Función mundial de Synge

Función definida localmente en la relatividad general

En la relatividad general , la función del mundo de Synge es una función suave definida localmente de pares de puntos en un espacio-tiempo suave con métrica lorentziana suave . Sean dos puntos en el espacio-tiempo, y supongamos que pertenece a un entorno normal convexo de (referido a la conexión de Levi-Civita asociada a ) de modo que existe una geodésica única de a incluida en , hasta el parámetro afín . Supongamos que y . Entonces la función del mundo de Synge se define como: ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle x,x'}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x,x'}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \gamma (\lambda )}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x'}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \gamma (\lambda _{0})=x'}$ ${\displaystyle \gamma (\lambda _{1})=x}$

${\displaystyle \sigma (x,x')={\frac {1}{2}}(\lambda _{1}-\lambda _{0})\int _{\gamma }g_{\mu \nu }(z)t^{\mu }t^{\nu }d\lambda }$

donde es el vector tangente a la geodésica parametrizada afínmente . Es decir, es la mitad del cuadrado de la longitud geodésica con signo de a calculada a lo largo del segmento geodésico único, en , que une los dos puntos. La función mundial de Synge está bien definida, ya que la integral anterior es invariante bajo la reparametrización. En particular, para el espacio-tiempo de Minkowski , la función mundial de Synge se simplifica a la mitad del intervalo espacio-temporal entre los dos puntos: está definida globalmente y toma la forma ${\displaystyle t^{\mu }={\frac {dz^{\mu }}{d\lambda }}}$ ${\displaystyle \gamma (\lambda )}$ ${\displaystyle \sigma (x,x')}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x'}$ ${\displaystyle U}$

${\displaystyle \sigma (x,x')={\frac {1}{2}}\eta _{\alpha \beta }(x-x')^{\alpha }(x-x')^{\beta }.}$

Obviamente la función de Synge puede definirse también en variedades de Riemann y en ese caso tiene signo no negativo. En términos generales, la función de Synge solo está definida localmente y un intento de definir una extensión a dominios más grandes que los vecindarios normales convexos generalmente conduce a una función multivaluada ya que puede haber varios segmentos geodésicos que unan un par de puntos en el espacio-tiempo. Sin embargo, es posible definirla en un vecindario de la diagonal de , aunque esta definición requiere una elección arbitraria. La función del mundo de Synge (también su extensión a un vecindario de la diagonal de ) aparece en particular en varias construcciones teóricas de la teoría cuántica de campos en el espacio-tiempo curvo . Es el objeto crucial utilizado para construir una parametriza de las funciones de Green de ecuaciones diferenciales parciales hiperbólicas de Green de segundo orden de Lorentz en una variedad globalmente hiperbólica , y en la definición de estados gaussianos de Hadamard. ${\displaystyle M\times M}$ ${\displaystyle M\times M}$

Referencias

• Synge, John, L. (1960). Relatividad: la teoría general . Holanda Septentrional. ISBN 0-521-34400-X.{{cite book}}: CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )

• Fulling, Stephen, A. (1989). Aspectos de la teoría cuántica de campos en el espacio-tiempo curvo . ISBN: 978-0-84-200-0 . 0-521-34400-X.{{cite book}}: CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )

• Poisson, E.; Pound, A.; Vega, I. (2011). "El movimiento de partículas puntuales en el espacio-tiempo curvo". Living Rev. Relativ . 14 (7): 7. arXiv : 1102.0529 . Bibcode :2011LRR....14....7P. doi : 10.12942/lrr-2011-7 . PMC  5255936 . PMID  28179832.

• Moretti, Valter (2021). "Sobre la parametrix global de Hadamard en QFT y la distancia geodésica cuadrada con signo definida en dominios mayores que los vecindarios normales convexos". Letters in Mathematical Physics . 111 (5): 130. arXiv : 2107.04903 . Bibcode :2021LMaPh.111..130M. doi : 10.1007/s11005-021-01464-4 .
• Moretti, Valter (2024) Métodos geométricos en física matemática II: análisis tensorial en variedades y relatividad general, capítulo 7. Apuntes de la Universidad de Trento (2024)