminuyen y aumentan por contracción con el tensor métrico o su inverso, respectivamente.

Geodésicas como curvas de intervalo estacionario.

Una geodésica entre dos eventos también se puede describir como la curva que une esos dos eventos y que tiene un intervalo estacionario ("longitud" de 4 dimensiones). Estacionario aquí se usa en el sentido en que se usa ese término en el cálculo de variaciones , es decir, que el intervalo a lo largo de la curva varía mínimamente entre curvas cercanas a la geodésica.

En el espacio de Minkowski sólo hay una geodésica que conecta cualquier par de eventos, y para una geodésica temporal, esta es la curva con el tiempo propio más largo entre los dos eventos. En el espacio-tiempo curvo, es posible que un par de eventos muy separados tengan más de una geodésica temporal entre ellos. En tales casos, los tiempos adecuados a lo largo de varias geodésicas no serán en general los mismos. Para algunas geodésicas en tales casos, es posible que una curva que conecta los dos eventos y está cerca de la geodésica tenga un tiempo propio más largo o más corto que la geodésica. ^[11]

Para una geodésica espacial a través de dos eventos, siempre hay curvas cercanas que pasan por los dos eventos que tienen una longitud adecuada más larga o más corta que la geodésica, incluso en el espacio de Minkowski. En el espacio de Minkowski, la geodésica será una línea recta. Cualquier curva que difiera de la geodésica puramente espacialmente ( es decir , no cambia la coordenada temporal) en cualquier marco de referencia inercial tendrá una longitud propia más larga que la geodésica, pero una curva que difiere de la geodésica puramente temporalmente (es decir, no cambia la coordenadas espaciales) en dicho marco de referencia tendrán una longitud adecuada más corta.

El intervalo de una curva en el espacio-tiempo es

${\displaystyle l=\int {\sqrt {\left|g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }\right|}}\,ds\ .}$

Entonces, la ecuación de Euler-Lagrange ,

${\displaystyle {d \over ds}{\partial \over \partial {\dot {x}}^{\alpha }}{\sqrt {\left|g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }\right|}}={\partial \over \partial x^{\alpha }}{\sqrt {\left|g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }\right|}}\ ,}$

se convierte, después de algunos cálculos,

${\displaystyle 2\left(\Gamma ^{\lambda }{}_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }+{\ddot {x}}^{\lambda }\right)=U^{\lambda }{d \over ds}\ln |U_{\nu }U^{\nu }|\ ,}$

dónde ${\displaystyle U^{\mu }={\dot {x}}^{\mu }.}$

Prueba

El objetivo es encontrar una curva para la cual el valor de

${\displaystyle l=\int d\tau =\int {d\tau \over d\phi }\,d\phi =\int {\sqrt {(d\tau )^{2} \over (d\phi )^{2}}}\,d\phi =\int {\sqrt {-g_{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu } \over d\phi \,d\phi }}\,d\phi =\int f\,d\phi }$

es estacionario, donde

${\displaystyle f={\sqrt {-g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }}}}$

Tal objetivo se puede lograr calculando la ecuación de Euler-Lagrange para f , que es

${\displaystyle {d \over d\tau }{\partial f \over \partial {\dot {x}}^{\lambda }}={\partial f \over \partial x^{\lambda }}}$.

Sustituyendo la expresión de f en la ecuación de Euler-Lagrange (que hace que el valor de la integral l sea estacionario), se obtiene

${\displaystyle {d \over d\tau }{\partial {\sqrt {-g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }}} \over \partial {\dot {x}}^{\lambda }}={\partial {\sqrt {-g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }}} \over \partial x^{\lambda }}}$

Ahora calcula las derivadas: ${\displaystyle {d \over d\tau }\left({-g_{\mu \nu }{\partial {\dot {x}}^{\mu } \over \partial {\dot {x}}^{\lambda }}{\dot {x}}^{\nu }-g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\partial {\dot {x}}^{\nu } \over \partial {\dot {x}}^{\lambda }} \over 2{\sqrt {-g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }}}}\right)={-g_{\mu \nu ,\lambda }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu } \over 2{\sqrt {-g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }}}}\qquad \qquad (1)}$

${\displaystyle {d \over d\tau }\left({g_{\mu \nu }\delta ^{\mu }{}_{\lambda }{\dot {x}}^{\nu }+g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }\delta ^{\nu }{}_{\lambda } \over 2{\sqrt {-g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }}}}\right)={g_{\mu \nu ,\lambda }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu } \over 2{\sqrt {-g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }}}}\qquad \qquad (2)}$

${\displaystyle {d \over d\tau }\left({g_{\lambda \nu }{\dot {x}}^{\nu }+g_{\mu \lambda }{\dot {x}}^{\mu } \over {\sqrt {-g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }}}}\right)={g_{\mu \nu ,\lambda }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu } \over {\sqrt {-g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }}}}\qquad \qquad (3)}$

${\displaystyle {{\sqrt {-g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }}}{d \over d\tau }(g_{\lambda \nu }{\dot {x}}^{\nu }+g_{\mu \lambda }{\dot {x}}^{\mu })-(g_{\lambda \nu }{\dot {x}}^{\nu }+g_{\mu \lambda }{\dot {x}}^{\mu }){d \over d\tau }{\sqrt {-g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }}} \over -g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }}={g_{\mu \nu ,\lambda }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu } \over {\sqrt {-g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }}}}\qquad \qquad (4)}$

${\displaystyle {(-g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }){d \over d\tau }(g_{\lambda \nu }{\dot {x}}^{\nu }+g_{\mu \lambda }{\dot {x}}^{\mu })+{1 \over 2}(g_{\lambda \nu }{\dot {x}}^{\nu }+g_{\mu \lambda }{\dot {x}}^{\mu }){d \over d\tau }(g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }) \over -g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }}=g_{\mu \nu ,\lambda }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }\qquad \qquad (5)}$

${\displaystyle (g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu })(g_{\lambda \nu ,\mu }{\dot {x}}^{\nu }{\dot {x}}^{\mu }+g_{\mu \lambda ,\nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }+g_{\lambda \nu }{\ddot {x}}^{\nu }+g_{\lambda \mu }{\ddot {x}}^{\mu })}$

${\displaystyle =(g_{\mu \nu ,\lambda }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu })(g_{\alpha \beta }{\dot {x}}^{\alpha }{\dot {x}}^{\beta })+{1 \over 2}(g_{\lambda \nu }{\dot {x}}^{\nu }+g_{\lambda \mu }{\dot {x}}^{\mu }){d \over d\tau }(g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu })\qquad \qquad (6)}$

${\displaystyle g_{\lambda \nu ,\mu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }+g_{\lambda \mu ,\nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }-g_{\mu \nu ,\lambda }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }+2g_{\lambda \mu }{\ddot {x}}^{\mu }={{\dot {x}}_{\lambda }{d \over d\tau }(g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }) \over g_{\alpha \beta }{\dot {x}}^{\alpha }{\dot {x}}^{\beta }}\qquad \qquad (7)}$

${\displaystyle 2(\Gamma _{\lambda \mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }+{\ddot {x}}_{\lambda })={{\dot {x}}_{\lambda }{d \over d\tau }({\dot {x}}_{\nu }{\dot {x}}^{\nu }) \over {\dot {x}}_{\beta }{\dot {x}}^{\beta }}={U_{\lambda }{d \over d\tau }(U_{\nu }U^{\nu }) \over U_{\beta }U^{\beta }}=U_{\lambda }{d \over d\tau }\ln |U_{\nu }U^{\nu }|\qquad \qquad (8)}$

Esto está a sólo un paso de la ecuación geodésica.

Si se elige que el parámetro s sea afín, entonces el lado derecho de la ecuación anterior desaparece (porque es constante). Finalmente tenemos la ecuación geodésica. ${\displaystyle U_{\nu }U^{\nu }}$

${\displaystyle \Gamma ^{\lambda }{}_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }+{\ddot {x}}^{\lambda }=0\ .}$

Derivación mediante transporte autoparalelo

La ecuación geodésica se puede derivar alternativamente del transporte autoparalelo de curvas. La derivación se basa en las conferencias impartidas por Frederic P. Schuller en la Escuela Internacional de Invierno We-Heraeus sobre Gravity & Light.

Sea un colector liso con conexión y una curva en el colector. Se dice que la curva se transporta autoparalelamente si y sólo si . ${\displaystyle (M,O,A,\nabla )}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \nabla _{v_{\gamma }}v_{\gamma }=0}$

Para derivar la ecuación geodésica, tenemos que elegir una carta : ${\displaystyle (U,x)\in A}$

${\displaystyle \nabla _{{\dot {\gamma }}^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}}\left({\dot {\gamma }}^{m}{\frac {\partial }{\partial x^{m}}}\right)=0}$

Usando la linealidad y la regla de Leibniz: ${\displaystyle C^{\infty }}$

${\displaystyle {\dot {\gamma }}^{i}\left(\nabla _{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}{\dot {\gamma }}^{m}\right){\frac {\partial }{\partial x^{m}}}+{\dot {\gamma }}^{i}{\dot {\gamma }}^{m}\nabla _{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\left({\frac {\partial }{\partial x^{m}}}\right)=0}$

Usando cómo actúa la conexión sobre las funciones ( ) y expandiendo el segundo término con la ayuda de las funciones de coeficiente de conexión: ${\displaystyle {\dot {\gamma }}^{m}}$

${\displaystyle {\dot {\gamma }}^{i}{\frac {\partial {\dot {\gamma }}^{m}}{\partial x^{i}}}{\frac {\partial }{\partial x^{m}}}+{\dot {\gamma }}^{i}{\dot {\gamma }}^{m}\Gamma _{im}^{q}{\frac {\partial }{\partial x^{q}}}=0}$

El primer término se puede simplificar a . Cambiar el nombre de los índices ficticios: ${\displaystyle {\ddot {\gamma }}^{m}{\frac {\partial }{\partial x^{m}}}}$

${\displaystyle {\ddot {\gamma }}^{q}{\frac {\partial }{\partial x^{q}}}+{\dot {\gamma }}^{i}{\dot {\gamma }}^{m}\Gamma _{im}^{q}{\frac {\partial }{\partial x^{q}}}=0}$

Finalmente llegamos a la ecuación geodésica:

${\displaystyle {\ddot {\gamma }}^{q}+{\dot {\gamma }}^{i}{\dot {\gamma }}^{m}\Gamma _{im}^{q}=0}$

Ver también

• Portal de matemáticas
• Portal de física

• Geodésico
• Precesión geodésica
• Geodésicas de Schwarzschild
• Geodésicas como flujos hamiltonianos
• La función mundial de Synge

Bibliografía

• Steven Weinberg , Gravitación y cosmología: principios y aplicaciones de la teoría general de la relatividad , (1972) John Wiley & Sons, Nueva York ISBN  0-471-92567-5 . Véase el capítulo 3 .
• Lev D. Landau y Evgenii M. Lifschitz , La teoría clásica de los campos , (1973) Pergammon Press, Oxford ISBN 0-08-018176-7 Véase la sección 87 . 
• Charles W. Misner , Kip S. Thorne , John Archibald Wheeler , Gravitación , (1970) WH Freeman, Nueva York; ISBN 0-7167-0344-0 . 
• Bernard F. Schutz , Un primer curso de relatividad general , (1985; 2002) Cambridge University Press: Cambridge, Reino Unido; ISBN 0-521-27703-5 . Véase el capítulo 6 . 
• Robert M. Wald , Relatividad General , (1984) The University of Chicago Press, Chicago. Consulte la Sección 3.3 .

Referencias

1. Voluntad, Clifford. Teoría y Experimento en Física Gravitacional , p. 143 (Prensa de la Universidad de Cambridge 1993).
2. Weinberg, Steven. Gravitación y cosmología: principios y aplicaciones de la teoría general de la relatividad (Wiley 1972).
3. Weinberg, Steven. Gravitación y cosmología: principios y aplicaciones de la teoría general de la relatividad , p. 71, ecuación 3.2.4 (Wiley 1972).
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