Transformación canónica

Transformación de coordenadas que conserva la forma de las ecuaciones de Hamilton

En mecánica hamiltoniana , una transformación canónica es un cambio de coordenadas canónicas ( q , p ) → ( Q , P ) que preserva la forma de las ecuaciones de Hamilton . Esto a veces se conoce como invariancia de forma . Aunque las ecuaciones de Hamilton se preservan, no es necesario preservar la forma explícita del propio hamiltoniano . Las transformaciones canónicas son útiles por sí mismas y también forman la base de las ecuaciones de Hamilton-Jacobi (un método útil para calcular cantidades conservadas ) y el teorema de Liouville (en sí mismo la base de la mecánica estadística clásica ).

Como la mecánica de Lagrange se basa en coordenadas generalizadas , las transformaciones de las coordenadas q → Q no afectan la forma de las ecuaciones de Lagrange y, por lo tanto, no afectan la forma de las ecuaciones de Hamilton si el momento se cambia simultáneamente mediante una transformación de Legendre en donde son las nuevas coordenadas, agrupadas en pares conjugados canónicos de momentos y posiciones correspondientes para siendo el número de grados de libertad en ambos sistemas de coordenadas. $${\displaystyle P_{i}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {Q}}_{i}}}\ ,}$$ ${\displaystyle \left\{\ (P_{1},Q_{1}),\ (P_{2},Q_{2}),\ (P_{3},Q_{3}),\ \ldots \ \right\}}$ ${\displaystyle P_{i}}$ ${\displaystyle Q_{i},}$ ${\displaystyle i=1,2,\ldots \ N,}$ ${\displaystyle N}$

Por lo tanto, las transformaciones de coordenadas (también llamadas transformaciones de puntos ) son un tipo de transformación canónica. Sin embargo, la clase de transformaciones canónicas es mucho más amplia, ya que las antiguas coordenadas generalizadas, los momentos e incluso el tiempo pueden combinarse para formar las nuevas coordenadas y momentos generalizados. Las transformaciones canónicas que no incluyen el tiempo explícitamente se denominan transformaciones canónicas restringidas (muchos libros de texto consideran solo este tipo).

Las descripciones matemáticas modernas de las transformaciones canónicas se consideran bajo el tema más amplio del simplectomorfismo , que cubre el tema con prerrequisitos matemáticos avanzados como los haces cotangentes , las derivadas exteriores y las variedades simplécticas .

Notación

Las variables en negrita como q representan una lista de N coordenadas generalizadas que no necesitan transformarse como un vector bajo rotación y, de manera similar, p representa el momento generalizado correspondiente , por ejemplo, $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {q} &\equiv \left(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{N-1},q_{N}\right)\\\mathbf {p} &\equiv \left(p_{1},p_{2},\ldots ,p_{N-1},p_{N}\right).\end{aligned}}}$$

Un punto sobre una variable o lista significa la derivada temporal, por ejemplo, y se lee que las igualdades se satisfacen para todas las coordenadas, por ejemplo: $${\displaystyle {\dot {\mathbf {q} }}\equiv {\frac {d\mathbf {q} }{dt}}}$$ $${\displaystyle {\dot {\mathbf {p} }}=-{\frac {\partial f}{\partial \mathbf {q} }}\quad \Longleftrightarrow \quad {\dot {p_{i}}}=-{\frac {\partial f}{\partial {q_{i}}}}\quad (i=1,\dots ,N).}$$

La notación del producto escalar entre dos listas del mismo número de coordenadas es una forma abreviada de representar la suma de los productos de los componentes correspondientes, por ejemplo, $${\displaystyle \mathbf {p} \cdot \mathbf {q} \equiv \sum _{k=1}^{N}p_{k}q_{k}.}$$

El producto escalar (también conocido como "producto interno") convierte las dos listas de coordenadas en una variable que representa un único valor numérico. Las coordenadas después de la transformación se etiquetan de manera similar con Q para las coordenadas generalizadas transformadas y P para el momento generalizado transformado.

Condiciones para la transformación canónica restringida

Las transformaciones canónicas restringidas son transformaciones de coordenadas donde las coordenadas transformadas Q y P no tienen dependencia temporal explícita, es decir, y . La forma funcional de las ecuaciones de Hamilton es En general, una transformación ( q , p ) → ( Q , P ) no conserva la forma de las ecuaciones de Hamilton pero en ausencia de dependencia temporal en la transformación, son posibles algunas simplificaciones. Siguiendo la definición formal de una transformación canónica, se puede demostrar que para este tipo de transformación, el nuevo hamiltoniano (a veces llamado kamiltoniano ^[1] ) se puede expresar como: donde difiere en una derivada temporal parcial de una función conocida como generador, que se reduce a ser solo una función del tiempo para transformaciones canónicas restringidas. ${\textstyle \mathbf {Q} =\mathbf {Q} (\mathbf {q} ,\mathbf {p} )}$ ${\textstyle \mathbf {P} =\mathbf {P} (\mathbf {q} ,\mathbf {p} )}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\mathbf {p} }}&=-{\frac {\partial H}{\partial \mathbf {q} }}\,,&{\dot {\mathbf {q} }}&={\frac {\partial H}{\partial \mathbf {p} }}\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)=H(q(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ),p(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ),t)+{\frac {\partial G}{\partial t}}(t)}$$

Además de dejar la forma del hamiltoniano sin cambios, también se permite el uso del hamiltoniano sin cambios en las ecuaciones de movimiento de Hamilton debido a la forma anterior como:

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}{\dot {\mathbf {P} }}&=-{\frac {\partial K}{\partial \mathbf {Q} }}&&=-\left({\frac {\partial H}{\partial \mathbf {Q} }}\right)_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t}\\{\dot {\mathbf {Q} }}&=\,\,\,\,{\frac {\partial K}{\partial \mathbf {P} }}&&=\,\,\,\,\,\left({\frac {\partial H}{\partial \mathbf {P} }}\right)_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t}\\\end{alignedat}}}$$

Aunque las transformaciones canónicas se refieren a un conjunto más general de transformaciones del espacio de fases que se corresponden con transformaciones menos permisivas del hamiltoniano, proporcionan condiciones más simples para obtener resultados que pueden generalizarse aún más. Todas las siguientes condiciones, con excepción de la condición de invariancia bilineal, pueden generalizarse para las transformaciones canónicas, incluida la dependencia del tiempo.

Condiciones indirectas

Dado que las transformaciones restringidas no tienen una dependencia temporal explícita (por definición), la derivada temporal de una nueva coordenada generalizada Q _m es

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {Q}}_{m}&={\frac {\partial Q_{m}}{\partial \mathbf {q} }}\cdot {\dot {\mathbf {q} }}+{\frac {\partial Q_{m}}{\partial \mathbf {p} }}\cdot {\dot {\mathbf {p} }}\\&={\frac {\partial Q_{m}}{\partial \mathbf {q} }}\cdot {\frac {\partial H}{\partial \mathbf {p} }}-{\frac {\partial Q_{m}}{\partial \mathbf {p} }}\cdot {\frac {\partial H}{\partial \mathbf {q} }}\\&=\lbrace Q_{m},H\rbrace \end{aligned}}}$$
donde {⋅, ⋅} es el corchete de Poisson .

De manera similar para la identidad del momento conjugado, P _m, utilizando la forma del "Kamiltoniano" se deduce que:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)}{\partial P_{m}}}&={\frac {\partial K(\mathbf {Q} (\mathbf {q} ,\mathbf {p} ),\mathbf {P} (\mathbf {q} ,\mathbf {p} ),t)}{\partial \mathbf {q} }}\cdot {\frac {\partial \mathbf {q} }{\partial P_{m}}}+{\frac {\partial K(\mathbf {Q} (\mathbf {q} ,\mathbf {p} ),\mathbf {P} (\mathbf {q} ,\mathbf {p} ),t)}{\partial \mathbf {p} }}\cdot {\frac {\partial \mathbf {p} }{\partial P_{m}}}\\[1ex]&={\frac {\partial H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)}{\partial \mathbf {q} }}\cdot {\frac {\partial \mathbf {q} }{\partial P_{m}}}+{\frac {\partial H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)}{\partial \mathbf {p} }}\cdot {\frac {\partial \mathbf {p} }{\partial P_{m}}}\\[1ex]&={\frac {\partial H}{\partial \mathbf {q} }}\cdot {\frac {\partial \mathbf {q} }{\partial P_{m}}}+{\frac {\partial H}{\partial \mathbf {p} }}\cdot {\frac {\partial \mathbf {p} }{\partial P_{m}}}\end{aligned}}}$$

Debido a la forma de las ecuaciones de movimiento hamiltonianas,

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\mathbf {P} }}&=-{\frac {\partial K}{\partial \mathbf {Q} }}\\{\dot {\mathbf {Q} }}&=\,\,\,\,{\frac {\partial K}{\partial \mathbf {P} }}\end{aligned}}}$$

Si la transformación es canónica, los dos resultados derivados deben ser iguales, dando como resultado las ecuaciones: $${\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {\partial Q_{m}}{\partial p_{n}}}\right)_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} }&=-\left({\frac {\partial q_{n}}{\partial P_{m}}}\right)_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} }\\\left({\frac {\partial Q_{m}}{\partial q_{n}}}\right)_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} }&=\left({\frac {\partial p_{n}}{\partial P_{m}}}\right)_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} }\end{aligned}}}$$

El argumento análogo para los momentos generalizados P _m conduce a otros dos conjuntos de ecuaciones: $${\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {\partial P_{m}}{\partial p_{n}}}\right)_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} }&=\left({\frac {\partial q_{n}}{\partial Q_{m}}}\right)_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} }\\\left({\frac {\partial P_{m}}{\partial q_{n}}}\right)_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} }&=-\left({\frac {\partial p_{n}}{\partial Q_{m}}}\right)_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} }\end{aligned}}}$$

Éstas son las condiciones indirectas para comprobar si una transformación dada es canónica.

Condición simpléctica

A veces las relaciones hamiltonianas se representan como:

$${\displaystyle {\dot {\eta }}=J\nabla _{\eta }H}$$

Dónde ${\textstyle J:={\begin{pmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\\\end{pmatrix}},}$

y . De manera similar, sea . ${\textstyle \mathbf {\eta } ={\begin{bmatrix}q_{1}\\\vdots \\q_{n}\\p_{1}\\\vdots \\p_{n}\\\end{bmatrix}}}$ ${\textstyle \mathbf {\varepsilon } ={\begin{bmatrix}Q_{1}\\\vdots \\Q_{n}\\P_{1}\\\vdots \\P_{n}\\\end{bmatrix}}}$

A partir de la relación de derivadas parciales, al convertir la relación en términos de derivadas parciales con nuevas variables se obtiene donde . De manera similar para , ${\displaystyle {\dot {\eta }}=J\nabla _{\eta }H}$ ${\displaystyle {\dot {\eta }}=J(M^{T}\nabla _{\varepsilon }H)}$ ${\textstyle M:={\frac {\partial (\mathbf {Q} ,\mathbf {P} )}{\partial (\mathbf {q} ,\mathbf {p} )}}}$ ${\textstyle {\dot {\varepsilon }}}$

$${\displaystyle {\dot {\varepsilon }}=M{\dot {\eta }}=MJM^{T}\nabla _{\varepsilon }H}$$

Debido a la forma de las ecuaciones hamiltonianas para , ${\textstyle {\dot {\varepsilon }}}$

$${\displaystyle {\dot {\varepsilon }}=J\nabla _{\varepsilon }K=J\nabla _{\varepsilon }H}$$

donde se puede utilizar debido a la forma de Kamiltoniano. Igualando las dos ecuaciones se obtiene la condición simpléctica como: ^[2] ${\textstyle \nabla _{\varepsilon }K=\nabla _{\varepsilon }H}$

$${\displaystyle MJM^{T}=J}$$El lado izquierdo de lo anterior se llama matriz de Poisson de , denotada como . De manera similar, una matriz de Lagrange de se puede construir como . ^[3] Se puede demostrar que la condición simpléctica también es equivalente a utilizando la propiedad. El conjunto de todas las matrices que satisfacen condiciones simplécticas forman un grupo simpléctico . Las condiciones simplécticas son equivalentes con las condiciones indirectas ya que ambas conducen a la ecuación , que se utiliza en ambas derivaciones. ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\textstyle {\mathcal {P}}(\varepsilon )=MJM^{T}}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\textstyle {\mathcal {L}}(\eta )=M^{T}JM}$ ${\textstyle M^{T}JM=J}$ ${\textstyle J^{-1}=-J}$ ${\textstyle M}$ ${\textstyle {\dot {\varepsilon }}=J\nabla _{\varepsilon }H}$

Invariancia del corchete de Poisson

El corchete de Poisson que se define como: se puede representar en forma matricial como: Por lo tanto, utilizando relaciones de derivadas parciales y condiciones simplécticas se obtiene: ^[4] $${\displaystyle \{u,v\}_{\eta }:=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial u}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial v}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial u}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial v}{\partial q_{i}}}\right)}$$ $${\displaystyle \{u,v\}_{\eta }:=(\nabla _{\eta }u)^{T}J(\nabla _{\eta }v)}$$ $${\displaystyle \{u,v\}_{\eta }=(\nabla _{\eta }u)^{T}J(\nabla _{\eta }v)=(M^{T}\nabla _{\varepsilon }u)^{T}J(M^{T}\nabla _{\varepsilon }v)=(\nabla _{\varepsilon }u)^{T}MJM^{T}(\nabla _{\varepsilon }v)=(\nabla _{\varepsilon }u)^{T}J(\nabla _{\varepsilon }v)=\{u,v\}_{\varepsilon }}$$

La condición simpléctica también se puede recuperar tomando y que muestra que . Por lo tanto, estas condiciones son equivalentes a las condiciones simplécticas. Además, se puede ver que , que también es el resultado de calcular explícitamente el elemento de la matriz desarrollándolo. ^[3] ${\textstyle u=\varepsilon _{i}}$ ${\textstyle v=\varepsilon _{j}}$ ${\textstyle (MJM^{T})_{ij}=J_{ij}}$ ${\textstyle {\mathcal {P}}_{ij}(\varepsilon )=\{\varepsilon _{i},\varepsilon _{j}\}_{\eta }=(MJM^{T})_{ij}}$

Invariancia del corchete de Lagrange

El corchete de Lagrange que se define como:

$${\displaystyle [u,v]_{\eta }:=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial q_{i}}{\partial u}}{\frac {\partial p_{i}}{\partial v}}-{\frac {\partial p_{i}}{\partial u}}{\frac {\partial q_{i}}{\partial v}}\right)}$$

se puede representar en forma matricial como:

$${\displaystyle [u,v]_{\eta }:=\left({\frac {\partial \eta }{\partial u}}\right)^{T}J\left({\frac {\partial \eta }{\partial v}}\right)}$$

Usando una derivación similar, obtenemos:

$${\displaystyle [u,v]_{\varepsilon }=(\partial _{u}\varepsilon )^{T}\,J\,(\partial _{v}\varepsilon )=(M\,\partial _{u}\eta )^{T}\,J\,(M\,\partial _{v}\eta )=(\partial _{u}\eta )^{T}\,M^{T}JM\,(\partial _{v}\eta )=(\partial _{u}\eta )^{T}\,J\,(\partial _{v}\eta )=[u,v]_{\eta }}$$La condición simpléctica también se puede recuperar tomando y que muestra que . Por lo tanto, estas condiciones son equivalentes a las condiciones simplécticas. Además, se puede ver que , que también es el resultado de calcular explícitamente el elemento de la matriz desarrollándolo. ^[3] ${\textstyle u=\eta _{i}}$ ${\textstyle v=\eta _{j}}$ ${\textstyle (M^{T}JM)_{ij}=J_{ij}}$ ${\textstyle {\mathcal {L}}_{ij}(\eta )=[\eta _{i},\eta _{j}]_{\varepsilon }=(M^{T}JM)_{ij}}$

Condiciones de invariancia bilineal

Este conjunto de condiciones sólo se aplica a transformaciones canónicas restringidas o transformaciones canónicas que son independientes de la variable tiempo.

Considérense variaciones arbitrarias de dos tipos, en un único par de coordenadas generalizadas y el momento correspondiente: ^[5]

${\textstyle d\varepsilon =(dq_{1},dp_{1},0,0,\ldots ),\quad \delta \varepsilon =(\delta q_{1},\delta p_{1},0,0,\ldots ).}$

El área del paralelogramo infinitesimal está dada por:

${\textstyle \delta a(12)=dq_{1}\delta p_{1}-\delta q_{1}dp_{1}={(\delta \varepsilon )}^{T}\,J\,d\varepsilon .}$

De la condición simpléctica se deduce que el área infinitesimal se conserva bajo la transformación canónica: ${\textstyle M^{T}JM=J}$

${\textstyle \delta a(12)={(\delta \varepsilon )}^{T}\,J\,d\varepsilon ={(M\delta \eta )}^{T}\,J\,Md\eta ={(\delta \eta )}^{T}\,M^{T}JM\,d\eta ={(\delta \eta )}^{T}\,J\,d\eta =\delta A(12).}$

Tenga en cuenta que no es necesario que las nuevas coordenadas estén completamente orientadas en un plano de momento de coordenadas.

Por lo tanto, la condición se enuncia de forma más general como una invariancia de la forma bajo transformación canónica, expandida como: Si se cumple lo anterior para cualquier variación arbitraria, solo sería posible si se cumplen las condiciones indirectas. ^{[6] [7]} La ​​forma de la ecuación, también se conoce como un producto simpléctico de los vectores y y la condición de invariancia bilineal se puede enunciar como una conservación local del producto simpléctico. ^[8] ${\textstyle {(d\varepsilon )}^{T}\,J\,\delta \varepsilon }$ $${\displaystyle \sum \delta q\cdot dp-\delta p\cdot dq=\sum \delta Q\cdot dP-\delta P\cdot dQ}$$ ${\textstyle {v}^{T}\,J\,w}$ ${\textstyle {v}}$ ${\textstyle w}$

Teorema de Liouville

Las condiciones indirectas permiten demostrar el teorema de Liouville , que establece que el volumen en el espacio de fases se conserva bajo transformaciones canónicas, es decir, $${\displaystyle \int \mathrm {d} \mathbf {q} \,\mathrm {d} \mathbf {p} =\int \mathrm {d} \mathbf {Q} \,\mathrm {d} \mathbf {P} }$$

Por cálculo , la última integral debe ser igual a la anterior multiplicada por el determinante del jacobiano M, donde $${\displaystyle \int \mathrm {d} \mathbf {Q} \,\mathrm {d} \mathbf {P} =\int \det(M)\,\mathrm {d} \mathbf {q} \,\mathrm {d} \mathbf {p} }$$ ${\textstyle M:={\frac {\partial (\mathbf {Q} ,\mathbf {P} )}{\partial (\mathbf {q} ,\mathbf {p} )}}}$

La explotación de la propiedad de "división" de los jacobianos produce $${\displaystyle M\equiv {\frac {\partial (\mathbf {Q} ,\mathbf {P} )}{\partial (\mathbf {q} ,\mathbf {P} )}}\left/{\frac {\partial (\mathbf {q} ,\mathbf {p} )}{\partial (\mathbf {q} ,\mathbf {P} )}}\right.}$$

Al eliminar las variables repetidas se obtiene $${\displaystyle M\equiv {\frac {\partial (\mathbf {Q} )}{\partial (\mathbf {q} )}}\left/{\frac {\partial (\mathbf {p} )}{\partial (\mathbf {P} )}}\right.}$$

La aplicación de las condiciones indirectas anteriores da como resultado . ^[9] ${\displaystyle \operatorname {det} (M)=1}$

Enfoque de función generadora

Para garantizar una transformación válida entre ( q , p , H ) y ( Q , P , K ) , podemos recurrir a un enfoque de función generadora directa . Ambos conjuntos de variables deben obedecer al principio de Hamilton . Es decir, la integral de acción sobre los lagrangianos y , obtenida a partir del respectivo hamiltoniano mediante una transformación de Legendre "inversa" , debe ser estacionaria en ambos casos (de modo que se puedan utilizar las ecuaciones de Euler-Lagrange para llegar a ecuaciones hamiltonianas de movimiento de la forma designada; como se muestra, por ejemplo, aquí ): ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{qp}=\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{QP}=\mathbf {P} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}-K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}\left[\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)\right]dt&=0\\\delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}\left[\mathbf {P} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}-K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)\right]dt&=0\end{aligned}}}$$

Una forma de que se satisfagan ambas igualdades integrales variacionales es tener $${\displaystyle \lambda \left[\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)\right]=\mathbf {P} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}-K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)+{\frac {dG}{dt}}}$$

Los lagrangianos no son únicos: siempre se puede multiplicar por una constante λ y sumar una derivada de tiempo total .dG/es⁠ y producen las mismas ecuaciones de movimiento (como se discute en Wikilibros). En general, el factor de escala λ se establece igual a uno; las transformaciones canónicas para las que λ ≠ 1 se denominan transformaciones canónicas extendidas .dG/es⁠ se mantiene, de lo contrario el problema se volvería trivial y no habría mucha libertad para que las nuevas variables canónicas difirieran de las antiguas.

Aquí G es una función generadora de una antigua coordenada canónica ( q o p ), una nueva coordenada canónica ( Q o P ) y (posiblemente) el tiempo t . Por lo tanto, hay cuatro tipos básicos de funciones generadoras (aunque pueden existir mezclas de estos cuatro tipos), dependiendo de la elección de las variables. Como se mostrará a continuación, la función generadora definirá una transformación de las antiguas coordenadas canónicas a las nuevas , y se garantiza que cualquier transformación de este tipo ( q , p ) → ( Q , P ) será canónica.

A continuación se analizan en detalle las distintas funciones generadoras y sus propiedades tabuladas:

Función generadora tipo 1

La función generadora de tipo 1 G ₁ depende únicamente de las coordenadas generalizadas antiguas y nuevas. Para derivar la transformación implícita, desarrollamos la ecuación definitoria anterior. $${\displaystyle G\equiv G_{1}(\mathbf {q} ,\mathbf {Q} ,t)}$$ $${\displaystyle \mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)=\mathbf {P} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}-K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)+{\frac {\partial G_{1}}{\partial t}}+{\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {q} }}\cdot {\dot {\mathbf {q} }}+{\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {Q} }}\cdot {\dot {\mathbf {Q} }}}$$

Dado que las coordenadas nuevas y antiguas son independientes, las siguientes 2 N + 1 ecuaciones deben cumplirse $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {p} &={\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {q} }}\\\mathbf {P} &=-{\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {Q} }}\\K&=H+{\frac {\partial G_{1}}{\partial t}}\end{aligned}}}$$

Estas ecuaciones definen la transformación ( q , p ) → ( Q , P ) de la siguiente manera: El primer conjunto de N ecuaciones define relaciones entre las nuevas coordenadas generalizadas Q y las antiguas coordenadas canónicas ( q , p ) . Idealmente, se pueden invertir estas relaciones para obtener fórmulas para cada Q _k como una función de las antiguas coordenadas canónicas. La sustitución de estas fórmulas por las coordenadas Q en el segundo conjunto de N ecuaciones produce fórmulas análogas para los nuevos momentos generalizados P en términos de las antiguas coordenadas canónicas ( q , p ) . Luego invertimos ambos conjuntos de fórmulas para obtener las antiguas coordenadas canónicas ( q , p ) como funciones de las nuevas coordenadas canónicas ( Q , P ) . La sustitución de las fórmulas invertidas en la ecuación final produce una fórmula para K como una función de las nuevas coordenadas canónicas ( Q , P ) . $${\displaystyle \ \mathbf {p} ={\frac {\ \partial G_{1}\ }{\partial \mathbf {q} }}\ }$$ $${\displaystyle \mathbf {P} =-{\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {Q} }}}$$ $${\displaystyle K=H+{\frac {\partial G_{1}}{\partial t}}}$$

En la práctica, este procedimiento es más sencillo de lo que parece, porque la función generadora suele ser sencilla. Por ejemplo, supongamos que Esto da como resultado intercambiar las coordenadas generalizadas por los momentos y viceversa y K = H . Este ejemplo ilustra cuán independientes son las coordenadas y los momentos en la formulación hamiltoniana; son variables equivalentes. $${\displaystyle G_{1}\equiv \mathbf {q} \cdot \mathbf {Q} }$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {p} &={\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {q} }}=\mathbf {Q} \\\mathbf {P} &=-{\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {Q} }}=-\mathbf {q} \end{aligned}}}$$

Función generadora tipo 2

La función generadora de tipo 2 depende únicamente de las antiguas coordenadas generalizadas y de los nuevos momentos generalizados , donde los términos representan una transformación de Legendre para cambiar el lado derecho de la ecuación que aparece a continuación. Para derivar la transformación implícita, desarrollamos la ecuación definitoria anterior. ${\displaystyle G_{2}(\mathbf {q} ,\mathbf {P} ,t)}$ $${\displaystyle G\equiv G_{2}(\mathbf {q} ,\mathbf {P} ,t)-\mathbf {Q} \cdot \mathbf {P} }$$ ${\displaystyle -\mathbf {Q} \cdot \mathbf {P} }$ $${\displaystyle \mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)=-\mathbf {Q} \cdot {\dot {\mathbf {P} }}-K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)+{\frac {\partial G_{2}}{\partial t}}+{\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {q} }}\cdot {\dot {\mathbf {q} }}+{\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {P} }}\cdot {\dot {\mathbf {P} }}}$$

Dado que las antiguas coordenadas y los nuevos momentos son independientes, las siguientes 2 N + 1 ecuaciones deben cumplirse $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {p} &={\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {q} }}\\\mathbf {Q} &={\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {P} }}\\K&=H+{\frac {\partial G_{2}}{\partial t}}\end{aligned}}}$$

Estas ecuaciones definen la transformación ( q , p ) → ( Q , P ) de la siguiente manera: El primer conjunto de N ecuaciones define relaciones entre los nuevos momentos generalizados P y las antiguas coordenadas canónicas ( q , p ) . Idealmente, se pueden invertir estas relaciones para obtener fórmulas para cada P _k como una función de las antiguas coordenadas canónicas. La sustitución de estas fórmulas para las coordenadas P en el segundo conjunto de N ecuaciones produce fórmulas análogas para las nuevas coordenadas generalizadas Q en términos de las antiguas coordenadas canónicas ( q , p ) . Luego invertimos ambos conjuntos de fórmulas para obtener las antiguas coordenadas canónicas ( q , p ) como funciones de las nuevas coordenadas canónicas ( Q , P ) . La sustitución de las fórmulas invertidas en la ecuación final produce una fórmula para K como una función de las nuevas coordenadas canónicas ( Q , P ) . $${\displaystyle \mathbf {p} ={\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {q} }}}$$ $${\displaystyle \mathbf {Q} ={\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {P} }}}$$ $${\displaystyle K=H+{\frac {\partial G_{2}}{\partial t}}}$$

En la práctica, este procedimiento es más sencillo de lo que parece, porque la función generadora suele ser sencilla. Por ejemplo, sea donde g es un conjunto de N funciones. Esto da como resultado una transformación puntual de las coordenadas generalizadas. $${\displaystyle G_{2}\equiv \mathbf {g} (\mathbf {q} ;t)\cdot \mathbf {P} }$$ $${\displaystyle \mathbf {Q} ={\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {P} }}=\mathbf {g} (\mathbf {q} ;t)}$$

Función generadora tipo 3

La función generadora de tipo 3 depende únicamente de los antiguos momentos generalizados y de las nuevas coordenadas generalizadas , donde los términos representan una transformación de Legendre para cambiar el lado izquierdo de la ecuación que aparece a continuación. Para derivar la transformación implícita, desarrollamos la ecuación definitoria anterior. ${\displaystyle G_{3}(\mathbf {p} ,\mathbf {Q} ,t)}$ $${\displaystyle G\equiv G_{3}(\mathbf {p} ,\mathbf {Q} ,t)+\mathbf {q} \cdot \mathbf {p} }$$ ${\displaystyle \mathbf {q} \cdot \mathbf {p} }$ $${\displaystyle -\mathbf {q} \cdot {\dot {\mathbf {p} }}-H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)=\mathbf {P} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}-K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)+{\frac {\partial G_{3}}{\partial t}}+{\frac {\partial G_{3}}{\partial \mathbf {p} }}\cdot {\dot {\mathbf {p} }}+{\frac {\partial G_{3}}{\partial \mathbf {Q} }}\cdot {\dot {\mathbf {Q} }}}$$

Dado que las coordenadas nuevas y antiguas son independientes, las siguientes 2 N + 1 ecuaciones deben cumplirse $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {q} &=-{\frac {\partial G_{3}}{\partial \mathbf {p} }}\\\mathbf {P} &=-{\frac {\partial G_{3}}{\partial \mathbf {Q} }}\\K&=H+{\frac {\partial G_{3}}{\partial t}}\end{aligned}}}$$

Estas ecuaciones definen la transformación ( q , p ) → ( Q , P ) de la siguiente manera: El primer conjunto de N ecuaciones define relaciones entre las nuevas coordenadas generalizadas Q y las antiguas coordenadas canónicas ( q , p ) . Idealmente, se pueden invertir estas relaciones para obtener fórmulas para cada Q _k como una función de las antiguas coordenadas canónicas. La sustitución de estas fórmulas por las coordenadas Q en el segundo conjunto de N ecuaciones produce fórmulas análogas para los nuevos momentos generalizados P en términos de las antiguas coordenadas canónicas ( q , p ) . Luego invertimos ambos conjuntos de fórmulas para obtener las antiguas coordenadas canónicas ( q , p ) como funciones de las nuevas coordenadas canónicas ( Q , P ) . La sustitución de las fórmulas invertidas en la ecuación final produce una fórmula para K como una función de las nuevas coordenadas canónicas ( Q , P ) . $${\displaystyle \mathbf {q} =-{\frac {\partial G_{3}}{\partial \mathbf {p} }}}$$ $${\displaystyle \mathbf {P} =-{\frac {\partial G_{3}}{\partial \mathbf {Q} }}}$$ $${\displaystyle K=H+{\frac {\partial G_{3}}{\partial t}}}$$

En la práctica, este procedimiento es más fácil de lo que parece, porque la función generadora suele ser sencilla.

Función generadora tipo 4

La función generadora de tipo 4 depende únicamente de los momentos generalizados antiguos y nuevos , donde los términos representan una transformación de Legendre para cambiar ambos lados de la ecuación que se muestra a continuación. Para derivar la transformación implícita, desarrollamos la ecuación definitoria anterior. ${\displaystyle G_{4}(\mathbf {p} ,\mathbf {P} ,t)}$ $${\displaystyle G\equiv G_{4}(\mathbf {p} ,\mathbf {P} ,t)+\mathbf {q} \cdot \mathbf {p} -\mathbf {Q} \cdot \mathbf {P} }$$ ${\displaystyle \mathbf {q} \cdot \mathbf {p} -\mathbf {Q} \cdot \mathbf {P} }$ $${\displaystyle -\mathbf {q} \cdot {\dot {\mathbf {p} }}-H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)=-\mathbf {Q} \cdot {\dot {\mathbf {P} }}-K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)+{\frac {\partial G_{4}}{\partial t}}+{\frac {\partial G_{4}}{\partial \mathbf {p} }}\cdot {\dot {\mathbf {p} }}+{\frac {\partial G_{4}}{\partial \mathbf {P} }}\cdot {\dot {\mathbf {P} }}}$$

Dado que las coordenadas nuevas y antiguas son independientes, las siguientes 2 N + 1 ecuaciones deben cumplirse $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {q} &=-{\frac {\partial G_{4}}{\partial \mathbf {p} }}\\\mathbf {Q} &={\frac {\partial G_{4}}{\partial \mathbf {P} }}\\K&=H+{\frac {\partial G_{4}}{\partial t}}\end{aligned}}}$$

Estas ecuaciones definen la transformación ( q , p ) → ( Q , P ) de la siguiente manera: El primer conjunto de N ecuaciones define relaciones entre los nuevos momentos generalizados P y las antiguas coordenadas canónicas ( q , p ) . Idealmente, se pueden invertir estas relaciones para obtener fórmulas para cada P _k como una función de las antiguas coordenadas canónicas. La sustitución de estas fórmulas para las coordenadas P en el segundo conjunto de N ecuaciones produce fórmulas análogas para las nuevas coordenadas generalizadas Q en términos de las antiguas coordenadas canónicas ( q , p ) . Luego invertimos ambos conjuntos de fórmulas para obtener las antiguas coordenadas canónicas ( q , p ) como funciones de las nuevas coordenadas canónicas ( Q , P ) . La sustitución de las fórmulas invertidas en la ecuación final produce una fórmula para K como una función de las nuevas coordenadas canónicas ( Q , P ) . $${\displaystyle \mathbf {q} =-{\frac {\partial G_{4}}{\partial \mathbf {p} }}}$$ $${\displaystyle \mathbf {Q} ={\frac {\partial G_{4}}{\partial \mathbf {P} }}}$$ $${\displaystyle K=H+{\frac {\partial G_{4}}{\partial t}}}$$

Restricciones a la generación de funciones

Por ejemplo, si se utiliza una función generadora de segundo tipo: y , el primer conjunto de ecuaciones que consta de las variables , y tiene que invertirse para obtener . Este proceso es posible cuando la matriz definida por no es singular. ^[11] ${\textstyle {p}_{i}={\frac {\partial G_{2}}{\partial {q}_{i}}}}$ ${\textstyle {Q}_{i}={\frac {\partial G_{2}}{\partial {P}_{i}}}}$ ${\textstyle \mathbf {p} }$ ${\textstyle \mathbf {q} }$ ${\textstyle \mathbf {P} }$ ${\textstyle \mathbf {P} (\mathbf {q} ,\mathbf {p} )}$ ${\textstyle a_{ij}={\frac {\partial {p}_{i}(\mathbf {q} ,\mathbf {P} )}{\partial P_{j}}}}$

$${\displaystyle \left|{\begin{array}{l l l}{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}G_{2}}{\partial P_{1}\partial q_{1}}}}&{\cdots }&{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}G_{2}}{\partial P_{1}\partial q_{n}}}}\\{\quad \vdots }&{\ddots }&{\quad \vdots }\\{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}G_{2}}{\partial P_{n}\partial q_{1}}}}&{\cdots }&{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}G_{2}}{\partial P_{n}\partial q_{n}}}}\end{array}}\right|{\neq 0}}$$

Por lo tanto, se imponen restricciones a las funciones generadoras para que las matrices: , , y , no sean singulares. ^{[12] [13]} ${\textstyle \left[{\frac {\partial ^{2}G_{1}}{\partial Q_{j}\partial q_{i}}}\right]}$ ${\textstyle \left[{\frac {\partial ^{2}G_{2}}{\partial P_{j}\partial q_{i}}}\right]}$ ${\textstyle \left[{\frac {\partial ^{2}G_{3}}{\partial p_{j}\partial Q_{i}}}\right]}$ ${\textstyle \left[{\frac {\partial ^{2}G_{4}}{\partial p_{j}\partial P_{i}}}\right]}$

Limitaciones de las funciones generadoras

Como no es singular, implica que también es no singular. Como la matriz es inversa de , las transformaciones de las funciones generadoras de tipo 2 siempre tienen una matriz no singular. De manera similar, se puede afirmar que las funciones generadoras de tipo 1 y tipo 4 siempre tienen una matriz no singular, mientras que las funciones generadoras de tipo 2 y tipo 3 siempre tienen una matriz no singular . Por lo tanto, las transformaciones canónicas resultantes de estas funciones generadoras no son completamente generales. ^[14] ${\textstyle \left[{\frac {\partial ^{2}G_{2}}{\partial P_{j}\partial q_{i}}}\right]}$ ${\textstyle \left[{\frac {\partial {p}_{i}(\mathbf {q} ,\mathbf {P} )}{\partial P_{j}}}\right]}$ ${\textstyle \left[{\frac {\partial P_{i}(\mathbf {q} ,\mathbf {p} )}{\partial p_{j}}}\right]}$ ${\textstyle \left[{\frac {\partial {p}_{i}(\mathbf {q} ,\mathbf {P} )}{\partial P_{j}}}\right]}$ ${\textstyle \left[{\frac {\partial P_{i}(\mathbf {q} ,\mathbf {p} )}{\partial p_{j}}}\right]}$ ${\textstyle \left[{\frac {\partial Q_{i}(\mathbf {q} ,\mathbf {p} )}{\partial p_{j}}}\right]}$ ${\textstyle \left[{\frac {\partial P_{i}(\mathbf {q} ,\mathbf {p} )}{\partial p_{j}}}\right]}$

En otras palabras, dado que ( Q , P ) y ( q , p ) son cada una 2 N funciones independientes, se deduce que para tener una función generadora de la forma y o y , las matrices jacobianas correspondientes y están restringidas a no ser singulares, lo que garantiza que la función generadora sea una función de 2 N + 1 variables independientes. Sin embargo, como una característica de las transformaciones canónicas, siempre es posible elegir 2 N de tales funciones independientes de los conjuntos ( q , p ) o ( Q , P ) , para formar una representación de función generadora de transformaciones canónicas, incluida la variable tiempo. Por lo tanto, se puede demostrar que cada transformación canónica finita se puede dar como una forma cerrada pero implícita que es una variante de las cuatro formas simples dadas. ^[15] ${\textstyle G_{1}(\mathbf {q} ,\mathbf {Q} ,t)}$ ${\displaystyle G_{4}(\mathbf {p} ,\mathbf {P} ,t)}$ ${\displaystyle G_{2}(\mathbf {q} ,\mathbf {P} ,t)}$ ${\displaystyle G_{3}(\mathbf {p} ,\mathbf {Q} ,t)}$ ${\textstyle \left[{\frac {\partial Q_{i}}{\partial p_{j}}}\right]}$ ${\textstyle \left[{\frac {\partial P_{i}}{\partial p_{j}}}\right]}$

Condiciones de transformación canónica

Relaciones de transformación canónica

Desde: , calcular : ${\displaystyle K=H+{\frac {\partial G}{\partial t}}}$ ${\textstyle {\frac {\partial (K-H)}{\partial P}}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {\partial (K-H)}{\partial P}}\right)_{Q,P,t}={\frac {\partial K}{\partial P}}-{\frac {\partial H}{\partial p}}{\frac {\partial p}{\partial P}}-{\frac {\partial H}{\partial q}}{\frac {\partial q}{\partial P}}-{\frac {\partial H}{\partial t}}\left({\frac {\partial t}{\partial P}}\right)_{Q,P,t}={\dot {Q}}+{\dot {p}}{\frac {\partial q}{\partial P}}-{\dot {q}}{\frac {\partial p}{\partial P}}\\={\frac {\partial Q}{\partial t}}+{\frac {\partial Q}{\partial q}}\cdot {\dot {q}}+{\frac {\partial Q}{\partial p}}\cdot {\dot {p}}+{\dot {p}}{\frac {\partial q}{\partial P}}-{\dot {q}}{\frac {\partial p}{\partial P}}\\={\dot {q}}\left({\frac {\partial Q}{\partial q}}-{\frac {\partial p}{\partial P}}\right)+{\dot {p}}\left({\frac {\partial q}{\partial P}}+{\frac {\partial Q}{\partial p}}\right)+{\frac {\partial Q}{\partial t}}\end{aligned}}}$$Como el lado izquierdo es que es independiente de la dinámica de las partículas, al igualar los coeficientes de y a cero, se obtienen reglas de transformación canónica. Este paso es equivalente a igualar el lado izquierdo como . ${\textstyle {\frac {\partial (K-H)}{\partial P}}={\frac {\partial }{\partial P}}\left({\frac {\partial G}{\partial t}}\right){\bigg |}_{Q,P,t}}$ ${\textstyle {\dot {q}}}$ ${\textstyle {\dot {p}}}$ ${\textstyle {\frac {\partial (K-H)}{\partial P}}={\frac {\partial Q}{\partial t}}}$

Similarmente:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {\partial (K-H)}{\partial Q}}\right)_{Q,P,t}&={\frac {\partial K}{\partial Q}}-{\frac {\partial H}{\partial p}}{\frac {\partial p}{\partial Q}}-{\frac {\partial H}{\partial q}}{\frac {\partial q}{\partial Q}}-{\frac {\partial H}{\partial t}}\left({\frac {\partial t}{\partial Q}}\right)_{Q,P,t}\\&=-{\dot {P}}+{\dot {p}}{\frac {\partial q}{\partial Q}}-{\dot {q}}{\frac {\partial p}{\partial Q}}\\&=-{\frac {\partial P}{\partial t}}-{\frac {\partial P}{\partial q}}\cdot {\dot {q}}-{\frac {\partial P}{\partial p}}\cdot {\dot {p}}+{\dot {p}}{\frac {\partial q}{\partial Q}}-{\dot {q}}{\frac {\partial p}{\partial Q}}\\&=-\left({\dot {q}}\left({\frac {\partial P}{\partial q}}+{\frac {\partial p}{\partial Q}}\right)+{\dot {p}}\left({\frac {\partial P}{\partial p}}-{\frac {\partial q}{\partial Q}}\right)+{\frac {\partial P}{\partial t}}\right)\end{aligned}}}$$De manera similar, las reglas de transformación canónica se obtienen igualando el lado izquierdo como . ${\textstyle {\frac {\partial (K-H)}{\partial Q}}=-{\frac {\partial P}{\partial t}}}$

Las dos relaciones anteriores se pueden combinar en forma matricial como: (que también conservará la misma forma para la transformación canónica extendida) donde se ha utilizado el resultado , . Por lo tanto, se dice que las relaciones de transformación canónica son equivalentes a en este contexto. ${\textstyle J\left(\nabla _{\varepsilon }{\frac {\partial G}{\partial t}}\right)={\frac {\partial \varepsilon }{\partial t}}}$ ${\textstyle {\frac {\partial G}{\partial t}}=K-H}$ ${\textstyle J\left(\nabla _{\varepsilon }{\frac {\partial G}{\partial t}}\right)={\frac {\partial \varepsilon }{\partial t}}}$

Ahora es posible reformular las relaciones de transformación canónica para incluir la dependencia del tiempo: Dado que y , si Q y P no dependen explícitamente del tiempo, se puede tomar . Por lo tanto, el análisis de las transformaciones canónicas restringidas es coherente con esta generalización. $${\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {\partial Q_{m}}{\partial p_{n}}}\right)_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t}&=-\left({\frac {\partial q_{n}}{\partial P_{m}}}\right)_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t}\\\left({\frac {\partial Q_{m}}{\partial q_{n}}}\right)_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t}&=\left({\frac {\partial p_{n}}{\partial P_{m}}}\right)_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t}\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {\partial P_{m}}{\partial p_{n}}}\right)_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t}&=\left({\frac {\partial q_{n}}{\partial Q_{m}}}\right)_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t}\\\left({\frac {\partial P_{m}}{\partial q_{n}}}\right)_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t}&=-\left({\frac {\partial p_{n}}{\partial Q_{m}}}\right)_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t}\end{aligned}}}$$ ${\textstyle {\frac {\partial (K-H)}{\partial P}}={\frac {\partial Q}{\partial t}}}$ ${\textstyle {\frac {\partial (K-H)}{\partial Q}}=-{\frac {\partial P}{\partial t}}}$ ${\textstyle K=H+{\frac {\partial G}{\partial t}}(t)}$

Condición simpléctica

Aplicando la fórmula de transformación de coordenadas para , en las ecuaciones del hamiltoniano se obtiene: ${\displaystyle \nabla _{\eta }H=M^{T}\nabla _{\varepsilon }H}$ $${\displaystyle {\dot {\eta }}=J\nabla _{\eta }H=J(M^{T}\nabla _{\varepsilon }H)}$$

De manera similar para : o: Donde los últimos términos de cada ecuación se cancelan debido a la condición de las transformaciones canónicas. De ahí la relación simpléctica: que también es equivalente a la condición . De las dos ecuaciones anteriores se deduce que la condición simpléctica implica la ecuación , de la que se pueden recuperar las condiciones indirectas. Por lo tanto, se puede decir que las condiciones simplécticas y las condiciones indirectas son equivalentes en el contexto del uso de funciones generadoras. ${\textstyle {\dot {\varepsilon }}}$ $${\displaystyle {\dot {\varepsilon }}=M{\dot {\eta }}+{\frac {\partial \varepsilon }{\partial t}}=MJM^{T}\nabla _{\varepsilon }H+{\frac {\partial \varepsilon }{\partial t}}}$$ $${\displaystyle {\dot {\varepsilon }}=J\nabla _{\varepsilon }K=J\nabla _{\varepsilon }H+J\nabla _{\varepsilon }\left({\frac {\partial G}{\partial t}}\right)}$$ ${\textstyle J\left(\nabla _{\varepsilon }{\frac {\partial G}{\partial t}}\right)={\frac {\partial \varepsilon }{\partial t}}}$ ${\textstyle MJM^{T}=J}$ ${\textstyle M^{T}JM=J}$ ${\textstyle J\left(\nabla _{\varepsilon }{\frac {\partial G}{\partial t}}\right)={\frac {\partial \varepsilon }{\partial t}}}$

Invariancia de los corchetes de Poisson y Lagrange

Puesto que y donde se utiliza la condición simpléctica en las últimas igualdades, utilizando , se obtienen las igualdades y que implican la invariancia de los corchetes de Poisson y Lagrange. ${\textstyle {\mathcal {P}}_{ij}(\varepsilon )=\{\varepsilon _{i},\varepsilon _{j}\}_{\eta }=(MJM^{T})_{ij}=J_{ij}}$ ${\textstyle {\mathcal {L}}_{ij}(\eta )=[\eta _{i},\eta _{j}]_{\varepsilon }=(M^{T}JM)_{ij}=J_{ij}}$ ${\textstyle \{\varepsilon _{i},\varepsilon _{j}\}_{\varepsilon }=[\eta _{i},\eta _{j}]_{\eta }=J_{ij}}$ ${\textstyle \{\varepsilon _{i},\varepsilon _{j}\}_{\eta }=\{\varepsilon _{i},\varepsilon _{j}\}_{\varepsilon }}$ ${\textstyle [\eta _{i},\eta _{j}]_{\varepsilon }=[\eta _{i},\eta _{j}]_{\eta }}$

Transformación canónica extendida

Relaciones de transformación canónica

Resolviendo para: con varias formas de función generadora, la relación entre K y H queda como , lo que también se aplica para el caso. $${\displaystyle \lambda \left[\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)\right]=\mathbf {P} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}-K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)+{\frac {dG}{dt}}}$$ ${\textstyle {\frac {\partial G}{\partial t}}=K-\lambda H}$ ${\textstyle \lambda =1}$

Todos los resultados presentados a continuación también se pueden obtener reemplazando , y a partir de soluciones conocidas, ya que conserva la forma de las ecuaciones de Hamilton . Por lo tanto, se dice que las transformaciones canónicas extendidas son el resultado de una transformación canónica ( ) y una transformación canónica trivial ( ) que tiene (para el ejemplo dado, que satisface la condición). ^[16] ${\textstyle q\rightarrow {\sqrt {\lambda }}q}$ ${\textstyle p\rightarrow {\sqrt {\lambda }}p}$ ${\textstyle H\rightarrow {\lambda }H}$ ${\textstyle \lambda =1}$ ${\textstyle \lambda \neq 1}$ ${\textstyle MJM^{T}=\lambda J}$ ${\textstyle M={\sqrt {\lambda }}I}$

Utilizando los mismos pasos utilizados previamente en la generalización anterior, en el caso general y conservando la ecuación , las relaciones diferenciales parciales de transformación canónica extendida se obtienen como: ${\textstyle {\frac {\partial G}{\partial t}}=K-\lambda H}$ ${\textstyle J\left(\nabla _{\varepsilon }{\frac {\partial g}{\partial t}}\right)={\frac {\partial \varepsilon }{\partial t}}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {\partial Q_{m}}{\partial p_{n}}}\right)_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t}&=-\lambda \left({\frac {\partial q_{n}}{\partial P_{m}}}\right)_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t}\\\left({\frac {\partial Q_{m}}{\partial q_{n}}}\right)_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t}&=\lambda \left({\frac {\partial p_{n}}{\partial P_{m}}}\right)_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t}\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {\partial P_{m}}{\partial p_{n}}}\right)_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t}&=\lambda \left({\frac {\partial q_{n}}{\partial Q_{m}}}\right)_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t}\\\left({\frac {\partial P_{m}}{\partial q_{n}}}\right)_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t}&=-\lambda \left({\frac {\partial p_{n}}{\partial Q_{m}}}\right)_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t}\end{aligned}}}$$

Condición simpléctica

Siguiendo los mismos pasos para derivar las condiciones simplécticas, como: y $${\displaystyle {\dot {\eta }}=J\nabla _{\eta }H=J(M^{T}\nabla _{\varepsilon }H)}$$ $${\displaystyle {\dot {\varepsilon }}=M{\dot {\eta }}+{\frac {\partial \varepsilon }{\partial t}}=MJM^{T}\nabla _{\varepsilon }H+{\frac {\partial \varepsilon }{\partial t}}}$$

donde usando en su lugar se obtiene: La segunda parte de cada ecuación se cancela. Por lo tanto, la condición para la transformación canónica extendida se convierte en: . ^[17] ${\textstyle {\frac {\partial G}{\partial t}}=K-\lambda H}$ $${\displaystyle {\dot {\varepsilon }}=J\nabla _{\varepsilon }K=\lambda J\nabla _{\varepsilon }H+J\nabla _{\varepsilon }\left({\frac {\partial G}{\partial t}}\right)}$$ ${\textstyle MJM^{T}=\lambda J}$

Corchetes de Poisson y Lagrange

Los corchetes de Poisson se cambian de la siguiente manera: mientras que los corchetes de Lagrange se cambian de la siguiente manera: $${\displaystyle \{u,v\}_{\eta }=(\nabla _{\eta }u)^{T}J(\nabla _{\eta }v)=(M^{T}\nabla _{\varepsilon }u)^{T}J(M^{T}\nabla _{\varepsilon }v)=(\nabla _{\varepsilon }u)^{T}MJM^{T}(\nabla _{\varepsilon }v)=\lambda (\nabla _{\varepsilon }u)^{T}J(\nabla _{\varepsilon }v)=\lambda \{u,v\}_{\varepsilon }}$$

$${\displaystyle [u,v]_{\varepsilon }=(\partial _{u}\varepsilon )^{T}\,J\,(\partial _{v}\varepsilon )=(M\,\partial _{u}\eta )^{T}\,J\,(M\,\partial _{v}\eta )=(\partial _{u}\eta )^{T}\,M^{T}JM\,(\partial _{v}\eta )=\lambda (\partial _{u}\eta )^{T}\,J\,(\partial _{v}\eta )=\lambda [u,v]_{\eta }}$$Por lo tanto, el corchete de Poisson escala por el inverso de mientras que el corchete de Lagrange escala por un factor de . ^[18] ${\textstyle \lambda }$ ${\textstyle \lambda }$

Transformación canónica infinitesimal

Consideremos la transformación canónica que depende de un parámetro continuo , como sigue: ${\displaystyle \alpha }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&Q(q,p,t;\alpha )\quad \quad \quad &Q(q,p,t;0)=q\\&P(q,p,t;\alpha )\quad \quad {\text{with}}\quad &P(q,p,t;0)=p\\\end{aligned}}}$$

Para valores infinitesimales de , las transformaciones correspondientes se denominan transformaciones canónicas infinitesimales , también conocidas como transformaciones canónicas diferenciales. ${\displaystyle \alpha }$

Considere la siguiente función generadora:

${\displaystyle G_{2}(q,P,t)=qP+\alpha G(q,P,t)}$

Puesto que para , tiene la transformación canónica resultante, y , este tipo de función generadora se puede utilizar para la transformación canónica infinitesimal restringiendo a un valor infinitesimal. A partir de las condiciones de los generadores de segundo tipo: Puesto que , cambiando las variables de la función a y despreciando los términos de orden superior de , se obtiene: ^[19] Las transformaciones canónicas infinitesimales también se pueden derivar utilizando la forma matricial de la condición simpléctica. ^[20] ${\displaystyle \alpha =0}$ ${\displaystyle G_{2}=qP}$ ${\displaystyle Q=q}$ ${\displaystyle P=p}$ ${\displaystyle \alpha }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{p}&={\frac {\partial G_{2}}{\partial {q}}}=P+\alpha {\frac {\partial G}{\partial {q}}}(q,P,t)\\{Q}&={\frac {\partial G_{2}}{\partial {P}}}=q+\alpha {\frac {\partial G}{\partial {P}}}(q,P,t)\\\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle P=P(q,p,t;\alpha )}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G(q,p,t)}$ ${\displaystyle \alpha }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{p}&=P+\alpha {\frac {\partial G}{\partial {q}}}(q,p,t)\\{Q}&=q+\alpha {\frac {\partial G}{\partial p}}(q,p,t)\\\end{aligned}}}$$

Transformaciones canónicas activas

En la visión pasiva de las transformaciones, el sistema de coordenadas se modifica sin que cambie el sistema físico, mientras que en la visión activa de la transformación, el sistema de coordenadas se conserva y se dice que el sistema físico sufre transformaciones. Por lo tanto, utilizando las relaciones de las transformaciones canónicas infinitesimales, se dice que el cambio en los estados del sistema bajo la visión activa de la transformación canónica es:

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\delta q=\alpha {\frac {\partial G}{\partial p}}(q,p,t)\quad {\text{and}}\quad \delta p=-\alpha {\frac {\partial G}{\partial q}}(q,p,t),\\\end{aligned}}}$$

o como en forma de matriz. ${\displaystyle \delta \eta =\alpha J\nabla _{\eta }G}$

Para cualquier función , cambia bajo la vista activa de la transformación de acuerdo con: ${\displaystyle u(\eta )}$

$${\displaystyle \delta u=u(\eta +\delta \eta )-u(\eta )=(\nabla _{\eta }u)^{T}\delta \eta =\alpha (\nabla _{\eta }u)^{T}J(\nabla _{\eta }G)=\alpha \{u,G\}.}$$

Considerando el cambio de hamiltonianos en la visión activa , es decir, para un punto fijo, donde se asignan al punto, por la transformación canónica infinitesimal, y cambio similar de variables para a se considera hasta el primer orden de . Por lo tanto, si el hamiltoniano es invariante para transformaciones canónicas infinitesimales, su generador es una constante de movimiento. $${\displaystyle K(Q=q_{0},P=p_{0},t)-H(q=q_{0},p=p_{0},t)=\left(H(q_{0}',p_{0}',t)+{\frac {\partial G_{2}}{\partial t}}\right)-H(q_{0},p_{0},t)=-\delta H+\alpha {\frac {\partial G}{\partial t}}=\alpha \left(\{G,H\}+{\frac {\partial G}{\partial t}}\right)=\alpha {\frac {dG}{dt}}}$$ ${\textstyle (q=q_{0}',p=p_{0}')}$ ${\textstyle (Q=q_{0},P=p_{0})}$ ${\displaystyle G(q,P,t)}$ ${\displaystyle G(q,p,t)}$ ${\displaystyle \alpha }$

Ejemplos de TIC

Evolución del tiempo

Si tomamos y , entonces . Por lo tanto, la aplicación continua de dicha transformación asigna las coordenadas a . Por lo tanto, si el hamiltoniano es invariante en la traslación temporal, es decir, no tiene dependencia temporal explícita, su valor se conserva para el movimiento. ${\displaystyle G(q,p,t)=H(q,p,t)}$ ${\displaystyle \alpha =dt}$ ${\displaystyle \delta \eta =(J\nabla _{\eta }H)dt={\dot {\eta }}dt=d\eta }$ ${\displaystyle \eta (\tau )}$ ${\displaystyle \eta (\tau +t)}$

Traducción

Tomando , y . Por lo tanto, el momento canónico genera un desplazamiento en la coordenada generalizada correspondiente y si el hamiltoniano es invariante de la traslación, el momento es una constante de movimiento. ${\displaystyle G(q,p,t)=p_{k}}$ ${\displaystyle \delta p_{i}=0}$ ${\displaystyle \delta q_{i}=\alpha \delta _{ik}}$

Rotación

Consideremos un sistema ortogonal para un sistema de N partículas:

$${\displaystyle {\begin{array}{l}{\mathbf {q} =\left(x_{1},y_{1},z_{1},\ldots ,x_{n},y_{n},z_{n}\right),}\\{\mathbf {p} =\left(p_{1x},p_{1y},p_{1z},\ldots ,p_{nx},p_{ny},p_{nz}\right).}\end{array}}}$$

Si elegimos el generador como: y el valor infinitesimal de , entonces el cambio en las coordenadas viene dado por x: ${\displaystyle G=L_{z}=\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}p_{iy}-y_{i}p_{ix}\right)}$ ${\displaystyle \alpha =\delta \phi }$

$${\displaystyle {\begin{array}{c}{\delta x_{i}=\{x_{i},G\}\delta \phi =\displaystyle \sum _{j}\{x_{i},x_{j}p_{jy}-y_{j}p_{jx}\}\delta \phi =\displaystyle \sum _{j}(\underbrace {\{x_{i},x_{j}p_{jy}\}} _{=0}-{\{x_{i},y_{j}p_{jx}\}}})\delta \phi \\{=\displaystyle -\sum _{j}y_{j}\underbrace {\{x_{i},p_{jx}\}} _{=\delta _{ij}}\delta \phi =-y_{i}\delta \phi }\end{array}}}$$

y de manera similar para y:

$${\displaystyle {\begin{array}{c}\delta y_{i}=\{y_{i},G\}\delta \phi =\displaystyle \sum _{j}\{y_{i},x_{j}p_{jy}-y_{j}p_{jx}\}\delta \phi =\displaystyle \sum _{j}(\{y_{i},x_{j}p_{jy}\}-\underbrace {\{y_{i},y_{j}p_{jx}\}} _{=0})\delta \phi \\{=\displaystyle \sum _{j}x_{j}\underbrace {\{y_{i},p_{jy}\}} _{=\delta _{ij}}\delta \phi =x_{i}\delta \phi \,,}\end{array}}}$$

mientras que el componente z de todas las partículas no cambia: . ${\textstyle \delta z_{i}=\left\{z_{i},G\right\}\delta \phi =\sum _{j}\left\{z_{i},x_{j}p_{jy}-y_{j}p_{jx}\right\}\delta \phi =0}$

Estas transformaciones corresponden a la rotación sobre el eje z por un ángulo en su aproximación de primer orden. Por lo tanto, la aplicación repetida de la transformación canónica infinitesimal genera una rotación del sistema de partículas sobre el eje z. Si el hamiltoniano es invariante bajo rotación sobre el eje z, el generador, el componente del momento angular a lo largo del eje de rotación, es un invariante del movimiento. ^[20] ${\displaystyle \delta \phi }$

El movimiento como transformación canónica

El movimiento en sí (o, equivalentemente, un cambio en el origen del tiempo) es una transformación canónica. Si y , entonces el principio de Hamilton se cumple automáticamente ya que una trayectoria válida siempre debe satisfacer el principio de Hamilton , independientemente de los puntos finales. ${\displaystyle \mathbf {Q} (t)\equiv \mathbf {q} (t+\tau )}$ ${\displaystyle \mathbf {P} (t)\equiv \mathbf {p} (t+\tau )}$ $${\displaystyle \delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}\left[\mathbf {P} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}-K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)\right]dt=\delta \int _{t_{1}+\tau }^{t_{2}+\tau }\left[\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t+\tau )\right]dt=0}$$ ${\displaystyle (\mathbf {q} (t),\mathbf {p} (t))}$

Ejemplos

• La traslación donde son dos vectores constantes es una transformación canónica. En efecto, la matriz jacobiana es la identidad, que es simpléctica: . ${\displaystyle \mathbf {Q} (\mathbf {q} ,\mathbf {p} )=\mathbf {q} +\mathbf {a} ,\mathbf {P} (\mathbf {q} ,\mathbf {p} )=\mathbf {p} +\mathbf {b} }$ ${\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} }$ ${\displaystyle I^{\text{T}}JI=J}$
• Conjunto y , la transformación donde es una matriz de rotación de orden 2 es canónica. Teniendo en cuenta que las matrices ortogonales especiales obedecen a es fácil ver que el jacobiano es simpléctico. Sin embargo, este ejemplo solo funciona en dimensión 2: es el único grupo ortogonal especial en el que cada matriz es simpléctica. Tenga en cuenta que la rotación aquí actúa sobre y no sobre y de forma independiente, por lo que no son lo mismo que una rotación física de un sistema de coordenadas espaciales ortogonales. ${\displaystyle \mathbf {x} =(q,p)}$ ${\displaystyle \mathbf {X} =(Q,P)}$ ${\displaystyle \mathbf {X} (\mathbf {x} )=R\mathbf {x} }$ ${\displaystyle R\in SO(2)}$ ${\displaystyle R^{\text{T}}R=I}$ ${\displaystyle SO(2)}$ ${\displaystyle (q,p)}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p}$
• La transformación , donde es una función arbitraria de , es canónica. La matriz jacobiana está dada por que es simpléctica. ${\displaystyle (Q(q,p),P(q,p))=(q+f(p),p)}$ ${\displaystyle f(p)}$ ${\displaystyle p}$ $${\displaystyle {\frac {\partial X}{\partial x}}={\begin{bmatrix}1&f'(p)\\0&1\end{bmatrix}}}$$

Descripción matemática moderna

En términos matemáticos, las coordenadas canónicas son todas las coordenadas del espacio de fases ( fibrado cotangente ) del sistema que permiten escribir la forma única canónica hasta una diferencial total ( forma exacta ). El cambio de variable entre un conjunto de coordenadas canónicas y otro es una transformación canónica . El índice de las coordenadas generalizadas q se escribe aquí como un superíndice ( ), no como un subíndice como se hizo anteriormente ( ). El superíndice transmite las propiedades de transformación contravariante de las coordenadas generalizadas y no significa que la coordenada se esté elevando a una potencia. Se pueden encontrar más detalles en el artículo sobre simplectomorfismo . $${\displaystyle \sum _{i}p_{i}\,dq^{i}}$$ ${\displaystyle q^{i}}$ ${\displaystyle q_{i}}$

Historia

La primera aplicación importante de la transformación canónica fue en 1846, por Charles Delaunay , en el estudio del sistema Tierra-Luna-Sol . Este trabajo dio lugar a la publicación de un par de grandes volúmenes con el título Mémoires por la Academia Francesa de Ciencias , en 1860 y 1867.

Véase también

• Simplectomorfismo
• Ecuación de Hamilton-Jacobi
• Teorema de Liouville (hamiltoniano)
• Transformación de Mathieu
• Transformación canónica lineal

Notas

1. Goldstein, Poole y Safko 2007, pág. 370
2. Goldstein, Poole y Safko 2007, págs. 381-384
3. Giacaglia 1972, pág. 8-9
4. Lemos 2018, pág. 255
5. Hand y Finch 1999, pág. 250-251
6. Lanczos 2012, pág. 121
7. Gupta y Gupta 2008, pág. 304
8. Lurie 2002, pág. 337
9. Lurie 2002, págs. 548-550
10. Goldstein, Poole y Safko 2007, pág. 373
11. Johns 2005, pág. 438
12. Lurie 2002, pág. 547
13. Sudarshan y Mukunda 2010, pág. 58
14. Johns 2005, pág. 437-439
15. Sudarshan y Mukunda 2010, págs. 58–60
16. Giacaglia 1972, pág. 18-19
17. Goldstein, Poole y Safko 2007, pág. 383
18. Giacaglia 1972, pág. 16-17
19. Johns 2005, págs. 452-454
20. Hergert, Heiko (10 de diciembre de 2021). «PHY422/820: Mecánica clásica» (PDF) . Archivado (PDF) del original el 22 de diciembre de 2023. Consultado el 22 de diciembre de 2023 .

Referencias

• Goldstein, Herbert ; Poole, Charles P.; Safko, John L. (2007). Mecánica clásica (3.ª ed.). Upper Saddle River, NJ: Pearson [ua] ISBN 978-0-321-18897-7.
• Landau, LD ; Lifshitz, EM (1975) [1939]. Mecánica . Traducido por Bell, SJ ; Sykes, JB (3.ª ed.). Ámsterdam: Elsevier. ISBN 978-0-7506-28969.
• Giacaglia, Georgio Eugenio Oscare (1972). Métodos de perturbación en sistemas no lineales . Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-90054-3. Número de LCCN  72-87714.
• Lanczos, Cornelius (24 de abril de 2012). Los principios variacionales de la mecánica. Courier Corporation. ISBN 978-0-486-13470-3.
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