Coordenadas normales

Sistema de coordenadas especial en geometría diferencial

En geometría diferencial , las coordenadas normales en un punto p en una variedad diferenciable equipada con una conexión afín simétrica son un sistema de coordenadas local en un entorno de p obtenido al aplicar la función exponencial al espacio tangente en p . En un sistema de coordenadas normal, los símbolos de Christoffel de la conexión se anulan en el punto p , simplificando así a menudo los cálculos locales. En coordenadas normales asociadas a la conexión de Levi-Civita de una variedad de Riemann , se puede disponer adicionalmente que el tensor métrico sea el delta de Kronecker en el punto p , y que las primeras derivadas parciales de la métrica en p se anulen.

Un resultado básico de la geometría diferencial establece que las coordenadas normales en un punto siempre existen en una variedad con una conexión afín simétrica. En tales coordenadas, la derivada covariante se reduce a una derivada parcial (solo en p ), y las geodésicas a través de p son funciones localmente lineales de t (el parámetro afín). Esta idea fue implementada de manera fundamental por Albert Einstein en la teoría general de la relatividad : el principio de equivalencia utiliza coordenadas normales a través de sistemas inerciales . Las coordenadas normales siempre existen para la conexión de Levi-Civita de una variedad de Riemann o Pseudo-Riemann . Por el contrario, en general no hay forma de definir coordenadas normales para variedades de Finsler de manera que la función exponencial sea dos veces diferenciable (Busemann 1955).

Coordenadas normales geodésicas

Las coordenadas normales geodésicas son coordenadas locales en una variedad con una conexión afín definida por medio del mapa exponencial

${\displaystyle \exp _{p}:T_{p}M\supset V\rightarrow M}$

con un vecindario abierto de 0 en , y un isomorfismo ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle T_{p}M}$

${\displaystyle E:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow T_{p}M}$

dada por cualquier base del espacio tangente en el punto base fijo . Si se impone la estructura adicional de una métrica de Riemann, entonces se puede requerir que la base definida por E además sea ortonormal , y el sistema de coordenadas resultante se conoce entonces como un sistema de coordenadas normal de Riemann . ${\displaystyle p\in M}$

Existen coordenadas normales en un entorno normal de un punto p en M . Un entorno normal U es un subconjunto abierto de M tal que existe un entorno propio V del origen en el espacio tangente T _p M , y exp _p actúa como un difeomorfismo entre U y V . En un entorno normal U de p en M , el gráfico está dado por:

${\displaystyle \varphi :=E^{-1}\circ \exp _{p}^{-1}:U\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$

El isomorfismo E, y por lo tanto el gráfico, no es único en absoluto. Un entorno normal convexo U es un entorno normal de cada p en U. La existencia de este tipo de entornos abiertos (que forman una base topológica ) ha sido establecida por JHC Whitehead para conexiones afines simétricas.

Propiedades

Las propiedades de las coordenadas normales suelen simplificar los cálculos. En lo que sigue, supongamos que es un entorno normal centrado en un punto en y son coordenadas normales en . ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x^{i}}$ ${\displaystyle U}$

• Sea un vector de con componentes en coordenadas locales, y sea la geodésica con y . Entonces en coordenadas normales, siempre que esté en . Por lo tanto, las trayectorias radiales en coordenadas normales son exactamente las geodésicas que pasan por . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle T_{p}M}$ ${\displaystyle V^{i}}$ ${\displaystyle \gamma _{V}}$ ${\displaystyle \gamma _{V}(0)=p}$ ${\displaystyle \gamma _{V}'(0)=V}$ ${\displaystyle \gamma _{V}(t)=(tV^{1},...,tV^{n})}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle p}$
• Las coordenadas del punto son ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle (0,...,0)}$
• En coordenadas normales de Riemann en un punto, los componentes de la métrica de Riemann se simplifican a , es decir, . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle g_{ij}}$ ${\displaystyle \delta _{ij}}$ ${\displaystyle g_{ij}(p)=\delta _{ij}}$
• Los símbolos de Christoffel se anulan en , es decir, . En el caso de Riemann, también lo hacen las primeras derivadas parciales de , es decir, . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \Gamma _{ij}^{k}(p)=0}$ ${\displaystyle g_{ij}}$ ${\displaystyle {\frac {\partial g_{ij}}{\partial x^{k}}}(p)=0,\,\forall i,j,k}$

Fórmulas explícitas

En las proximidades de cualquier punto equipado con un sistema de coordenadas localmente ortonormal en el que y el tensor de Riemann en toma el valor podemos ajustar las coordenadas de modo que los componentes del tensor métrico alejados de se conviertan en ${\displaystyle p=(0,\ldots 0)}$ ${\displaystyle g_{\mu \nu }(0)=\delta _{\mu \nu }}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle R_{\mu \sigma \nu \tau }(0)}$ ${\displaystyle x^{\mu }}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle g_{\mu \nu }(x)=\delta _{\mu \nu }-{\tfrac {1}{3}}R_{\mu \sigma \nu \tau }(0)x^{\sigma }x^{\tau }+O(|x|^{3}).}$

Los símbolos correspondientes de la conexión Levi-Civita con Christoffel son

${\displaystyle {\Gamma ^{\lambda }}_{\mu \nu }(x)=-{\tfrac {1}{3}}{\bigl [}R_{\lambda \nu \mu \tau }(0)+R_{\lambda \mu \nu \tau }(0){\bigr ]}x^{\tau }+O(|x|^{2}).}$

De manera similar, podemos construir comarcos locales en los que

${\displaystyle e_{\mu }^{*a}(x)=\delta _{a\mu }-{\tfrac {1}{6}}R_{a\sigma \mu \tau }(0)x^{\sigma }x^{\tau }+O(x^{2}),}$

y los coeficientes de conexión de espín toman los valores

${\displaystyle {\omega ^{a}}_{b\mu }(x)=-{\tfrac {1}{2}}{R^{a}}_{b\mu \tau }(0)x^{\tau }+O(|x|^{2}).}$

Coordenadas polares

En una variedad de Riemann, un sistema de coordenadas normal en p facilita la introducción de un sistema de coordenadas esféricas , conocidas como coordenadas polares . Estas son las coordenadas en M obtenidas al introducir el sistema de coordenadas esféricas estándar en el espacio euclidiano T _p M. Es decir, se introduce en T _p M el sistema de coordenadas esféricas estándar ( r ,φ) donde r  ≥ 0 es el parámetro radial y φ = (φ ₁ ,...,φ _{n −1} ) es una parametrización de la ( n −1)-esfera . La composición de ( r ,φ) con la inversa de la función exponencial en p es un sistema de coordenadas polares.

Las coordenadas polares proporcionan una serie de herramientas fundamentales en la geometría de Riemann. La coordenada radial es la más importante: geométricamente representa la distancia geodésica a p de los puntos cercanos. El lema de Gauss afirma que el gradiente de r es simplemente la derivada parcial . Es decir, ${\displaystyle \partial /\partial r}$

${\displaystyle \langle df,dr\rangle ={\frac {\partial f}{\partial r}}}$

Para cualquier función suave ƒ . Como resultado, la métrica en coordenadas polares asume una forma diagonal en bloque .

${\displaystyle g={\begin{bmatrix}1&0&\cdots \ 0\\0&&\\\vdots &&g_{\phi \phi }(r,\phi )\\0&&\end{bmatrix}}.}$

Referencias

• Busemann, Herbert (1955), "Sobre coordenadas normales en espacios de Finsler", Mathematische Annalen , 129 : 417–423, doi :10.1007/BF01362381, ISSN  0025-5831, MR  0071075.
• Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1996), Fundamentos de geometría diferencial , vol. 1 (nueva edición), Wiley Interscience , ISBN 0-471-15733-3.
• Chern, SS; Chen, WH; Lam, KS; Conferencias sobre geometría diferencial , World Scientific, 2000

Véase también

• Lema de Gauss
• Coordenadas de Fermi
• Marco de referencia local
• Función mundial de Synge