Función zeta aritmética

En matemáticas , la función zeta aritmética es una función zeta asociada a un esquema de tipo finito sobre números enteros . La función zeta aritmética generaliza la función zeta de Riemann y la función zeta de Dedekind a dimensiones superiores. La función aritmética zeta es uno de los objetos más fundamentales de la teoría de números .

Definición

La función zeta aritmética $ζ X (s)$ está definida por un producto de Euler análogo a la función zeta de Riemann :

{\zeta _{X}(s)}=\prod _{x}{\frac {1}{1-N(x)^{-s}}},

donde el producto se toma sobre todos los puntos cerrados $x$ del esquema $X$ . De manera equivalente, el producto está sobre todos los puntos cuyo campo residual es finito. La cardinalidad de este campo se denota $N (x)$ .

Ejemplos y propiedades

Variedades en un campo finito

Si $X$ es el espectro de un campo finito con $q$ elementos, entonces

\zeta _{X}(s)={\frac {1}{1-q^{-s}}}.

Para una variedad X sobre un campo finito, se sabe mediante la fórmula de trazas de Grothendieck que

\zeta _ {X}(s)=Z(X,q^{-s})

donde es una función racional (es decir, un cociente de polinomios). $Z(X,t)$

Dadas dos variedades X e Y en un campo finito, la función zeta de está dada por $X\veces Y$

Z(X,t)\star Z(Y,t)=Z(X\times Y,t),

donde denota la multiplicación en el anillo de los vectores de Witt de los números enteros. ^[1] ${\displaystyle\estrella}$ $W(\mathbf {Z} )$

Anillo de números enteros

Si $X$ es el espectro del anillo de números enteros, entonces $ζ X (s)$ es la función zeta de Riemann. De manera más general, si $X$ es el espectro del anillo de números enteros de un campo numérico algebraico, entonces $ζ X (s)$ es la función zeta de Dedekind .

Funciones Zeta de uniones disjuntas

La función zeta de los espacios afines y proyectivos sobre un esquema $X$ viene dada por

{\begin{alineado}\zeta _{\mathbf {A} ^{n}(X)}(s)&=\zeta _{X}(sn)\\\zeta _{\mathbf {P } ^{n}(X)}(s)&=\prod _{i=0}^{n}\zeta _{X}(si)\end{aligned}}

La última ecuación se puede deducir de la primera usando que, para cualquier $X$ que sea la unión disjunta de un subesquema cerrado y abierto $U$ y $V$ , respectivamente,

\zeta _{X}(s)=\zeta _{U}(s)\zeta _{V}(s).

De manera aún más general, una fórmula similar es válida para infinitas uniones disjuntas. En particular, esto muestra que la función zeta de $X$ es el producto de los de la reducción de $X$ módulo de los primos $p$ :

\zeta _ {X}(s)=\prod _ {p}\zeta _ {X_ {p}}(s).

Esta expresión que abarca cada número primo a veces se denomina producto de Euler y cada factor se denomina factor de Euler. En muchos casos de interés, la fibra genérica $X Q$ es lisa . Entonces, sólo un número finito $de X p$ son singulares ( mala reducción ). Para casi todos los números primos, es decir, cuando X $tiene$ una buena reducción, se sabe que el factor de Euler concuerda con el factor correspondiente de la función zeta de Hasse-Weil de $X Q.$ Por tanto, estas dos funciones están estrechamente relacionadas.

Principales conjeturas

Hay una serie de conjeturas sobre el comportamiento de la función zeta de un esquema equidimensional regular irreducible $X$ (de tipo finito sobre los números enteros). Muchas (pero no todas) de estas conjeturas generalizan el caso unidimensional de teoremas bien conocidos sobre la función zeta de Euler-Riemann-Dedekind.

No es necesario que el esquema sea plano sobre $Z$ , en este caso es un esquema de tipo finito sobre algún $F p$ . Esto se denomina caso $p$ característico a continuación. En el último caso, muchas de estas conjeturas (con la excepción más notable de la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer, es decir, el estudio de valores especiales) son conocidas. Se sabe muy poco sobre esquemas que son planos sobre $Z$ y de dimensión dos o superior.

Continuación meromórfica y ecuación funcional.

Hasse y Weil conjeturaron que ζ $X (s) tiene$ una continuación meromórfica en el plano complejo y satisface una ecuación funcional con respecto a $s \to n - s$ donde $n$ es la dimensión absoluta de $X.$

Esto se demuestra para $n = 1$ y algunos casos muy especiales cuando $n > 1$ para esquemas planos sobre $Z$ y para todo $n$ en característica positiva. Es una consecuencia de las conjeturas de Weil (más precisamente, la hipótesis de Riemann parte de ellas) que la función zeta tiene una continuación meromórfica hasta . $\mathrm {Re} (s)>n-{\tfrac {1}{2}}$

La hipótesis generalizada de Riemann

Según la hipótesis de Riemann generalizada, se conjetura que los ceros de $ζ X (s) se encuentran dentro de la franja crítica$ $0 \leq Re(s) \leq n$ se encuentran en las líneas verticales $Re(s) = 1/2, 3/2, ..$ y los polos de $ζ X (s)$ dentro de la franja crítica $0 \leq Re(s) \leq n$ se encuentran en las líneas verticales $Re(s) = 0, 1, 2,$ ... $.$

Esto fue demostrado ( Emil Artin , Helmut Hasse , André Weil , Alexander Grothendieck , Pierre Deligne ) en característica positiva para todo $n$ . No está demostrado para ningún esquema que sea plano sobre $Z.$ La hipótesis de Riemann es un caso parcial de la Conjetura 2.

Órdenes polares

Sujeto a la continuación analítica, se conjetura que el orden del cero o polo y el residuo de $ζ X (s)$ en puntos enteros dentro de la franja crítica es expresable mediante importantes invariantes aritméticos de $X.$ Un argumento debido a Serre basado en las propiedades elementales anteriores y la normalización de Noether muestra que la función zeta de $X$ tiene un polo en $s = n$ cuyo orden es igual al número de componentes irreducibles de $X$ con dimensión máxima. ^[2] En segundo lugar, Tate conjeturó ^[3]

\mathrm {ord} _{s=n-1}\zeta _{X}(s)=rk{\mathcal {O}}_{X}^{\times }(X)-rk\mathrm {Foto} (X)

es decir, el orden de los polos se puede expresar mediante el rango de los grupos de funciones regulares invertibles y el grupo Picard . La conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer es un caso parcial de esta conjetura. De hecho, esta conjetura de Tate equivale a una generalización de Birch y Swinnerton-Dyer.

De manera más general, conjeturó Soulé ^[4]

\mathrm {ord} _{s=nm}\zeta _{X}(s)=-\sum _{i}(-1)^{i}rkK_{i}(X)^{(m )}

El lado derecho denota los espacios propios de Adams de la teoría K algebraica de $X.$ Estos rangos son finitos según la conjetura de Bass .

Estas conjeturas se conocen cuando $n = 1$ , es decir, el caso de anillos numéricos y curvas sobre campos finitos. En cuanto a $n > 1$ , se han demostrado casos parciales de la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer, pero incluso en características positivas la conjetura permanece abierta.

Métodos y teorías.

La función aritmética zeta de un esquema aritmético equidimensional conectado regular de dimensión de Kronecker $n$ se puede factorizar en el producto de $L$ -factores adecuadamente definidos y un factor auxiliar. Por lo tanto, los resultados de las funciones $L$ implican resultados correspondientes para las funciones zeta aritméticas. Sin embargo, todavía hay muy pocos resultados probados sobre los factores $L$ de los esquemas aritméticos en característica cero y dimensiones 2 y superiores. Ivan Fesenko inició ^[5] una teoría que estudia las funciones aritméticas zeta directamente, sin trabajar con sus factores $L.$ Es una generalización de dimensiones superiores de la tesis de Tate , es decir, utiliza grupos Adele superiores , integrales zeta superiores y objetos que provienen de la teoría de campos de clases superiores . En esta teoría, la continuación meromórfica y la ecuación funcional de los modelos regulares adecuados de curvas elípticas sobre campos globales están relacionadas con la propiedad de periodicidad media de una función límite. ^[6] En su trabajo conjunto con M. Suzuki y G. Ricotta se propone una nueva correspondencia en teoría de números, entre las funciones aritméticas zeta y las funciones periódicas medias en el espacio de funciones suaves sobre la recta real de no más que crecimiento exponencial. . ^[7] Esta correspondencia está relacionada con la correspondencia de Langlands . Otras dos aplicaciones de la teoría de Fesenko son los polos de la función zeta de modelos propios de curvas elípticas sobre campos globales y el valor especial en el punto central. ^[8]

Referencias

^ Ramachandran, Niranjan (2015). "Funciones Zeta, grupos de Grothendieck y el anillo de Witt". Toro. Ciencia. Matemáticas . 139 (6): 599–627. arXiv : 1407.1813 . doi : 10.1016/j.bulsci.2014.11.004 . S2CID 119311364.
^ Jean-Pierre Serre (1965). "Funciones Zeta y L". Geometría Algebraica Aritmética, Proc. Conf. Universidad Purdue. 1963 . Harper y Row.
^ John Tate (1965). "Ciclos algebraicos y polos de funciones zeta". Geometría Algebraica Aritmética, Proc. Conf. Universidad Purdue. 1963 . Harper y Row.
^ Soulé, Christophe (1984). " K -théorie et zéros aux pointes entiers de fonctions zêta". Actas del Congreso Internacional de Matemáticos, vol. 1, 2 (Varsovia, 1983) . Varsovia: PWN. págs. 437–445.
^ Fesenko, Iván (2008). "Aproximación adélica a la función zeta de esquemas aritméticos en la dimensión dos". Revista de Matemáticas de Moscú . 8 (2): 273–317. doi :10.17323/1609-4514-2008-8-2-273-317.
^ Fesenko, Iván (2010). "Análisis de esquemas aritméticos. II". Revista de teoría K. 5 (3): 437–557. doi :10.1017/is010004028jkt103.
^ Fesenko, Iván ; Ricota, Guillaume; Suzuki, Masatoshi (2008). "Periodicidad media y funciones zeta". arXiv : 0803.2821 [matemáticas.NT].
^ Fesenko, Iván (2010). "Análisis de esquemas aritméticos. II". Revista de teoría K. 5 (3): 437–557. doi :10.1017/is010004028jkt103.

Fuentes

François Bruhat (1963). Conferencias sobre algunos aspectos del análisis p-ádico . Instituto Tata de Investigaciones Fundamentales.
Serre, Jean-Pierre (1969-1970). "Facteurs locaux des fonctions zeta des varietés algébriques (définiciones y conjeturas)". Seminario Delange-Pisot-Poitou . 19 .