Fórmula de trazas de Grothendieck

Expresa el número de puntos de una variedad sobre un campo finito

En geometría algebraica , la fórmula de la traza de Grothendieck expresa el número de puntos de una variedad sobre un cuerpo finito en términos de la traza del endomorfismo de Frobenius sobre sus grupos de cohomología . Hay varias generalizaciones: el endomorfismo de Frobenius puede reemplazarse por un endomorfismo más general, en cuyo caso los puntos sobre un cuerpo finito se reemplazan por sus puntos fijos, y también hay una versión más general para un haz sobre la variedad, donde los grupos de cohomología se reemplazan por cohomología con coeficientes en el haz.

La fórmula de la traza de Grothendieck es un análogo en geometría algebraica del teorema de punto fijo de Lefschetz en topología algebraica .

Una aplicación de la fórmula de traza de Grothendieck es expresar la función zeta de una variedad sobre un cuerpo finito, o más generalmente la serie L de un haz, como una suma sobre trazas de Frobenius sobre grupos de cohomología. Este es uno de los pasos utilizados en la prueba de las conjeturas de Weil .

La fórmula de traza de Behrend generaliza la fórmula a pilas algebraicas .

Declaración formal parayo-funciones

Sea k un cuerpo finito, l un número primo invertible en k , X un k -esquema suave de dimensión n y un haz construible en X . Entonces se cumple la siguiente expresión cohomológica para la función L de : ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{l}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle L(X,{\mathcal {F}},t)=\prod _{i=0}^{2n}\det(1-t\cdot F\,\,|\,\,H_{c}^{i}(X_{\bar {k}},{\mathcal {F}}))^{(-1)^{i+1}}={\frac {\det(1-t\cdot F\,\,|\,\,H_{c}^{1}(X_{\bar {k}},{\mathcal {F}}))\cdots \det(1-t\cdot F\,\,|\,\,H_{c}^{2n-1}(X_{\bar {k}},{\mathcal {F}}))}{\det(1-t\cdot F\,\,|\,\,H_{c}^{0}(X_{\bar {k}},{\mathcal {F}}))\cdots \det(1-t\cdot F\,\,|\,\,H_{c}^{2n}(X_{\bar {k}},{\mathcal {F}}))}}}$

donde F es en todas partes una acción geométrica de Frobenius sobre la cohomología l -ádica con soportes compactos del haz . Al tomar derivadas logarítmicas de ambas series de potencias formales se obtiene una afirmación sobre las sumas de trazas para cada extensión de campo finito E del campo base k : ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle \sum _{x\in X(E)}\operatorname {tr} (F_{E}\,\,|\,\,{\mathcal {F}}_{x})=\sum _{i=0}^{2n}(-1)^{i}\operatorname {tr} (F_{E}\,\,|\,\,H_{c}^{i}(X_{\bar {k}},{\mathcal {F}}))}$

Para un haz constante (considerado como un haz l -ádico) , el lado izquierdo de esta fórmula es el número de puntos E de X. ${\displaystyle \mathbb {Q} _{l}}$ ${\displaystyle (\varprojlim \mathbb {Z} /l^{n}\mathbb {Z} )\otimes \mathbb {Q} }$

Referencias

• Deligne, Pierre (1977). Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - Cohomologie étale - (SGA 4½) . Apuntes de conferencias de matemáticas (en francés). vol. 569. Berlín; Nueva York: Springer-Verlag . doi :10.1007/BFb0091516. ISBN 978-3-540-08066-4.
• Grothendieck, Alejandro (1977). Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1965-66 - Cohomologie l-adique et Fonctions L - (SGA 5) . Apuntes de conferencias de matemáticas (en francés). vol. 589. Berlín; Nueva York: Springer-Verlag . doi :10.1007/BFb0096802. ISBN 3-540-08248-4.
• Freitag, Eberhard; Kiehl, Reinhardt (1988), Étale cohomología y la conjetura de Weil , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Resultados en Matemáticas y Áreas Afines (3)], vol. 13, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-12175-6, Sr.  0926276