Teoría de gauge supersimétrica

Teoría de calibre con supersimetría

En física teórica , existen muchas teorías con supersimetría (SUSY) que también tienen simetrías de calibración internas . La teoría de calibración supersimétrica generaliza esta noción.

Teoría de calibre

Una teoría de gauge es una teoría de campo con simetría de gauge. A grandes rasgos, hay dos tipos de simetrías: global y local. Una simetría global es una simetría aplicada uniformemente (en cierto sentido) a cada punto de una variedad . Una simetría local es una simetría que depende de la posición. La simetría de gauge es un ejemplo de simetría local, con la simetría descrita por un grupo de Lie (que describe matemáticamente simetrías continuas ), que en el contexto de la teoría de gauge se denomina el grupo de gauge de la teoría.

La cromodinámica cuántica y la electrodinámica cuántica son ejemplos famosos de teorías de calibre.

Supersimetría

En física de partículas , existen partículas con dos tipos de estadísticas de partículas , bosones y fermiones . Los bosones tienen valores de espín enteros y se caracterizan por la capacidad de tener cualquier número de bosones idénticos ocupando un único punto en el espacio. Por lo tanto, se identifican con fuerzas . Los fermiones tienen valores de espín semienteros y, por el principio de exclusión de Pauli , los fermiones idénticos no pueden ocupar una única posición en el espacio-tiempo. Los campos de bosones y fermiones se interpretan como materia . Por lo tanto, la supersimetría se considera un fuerte candidato para la unificación de la radiación (fuerzas mediadas por bosones) y la materia.

Esta unificación se da mediante un operador (o típicamente muchos operadores), conocido como generador de supercarga o supersimetría, que actúa esquemáticamente como ${\displaystyle Q}$

${\displaystyle Q|{\text{boson}}\rangle =|{\text{fermion}}\rangle }$
${\displaystyle Q|{\text{fermion}}\rangle =|{\text{boson}}\rangle }$

Por ejemplo, el generador de supersimetría puede tomar un fotón como argumento y transformarlo en un fotino y viceversa. Esto sucede a través de la traslación en el espacio (paramétrico). Este superespacio es un espacio vectorial graduado , donde es el espacio de Hilbert bosónico y es el espacio de Hilbert fermiónico. ${\displaystyle {\mathbb {Z} _{2}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {W}}={\mathcal {W}}^{0}\oplus {\mathcal {W}}^{1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {W}}^{0}}$ ${\displaystyle {\mathcal {W}}^{1}}$

Teoría de calibre SUSY

La motivación para una versión supersimétrica de la teoría de gauge puede ser el hecho de que la invariancia de gauge es consistente con la supersimetría. Los primeros ejemplos fueron descubiertos por Bruno Zumino y Sergio Ferrara , y de forma independiente por Abdus Salam y James Strathdee en 1974.

Tanto los fermiones de espín semientero como los bosones de espín entero pueden convertirse en partículas de calibración. Los campos vectoriales de calibración y su supercompañero espinorial pueden estar ubicados en la misma representación del grupo de simetría interna.

Supongamos que tenemos una transformación de calibre , donde es un campo vectorial y es la función de calibre. La principal dificultad en la construcción de una teoría de calibre SUSY es extender la transformación anterior de una manera que sea consistente con las transformaciones SUSY. ${\displaystyle U(1)}$ ${\displaystyle V_{\mu }\rightarrow V_{\mu }+\partial _{\mu }A}$ ${\displaystyle V_{\mu }}$ ${\displaystyle A}$

El calibre de Wess-Zumino (una receta para la fijación de calibres supersimétricos ) proporciona una solución exitosa a este problema. Una vez que se obtiene dicho calibre adecuado, la dinámica de la teoría de calibre SUSY funciona de la siguiente manera: buscamos un lagrangiano que sea invariante bajo las transformaciones de supercalibre (estas transformaciones son una herramienta importante necesaria para desarrollar una versión supersimétrica de una teoría de calibre). Luego podemos integrar el lagrangiano utilizando las reglas de integración de Berezin y así obtener la acción. Lo que conduce a las ecuaciones de movimiento y, por lo tanto, puede proporcionar un análisis completo de la dinámica de la teoría.

N = 1SUSY en 4D (con 4 generadores reales)

En cuatro dimensiones, la supersimetría mínima N = 1 puede escribirse utilizando un superespacio . Este superespacio implica cuatro coordenadas fermiónicas adicionales , que se transforman en un espinor de dos componentes y su conjugado. ${\displaystyle \theta ^{1},\theta ^{2},{\bar {\theta }}^{1},{\bar {\theta }}^{2}}$

Todo supercampo, es decir, un campo que depende de todas las coordenadas del superespacio, puede expandirse con respecto a las nuevas coordenadas fermiónicas. Existe un tipo especial de supercampos, los llamados supercampos quirales , que sólo dependen de las variables θ pero no de sus conjugados (más precisamente, ). Sin embargo, un supercampo vectorial depende de todas las coordenadas. Describe un campo de calibración y su supercompañero , es decir, un fermión de Weyl que obedece a una ecuación de Dirac . ${\displaystyle {\overline {D}}f=0}$

${\displaystyle V=C+i\theta \chi -i{\overline {\theta }}{\overline {\chi }}+{\tfrac {i}{2}}\theta ^{2}(M+iN)-{\tfrac {i}{2}}{\overline {\theta ^{2}}}(M-iN)-\theta \sigma ^{\mu }{\overline {\theta }}v_{\mu }+i\theta ^{2}{\overline {\theta }}\left({\overline {\lambda }}-{\tfrac {i}{2}}{\overline {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\chi \right)-i{\overline {\theta }}^{2}\theta \left(\lambda +{\tfrac {i}{2}}\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }{\overline {\chi }}\right)+{\tfrac {1}{2}}\theta ^{2}{\overline {\theta }}^{2}\left(D+{\tfrac {1}{2}}\Box C\right)}$

V es el supercuerpo vectorial ( prepotencial ) y es real ( V = V ). Los cuerpos del lado derecho son cuerpos componentes.

Las transformaciones de calibre actúan como

${\displaystyle V\to V+\Lambda +{\overline {\Lambda }}}$

donde Λ es cualquier supercampo quiral.

Es fácil comprobar que el supercampo quiral

${\displaystyle W_{\alpha }\equiv -{\tfrac {1}{4}}{\overline {D}}^{2}D_{\alpha }V}$

es invariante de calibre, al igual que su conjugado complejo . ${\displaystyle {\overline {W}}_{\dot {\alpha }}}$

Un calibre covariante no supersimétrico que se utiliza a menudo es el calibre Wess-Zumino . En este caso, C, χ, M y N se establecen en cero. Las simetrías de calibre residuales son transformaciones de calibre del tipo bosónico tradicional.

Un supercampo quiral X con una carga de q se transforma como

${\displaystyle X\to e^{q\Lambda }X,\qquad {\overline {X}}\to e^{q{\overline {\Lambda }}}X}$

Por lo tanto, X e ^{− qV} X es invariante de norma. Aquí, e ^{− qV} se denomina puente , ya que "une" un campo que se transforma bajo Λ solamente con un campo que se transforma bajo Λ solamente.

En términos más generales, si tenemos un grupo de calibración real G que deseamos supersimetrizar, primero tenemos que complejizarlo a G ^c ⋅ e ^{− qV} y luego actúa como compensador de las transformaciones de calibración complejas, absorbiéndolas de hecho y dejando solo las partes reales. Esto es lo que se está haciendo en el grupo de calibración Wess-Zumino.

Superformas diferenciales

Reformulemos todo para que se parezca más a una teoría de calibración de Yang-Mills convencional . Tenemos una simetría de calibración U(1) que actúa sobre el superespacio completo con una conexión de calibración de 1-superforma A. En la base analítica para el espacio tangente, la derivada covariante está dada por . Condiciones de integrabilidad para supercuerpos quirales con la restricción quiral ${\displaystyle D_{M}=d_{M}+iqA_{M}}$

${\displaystyle {\overline {D}}_{\dot {\alpha }}X=0}$

Déjanos con

${\displaystyle \left\{{\overline {D}}_{\dot {\alpha }},{\overline {D}}_{\dot {\beta }}\right\}=F_{{\dot {\alpha }}{\dot {\beta }}}=0.}$

Una restricción similar para los supercampos antiquirales nos deja con F _αβ = 0 . Esto significa que podemos fijar el calibre o A _α = 0 pero no ambos simultáneamente. Llamemos a los dos esquemas de fijación de calibre diferentes I y II respectivamente. En el calibre I y en el calibre II, d _α X = 0 . Ahora, el truco es usar dos calibres diferentes simultáneamente; calibre I para supercampos quirales y calibre II para supercampos antiquirales. Para hacer un puente entre los dos calibres diferentes, necesitamos una transformación de calibre. Llamémosla e ^{− V} (por convención). Si estuviéramos usando un calibre para todos los campos, X X sería invariante de calibre. Sin embargo, necesitamos convertir el calibre I en calibre II, transformando X en ( e ^{− V} ) ^q X . Entonces, la cantidad invariante de calibre es X e ^{− qV} X . ${\displaystyle A_{\dot {\alpha }}=0}$ ${\displaystyle {\overline {d}}_{\dot {\alpha }}X=0}$

En el calibre I, todavía tenemos el calibre residual e ^Λ donde y en el calibre II, tenemos el calibre residual e ^Λ que satisface d _α Λ = 0 . Bajo los calibres residuales, el puente se transforma como ${\displaystyle {\overline {d}}_{\dot {\alpha }}\Lambda =0}$

${\displaystyle e^{-V}\to e^{-{\overline {\Lambda }}-V-\Lambda }.}$

Sin ninguna restricción adicional, el puente e ^{− V} no proporcionaría toda la información sobre el campo de calibración. Sin embargo, con la restricción adicional , solo hay un campo de calibración único que es compatible con las transformaciones de calibración módulo puente. Ahora, el puente proporciona exactamente el mismo contenido de información que el campo de calibración. ${\displaystyle F_{{\dot {\alpha }}\beta }}$

Teorías con 8 o más generadores SUSY (N > 1)

En teorías con mayor supersimetría (y quizás mayor dimensión), un supercampo vectorial típicamente describe no sólo un campo de calibre y un fermión de Weyl sino también al menos un campo escalar complejo .

Ejemplos

Teorías de calibración supersimétricas puras

• N = 1 Súper Yang-Mills
• N = 2 Súper Yang-Mills
• N = 4 Súper Yang-Mills

Teorías de gauge supersimétricas con materia

• Súper QCD
• MSSM (Modelo estándar supersimétrico mínimo)
• NMSSM (modelo estándar supersimétrico próximo al mínimo)

Véase también

• superpotencial
• Término D
• Término F
• supercampo actual
• Mecánica cuántica supersimétrica

Referencias

• Stephen P. Martin. Introducción a la supersimetría , arXiv :hep-ph/9709356.
• Prakash, Nirmala. Perspectiva matemática de la física teórica: un viaje desde los agujeros negros a las supercuerdas, World Scientific (2003).
• Kulshreshtha, DS; Mueller-Kirsten, HJW (1991). "Cuantización de sistemas con restricciones: el método de Faddeev-Jackiw frente al método de Dirac aplicado a supercampos". Physical Review D . Phys. Rev. D43, 3376-3383. 43 (10): 3376–3383. Bibcode :1991PhRvD..43.3376K. doi :10.1103/PhysRevD.43.3376.