Secuencia de Sheffer

Tipo de secuencia polinómica

En matemáticas , una sucesión de Sheffer o potenciaoide es una sucesión polinómica , es decir, una secuencia ( p _n ( x ): n = 0, 1, 2, 3, ...) de polinomios en la que el índice de cada polinomio es igual a su grado , satisfaciendo condiciones relacionadas con el cálculo umbral en combinatoria . Reciben su nombre en honor a Isador M. Sheffer .

Definición

Fijar una secuencia polinómica ( p _n ). Definir un operador lineal Q sobre polinomios en x mediante $${\displaystyle Qp_{n}(x)=np_{n-1}(x)\,.}$$

Esto determina Q en todos los polinomios. La secuencia polinómica p _n es una secuencia de Sheffer si el operador lineal Q que acabamos de definir es equivalente al desplazamiento ; dicho Q es entonces un operador delta . Aquí, definimos un operador lineal Q en polinomios como equivalente al desplazamiento si, siempre que f ( x ) = g ( x + a ) = T _a g ( x ) es un "desplazamiento" de g ( x ), entonces ( Qf )( x ) = ( Qg )( x + a ); es decir, Q conmuta con cada operador de desplazamiento : T _a Q = QT _a .

Propiedades

El conjunto de todas las secuencias de Sheffer es un grupo bajo la operación de composición umbral de secuencias polinómicas, definidas de la siguiente manera. Supóngase que (  p _n (x) : n = 0, 1, 2, 3, ... ) y (  q _n (x) : n = 0, 1, 2, 3, ... ) son secuencias polinómicas, dadas por $${\displaystyle p_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{n,k}x^{k}\ {\mbox{and}}\ q_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}b_{n,k}x^{k}.}$$

Entonces la composición umbral es la secuencia polinómica cuyo término n es (el subíndice n aparece en p _n , ya que éste es el término n de esa secuencia, pero no en q , ya que éste se refiere a la secuencia como un todo y no a uno de sus términos). ${\displaystyle p\circ q}$ $${\displaystyle (p_{n}\circ q)(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{n,k}q_{k}(x)=\sum _{0\leq \ell \leq k\leq n}a_{n,k}b_{k,\ell }x^{\ell }}$$

El elemento identidad de este grupo es la base monomial estándar $${\displaystyle e_{n}(x)=x^{n}=\sum _{k=0}^{n}\delta _{n,k}x^{k}.}$$

Dos subgrupos importantes son el grupo de secuencias de Appell , que son aquellas secuencias para las que el operador Q es mera diferenciación , y el grupo de secuencias de tipo binomial , que son aquellas que satisfacen la identidad Una secuencia de Sheffer (  p _n ( x ): n  = 0, 1, 2, ...) es de tipo binomial si y sólo si tanto y $${\displaystyle p_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}p_{k}(x)p_{n-k}(y).}$$ $${\displaystyle p_{0}(x)=1\,}$$ $${\displaystyle p_{n}(0)=0{\mbox{ for }}n\geq 1.\,}$$

El grupo de sucesiones de Appell es abeliano ; el grupo de sucesiones de tipo binomial no lo es. El grupo de sucesiones de Appell es un subgrupo normal ; el grupo de sucesiones de tipo binomial no lo es. El grupo de sucesiones de Sheffer es un producto semidirecto del grupo de sucesiones de Appell y el grupo de sucesiones de tipo binomial. De ello se deduce que cada clase lateral del grupo de sucesiones de Appell contiene exactamente una sucesión de tipo binomial. Dos sucesiones de Sheffer están en la misma clase lateral si y sólo si el operador Q descrito anteriormente – llamado el " operador delta " de esa sucesión – es el mismo operador lineal en ambos casos. (Generalmente, un operador delta es un operador lineal equivalente al desplazamiento sobre polinomios que reduce el grado en uno. El término se debe a F. Hildebrandt.)

Si s _n ( x ) es una secuencia de Sheffer y p _n ( x ) es la única secuencia de tipo binomial que comparte el mismo operador delta, entonces $${\displaystyle s_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}p_{k}(x)s_{n-k}(y).}$$

A veces, el término secuencia de Sheffer se define como una secuencia que guarda esta relación con alguna secuencia de tipo binomial. En particular, si (  s _n ( x ) ) es una secuencia de Appell, entonces $${\displaystyle s_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}s_{n-k}(y).}$$

La secuencia de polinomios de Hermite , la secuencia de polinomios de Bernoulli y los monomios ( x ⁿ  : n = 0, 1, 2, ...) son ejemplos de secuencias de Appell.

Una secuencia de Sheffer p _n se caracteriza por su función generadora exponencial donde A y B son series de potencias ( formales ) en t . Las secuencias de Sheffer son, por lo tanto, ejemplos de polinomios de Appell generalizados y, por lo tanto, tienen una relación de recurrencia asociada . $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {p_{n}(x)}{n!}}t^{n}=A(t)\exp(xB(t))\,}$$

Ejemplos

Ejemplos de secuencias polinómicas que son secuencias de Sheffer incluyen:

• Los polinomios de Abel ;
• Los polinomios de Bernoulli ;
• El polinomio de Euler ;
• Los polinomios factoriales centrales;
• Los polinomios de Hermite ;
• Los polinomios de Laguerre ;
• Los monomios ( x ⁿ  : n = 0, 1, 2, ... );
• Los polinomios de Mott ;
• Los polinomios de Bernoulli del segundo tipo ;
• Los factoriales ascendentes y descendentes ;
• Los polinomios de Touchard ;
• Los polinomios de Mittag-Leffler ;

Referencias

• Rota, G.-C. ; Kahaner, D.; Odlyzko, A. (junio de 1973). "Sobre los fundamentos de la teoría combinatoria VIII: cálculo de operadores finitos". Revista de análisis matemático y aplicaciones . 42 (3): 684–750. doi : 10.1016/0022-247X(73)90172-8 .Reimpreso en la siguiente referencia.
• Rota, G.-C .; Doubilet, P.; Greene, C.; Kahaner, D.; Odlyzko, A.; Stanley, R. (1975). Cálculo de operadores finitos . Academic Press. ISBN 0-12-596650-4.
• Sheffer, IM (1939). "Algunas propiedades de conjuntos polinómicos de tipo cero". Duke Mathematical Journal . 5 (3): 590–622. doi :10.1215/S0012-7094-39-00549-1.
• Roman, Steven (1984). El cálculo umbral. Matemáticas puras y aplicadas. Vol. 111. Londres: Academic Press Inc. [Harcourt Brace Jovanovich Publishers]. ISBN 978-0-12-594380-2.Sr. 0741185  .Reimpreso por Dover, 2005.

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Secuencia de Sheffer". MathWorld .