Probabilidad condicional regular

En teoría de la probabilidad , la probabilidad condicional regular es un concepto que formaliza la noción de condicionamiento del resultado de una variable aleatoria . La distribución de probabilidad condicional resultante es una familia parametrizada de medidas de probabilidad denominada núcleo de Markov .

Definición

Distribución de probabilidad condicional

Considere dos variables aleatorias . La distribución de probabilidad condicional de Y dado X es una función de dos variables. ${\displaystyle X,Y:\Omega \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \kappa _{Y\mid X}:\mathbb {R} \times {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )\to [0,1]}$

Si la variable aleatoria X es discreta

${\displaystyle \kappa _{Y\mid X}(x,A)=P(Y\in A\mid X=x)={\begin{cases}{\frac {P(Y\in A,X=x)}{P(X=x)}}&{\text{ if }}P(X=x)>0\\[3pt]{\text{arbitrary value}}&{\text{ otherwise}}.\end{cases}}}$

Si las variables aleatorias X , Y son continuas con densidad . ${\displaystyle f_{X,Y}(x,y)}$

${\displaystyle \kappa _{Y\mid X}(x,A)={\begin{cases}{\frac {\int _{A}f_{X,Y}(x,y)\,\mathrm {d} y}{\int _{\mathbb {R} }f_{X,Y}(x,y)\mathrm {d} y}}&{\text{ if }}\int _{\mathbb {R} }f_{X,Y}(x,y)\,\mathrm {d} y>0\\[3pt]{\text{arbitrary value}}&{\text{ otherwise}}.\end{cases}}}$

Se puede dar una definición más general en términos de expectativa condicional . Consideremos una función que satisface ${\displaystyle e_{Y\in A}:\mathbb {R} \to [0,1]}$

${\displaystyle e_{Y\in A}(X(\omega ))=\operatorname {E} [1_{Y\in A}\mid X](\omega )}$

para casi todos . Entonces la distribución de probabilidad condicional está dada por ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \kappa _{Y\mid X}(x,A)=e_{Y\in A}(x).}$

Al igual que con la expectativa condicional, esto se puede generalizar aún más al condicionamiento en un álgebra sigma . En ese caso, la distribución condicional es una función : ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \Omega \times {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )\to [0,1]}$

${\displaystyle \kappa _{Y\mid {\mathcal {F}}}(\omega ,A)=\operatorname {E} [1_{Y\in A}\mid {\mathcal {F}}]}$

Regularidad

Para trabajar con , es importante que sea regular , es decir: ${\displaystyle \kappa _{Y\mid X}}$

1. Para casi todos los x , es una medida de probabilidad ${\displaystyle A\mapsto \kappa _{Y\mid X}(x,A)}$
2. Para todo A , es una función medible ${\displaystyle x\mapsto \kappa _{Y\mid X}(x,A)}$

En otras palabras, es un núcleo de Markov . ${\displaystyle \kappa _{Y\mid X}}$

La segunda condición se cumple de manera trivial, pero la prueba de la primera es más compleja. Se puede demostrar que si Y es un elemento aleatorio en un espacio de Radon S , existe un que satisface la primera condición. ^[1] Es posible construir espacios más generales donde no existe una distribución de probabilidad condicional regular. ^[2] ${\displaystyle \Omega \to S}$ ${\displaystyle \kappa _{Y\mid X}}$

Relación con la expectativa condicional

Para variables aleatorias discretas y continuas, la expectativa condicional se puede expresar como

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [Y\mid X=x]&=\sum _{y}y\,P(Y=y\mid X=x)\\\operatorname {E} [Y\mid X=x]&=\int y\,f_{Y\mid X}(x,y)\,\mathrm {d} y\end{aligned}}}$

donde es la densidad condicional de Y dado X. ${\displaystyle f_{Y\mid X}(x,y)}$

Este resultado se puede extender para medir la expectativa condicional teórica utilizando la distribución de probabilidad condicional regular:

${\displaystyle \operatorname {E} [Y\mid X](\omega )=\int y\,\kappa _{Y\mid \sigma (X)}(\omega ,\mathrm {d} y).}$

Definición formal

Sea un espacio de probabilidad , y sea una variable aleatoria , definida como una función medible de Borel desde a su espacio de estados . Se debe pensar en como una forma de "desintegrar" el espacio muestral en . Usando el teorema de desintegración de la teoría de la medida, nos permite "desintegrar" la medida en una colección de medidas, una para cada . Formalmente, una probabilidad condicional regular se define como una función llamada "probabilidad de transición", donde: ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ ${\displaystyle T:\Omega \rightarrow E}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle (E,{\mathcal {E}})}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \{T^{-1}(x)\}_{x\in E}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle x\in E}$ ${\displaystyle \nu :E\times {\mathcal {F}}\rightarrow [0,1],}$

• Para cada , es una medida de probabilidad en . Por lo tanto, proporcionamos una medida para cada . ${\displaystyle x\in E}$ ${\displaystyle \nu (x,\cdot )}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle x\in E}$
• Para todo , (una aplicación ) es -medible, y ${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \nu (\cdot ,A)}$ ${\displaystyle E\to [0,1]}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$
• Para todos y todas ^[3] ${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {E}}}$

${\displaystyle P{\big (}A\cap T^{-1}(B){\big )}=\int _{B}\nu (x,A)\,(P\circ T^{-1})(\mathrm {d} x)}$

donde es la medida de empuje hacia adelante de la distribución del elemento aleatorio , es decir, el soporte de . Específicamente, si tomamos , entonces , y así ${\displaystyle P\circ T^{-1}}$ ${\displaystyle T_{*}P}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle x\in \operatorname {supp} T,}$ ${\displaystyle T_{*}P}$ ${\displaystyle B=E}$ ${\displaystyle A\cap T^{-1}(E)=A}$

${\displaystyle P(A)=\int _{E}\nu (x,A)\,(P\circ T^{-1})(\mathrm {d} x),}$

donde se puede denotar, utilizando términos más familiares . ${\displaystyle \nu (x,A)}$ ${\displaystyle P(A\ |\ T=x)}$

Definición alternativa

Consideremos un espacio de Radon (que es una medida de probabilidad definida en un espacio de Radon dotado del álgebra sigma de Borel) y una variable aleatoria de valor real T . Como se ha comentado anteriormente, en este caso existe una probabilidad condicional regular con respecto a T . Además, podemos definir alternativamente la probabilidad condicional regular para un evento A dado un valor particular t de la variable aleatoria T de la siguiente manera: ${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle P(A\mid T=t)=\lim _{U\supset \{T=t\}}{\frac {P(A\cap U)}{P(U)}},}$

donde el límite se toma sobre la red de vecindarios abiertos U de t a medida que se hacen más pequeños con respecto a la inclusión del conjunto . Este límite se define si y solo si el espacio de probabilidad es Radon , y solo en el apoyo de T , como se describe en el artículo. Esta es la restricción de la probabilidad de transición al apoyo de  T. Para describir este proceso de limitación rigurosamente:

Para cada existe un entorno abierto U del evento { T  =  t }, tal que para cada V abierto con ${\displaystyle \varepsilon >0,}$ ${\displaystyle \{T=t\}\subset V\subset U,}$

${\displaystyle \left|{\frac {P(A\cap V)}{P(V)}}-L\right|<\varepsilon ,}$

¿Dónde está el límite? ${\displaystyle L=P(A\mid T=t)}$

Véase también

• Condicionamiento (probabilidad)
• Teorema de desintegración
• Punto adherente
• Punto límite

Referencias

1. Klenke, Achim. Teoría de la probabilidad: un curso completo (Segunda edición). Londres. ISBN 978-1-4471-5361-0.
2. Faden, AM, 1985. La existencia de probabilidades condicionales regulares: condiciones necesarias y suficientes. The Annals of Probability , 13(1), pp. 288–298.
3. D. Leao Jr. y otros. Probabilidad condicional regular, desintegración de probabilidad y espacios de radón. Proyecciones. vol. 23, No. 1, págs. 15–29, mayo de 2004, Universidad Católica del Norte, Antofagasta, Chile PDF

Enlaces externos

• Probabilidad condicional regular en PlanetMath