Loterías máximas

Las loterías máximas son una regla de votación de torneo que elige al candidato preferido por la mayoría, si existe, ^[1] y, en caso contrario, elige a un candidato del conjunto preferido por la mayoría mediante un procedimiento de votación aleatorio . ^[1] El método selecciona la distribución de probabilidad (o combinación lineal ) de candidatos que una mayoría de votantes preferiría a cualquier otro. ^[1]

Las loterías máximas satisfacen una amplia gama de propiedades deseables, incluido el cumplimiento de todos los axiomas de la regla de la mayoría en el sentido más estricto: eligen al ganador de Condorcet con probabilidad 1 ^[1] y nunca eligen candidatos fuera del conjunto de Smith . ^[1] Además, satisfacen el refuerzo , ^[2] la participación , ^[3] y la independencia de los clones , ^[2] y son débilmente resistentes a las estrategias de grupo (ver más abajo). La función de bienestar social que encabeza las loterías máximas se caracteriza únicamente por la independencia de Arrow de alternativas irrelevantes y la eficiencia de Pareto . ^[4]

Las loterías máximas no satisfacen la noción estándar de estrategia a prueba, como lo muestra el teorema de Gibbard . Las loterías máximas tampoco tienen probabilidades monótonas , es decir, es posible que al aumentar el rango de un candidato disminuya su probabilidad de ganar. ^[5]

El soporte de loterías máximas, que se conoce como el conjunto esencial ^[6] o elconjunto bipartidista , ha sido estudiado en detalle.^[7]^[8]

Historia

Las loterías máximas fueron propuestas por primera vez por el matemático y científico social francés Germain Kreweras en 1965 ^[9] y popularizadas por Peter Fishburn . ^[1]

Desde entonces, han sido redescubiertos varias veces por economistas, ^[7] matemáticos, ^[1]^[10] politólogos, filósofos, ^[11] e informáticos. ^[12]

También han aparecido ideas similares en el estudio del aprendizaje por refuerzo ^[13] y en la biología evolutiva para explicar la multiplicidad de especies coexistentes. ^[14]

Preferencias colectivas sobre las loterías

El insumo de este sistema de votación consiste en las preferencias ordinales de los agentes sobre los resultados (no loterías sobre alternativas), pero se puede construir una relación en el conjunto de loterías de la siguiente manera: si y son loterías sobre alternativas, si el valor esperado de el margen de victoria de un resultado seleccionado con distribución en una votación directa frente a un resultado seleccionado con distribución es positivo. En otras palabras, si es más probable que un votante seleccionado al azar prefiera las alternativas muestreadas a la alternativa muestreada que viceversa. ^[4] Si bien esta relación no es necesariamente transitiva, siempre contiene al menos un elemento maximal. $p$ $q$ $p\succ q$ $p$ $q$ $p\succ q$ $p$ $q$

Es posible que existan varias loterías máximas como resultado de empates. Sin embargo, la lotería máxima es única siempre que un número impar de votantes exprese preferencias estrictas. ^[15] Según el mismo argumento, el conjunto bipartidista se define de forma única al tomar el apoyo de todas las loterías máximas que resuelven un juego de torneo. ^[5]

Interpretación estratégica

Las loterías máximas son equivalentes a las estrategias maximin mixtas (o equilibrios de Nash ) del juego simétrico de suma cero dado por los márgenes mayoritarios por pares. Como tales, tienen una interpretación natural en términos de competencia electoral entre dos partidos políticos. ^[dieciséis]

Las loterías máximas satisfacen varias propiedades notables de resistencia a la estrategia, como eliminar la posibilidad de que un votante pueda, al informar erróneamente sus preferencias, obtener una lotería que estocásticamente domine a otra. ^[17]^[18]

Ejemplo

Supongamos que hay cinco votantes que tienen las siguientes preferencias sobre tres alternativas:

2 votantes: $a\succ b\succ c$
2 votantes: $b\succ c\succ a$
1 votante: $c\succ a\succ b$

Las preferencias por pares de los votantes se pueden representar en la siguiente matriz simétrica sesgada , donde la entrada para fila y columna denota el número de votantes que prefieren menos el número de votantes que prefieren . $x$ $y$ $x$ $y$ $y$ $x$

${\begin{matrix}{\begin{matrix}&&a\quad &b\quad &c\quad \\\end{matrix}}\\{\begin{matrix}a\\b\\c\\\end{matrix}}{\begin{pmatrix}0&1&-1\\-1&0&3\\1&-3&0\\\end{pmatrix}}\end{matrix}}$

Esta matriz puede interpretarse como un juego de suma cero y admite un equilibrio de Nash único (o estrategia minimax ) donde , , . Por definición, esta es también la lotería máxima única del perfil de preferencia anterior. El ejemplo fue elegido cuidadosamente para no tener un ganador Condorcet . Muchos perfiles de preferencia admiten un ganador de Condorcet, en cuyo caso la lotería máxima única asignará probabilidad 1 al ganador de Condorcet. $p$ $p(a)=3/5$ $p(b)=1/5$ $p(c)=1/5$

Referencias

^ abcdefg PC Fishburn. Elección social probabilística basada en comparaciones de votación simples . Revisión de estudios económicos, 51(4):683–692, 1984.
^ ab F. Brandl, F. Brandt y HG Seedig. Elección social probabilística consistente. Econométrica. 84(5), páginas 1839-1880, 2016.
^ F. Brandl, F. Brandt y J. Hofbauer. La maximización del bienestar atrae la participación. Juegos y comportamiento económico. 14, páginas 308-314, 2019.
^ ab F. Brandl y F. Brandt. Agregación arroviana de preferencias convexas. Econométrica. 88(2), páginas 799-844, 2020.
^ ab Laslier, J.-F. Soluciones de torneos y votación mayoritaria Springer-Verlag, 1997.
^ B. Dutta y J.-F. Laslier. Funciones de comparación y correspondencias de elección . Elección social y bienestar, 16: 513–532, 1999.
^ ab G. Laffond, J.-F. Laslier y M. Le Breton. El conjunto bipartidista de un juego de torneo . Juegos y comportamiento económico, 5(1):182–201, 1993.
^ F. Brandt, M. Brill, HG Seedig y W. Suksompong. Sobre la estructura de soluciones de torneos estables . Teoría económica, 65(2):483–507, 2018.
^ G. Kreweras. Agregación de órdenes de preferencia . En Matemáticas y ciencias sociales I: Actas de los seminarios de Menthon-Saint-Bernard, Francia (1 a 27 de julio de 1960) y de Gösing, Austria (3 a 27 de julio de 1962), páginas 73 a 79, 1965.
^ DC Fisher y J. Ryan. Juegos de torneo y torneos positivos . Revista de teoría de grafos, 19(2):217–236, 1995.
^ DS Felsenthal y M. Machover. ¿Después de dos siglos debería aplicarse el procedimiento de votación de Condorcet? Ciencias del comportamiento, 37(4):250–274, 1992.
^ RL Rivest y E. Shen. Un sistema óptimo de votación preferencial de un solo ganador basado en la teoría de juegos. En Actas del 3er Taller Internacional sobre Elección Social Computacional, páginas 399–410, 2010.
^ B. Laslier y J.-F. Laslier. Aprendizaje reforzado a partir de comparaciones: tres alternativas son suficientes, dos no Annals of Applied Probability 27(5): 2907–2925, 2017.
^ Jacopo Grilli, György Barabás, Matthew J. Michalska-Smith y Stefano Allesina. Las interacciones de orden superior estabilizan la dinámica en modelos de redes competitivas Nature 548: 210-214, 2017.
^ Gilbert Laffond, Jean-François Laslier y Michel Le Breton Un teorema sobre juegos simétricos de suma cero con dos jugadores Journal of Economic Theory 72: 426–431, 1997.
^ Laslier, J.-F. Interpretación de estrategias electorales mixtas Social Choice and Welfare 17: páginas 283–292, 2000.
^ H. Aziz, F. Brandt y M Brill. Sobre el equilibrio entre eficiencia económica y eficacia estratégica. Juegos y comportamiento económico. 110, páginas 1-18, 2018.
^ Brandl, Florian; Brandt, Félix; Stricker, cristiano (1 de enero de 2022). "Una comparación analítica y experimental de esquemas de lotería máxima". Elección social y bienestar . 58 (1): 5–38. doi :10.1007/s00355-021-01326-x. hdl : 10419/286729 . ISSN 1432-217X.

enlaces externos

vote.ml (sitio web para calcular loterías máximas)
Pnyx: agregación de preferencias prácticas (herramienta de votación que, entre otros métodos, ofrece loterías máximas)