Polinomio de Schur

En matemáticas , los polinomios de Schur , llamados así por Issai Schur , son ciertos polinomios simétricos en n variables, indexados por particiones , que generalizan los polinomios simétricos elementales y los polinomios simétricos homogéneos completos . En teoría de la representación, son los caracteres de las representaciones irreducibles polinómicas de los grupos lineales generales . Los polinomios de Schur forman una base lineal para el espacio de todos los polinomios simétricos. Cualquier producto de polinomios de Schur puede escribirse como una combinación lineal de polinomios de Schur con coeficientes enteros no negativos; los valores de estos coeficientes se dan combinatoriamente por la regla de Littlewood-Richardson . De manera más general, los polinomios de Schur oblicuos están asociados con pares de particiones y tienen propiedades similares a los polinomios de Schur.

Definición (fórmula bialternante de Jacobi)

Los polinomios de Schur se indexan mediante particiones enteras . Dada una partición λ = ( λ ₁ , λ ₂ , ..., λ _n ) , donde λ ₁ ≥ λ ₂ ≥ ... ≥ λ _n , y cada λ _j es un entero no negativo, las funciones

$${\displaystyle a_{(\lambda _{1}+n-1,\lambda _{2}+n-2,\dots ,\lambda _{n})}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=\det \left[{\begin{matrix}x_{1}^{\lambda _{1}+n-1}&x_{2}^{\lambda _{1}+n-1}&\dots &x_{n}^{\lambda _{1}+n-1}\\x_{1}^{\lambda _{2}+n-2}&x_{2}^{\lambda _{2}+n-2}&\dots &x_{n}^{\lambda _{2}+n-2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\x_{1}^{\lambda _{n}}&x_{2}^{\lambda _{n}}&\dots &x_{n}^{\lambda _{n}}\end{matrix}}\right]}$$

Son polinomios alternantes por propiedades del determinante . Un polinomio es alternante si cambia de signo ante cualquier transposición de las variables.

Como son alternantes, todos son divisibles por el determinante de Vandermonde. Los polinomios de Schur se definen como el cociente $${\displaystyle a_{(n-1,n-2,\dots ,0)}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=\det \left[{\begin{matrix}x_{1}^{n-1}&x_{2}^{n-1}&\dots &x_{n}^{n-1}\\x_{1}^{n-2}&x_{2}^{n-2}&\dots &x_{n}^{n-2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&1&\dots &1\end{matrix}}\right]=\prod _{1\leq j<k\leq n}(x_{j}-x_{k}).}$$

$${\displaystyle s_{\lambda }(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})={\frac {a_{(\lambda _{1}+n-1,\lambda _{2}+n-2,\dots ,\lambda _{n}+0)}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})}{a_{(n-1,n-2,\dots ,0)}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})}}.}$$

Esta se conoce como la fórmula bialternante de Jacobi y es un caso especial de la fórmula del carácter de Weyl .

Esta es una función simétrica porque el numerador y el denominador son ambos alternos, y un polinomio ya que todos los polinomios alternos son divisibles por el determinante de Vandermonde.

Propiedades

Los polinomios de Schur de grado d en n variables son una base lineal para el espacio de polinomios simétricos de grado d homogéneos en n variables. Para una partición λ = ( λ ₁ , λ ₂ , ..., λ _n ) , el polinomio de Schur es una suma de monomios,

${\displaystyle s_{\lambda }(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=\sum _{T}x^{T}=\sum _{T}x_{1}^{t_{1}}\cdots x_{n}^{t_{n}}}$

donde la suma es sobre todas las tablas de Young semiestándar T de forma λ . Los exponentes t ₁ , ..., t _n dan el peso de T , en otras palabras, cada t _i cuenta las ocurrencias del número i en T . Se puede demostrar que esto es equivalente a la definición de la primera fórmula de Giambelli utilizando el lema de Lindström–Gessel–Viennot (como se describe en esa página).

Los polinomios de Schur se pueden expresar como combinaciones lineales de funciones simétricas monomiales m _μ con coeficientes enteros no negativos K _λμ llamados números de Kostka .

${\displaystyle s_{\lambda }=\sum _{\mu }K_{\lambda \mu }m_{\mu }.\ }$

Los números de Kostka K _λμ están dados por el número de tablas de Young semiestándar de forma λ y peso μ .

Identidades de Jacobi y Trudi

La primera fórmula de Jacobi−Trudi expresa el polinomio de Schur como determinante en términos de los polinomios simétricos homogéneos completos ,

${\displaystyle s_{\lambda }=\det(h_{\lambda _{i}+j-i})_{i,j=1}^{l(\lambda )}=\det \left[{\begin{matrix}h_{\lambda _{1}}&h_{\lambda _{1}+1}&\dots &h_{\lambda _{1}+n-1}\\h_{\lambda _{2}-1}&h_{\lambda _{2}}&\dots &h_{\lambda _{2}+n-2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\h_{\lambda _{n}-n+1}&h_{\lambda _{n}-n+2}&\dots &h_{\lambda _{n}}\end{matrix}}\right],}$

donde h _i  := s _{( i )} . ^[1]

La segunda fórmula de Jacobi-Trudi expresa el polinomio de Schur como determinante en términos de los polinomios simétricos elementales ,

${\displaystyle s_{\lambda }=\det(e_{\lambda '_{i}+j-i})_{i,j=1}^{l(\lambda ')}=\det \left[{\begin{matrix}e_{\lambda '_{1}}&e_{\lambda '_{1}+1}&\dots &e_{\lambda '_{1}+l-1}\\e_{\lambda '_{2}-1}&e_{\lambda '_{2}}&\dots &e_{\lambda '_{2}+l-2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\e_{\lambda '_{l}-l+1}&e_{\lambda '_{l}-l+2}&\dots &e_{\lambda '_{l}}\end{matrix}}\right],}$

donde e _i  := s _{(1 ⁱ )} y λ' es la partición conjugada de λ . ^[2]

En ambas identidades, las funciones con subíndices negativos se definen como cero.

La identidad de Giambelli

Otra identidad determinante es la fórmula de Giambelli , que expresa la función de Schur para una partición arbitraria en términos de las particiones de gancho contenidas en el diagrama de Young. En la notación de Frobenius, la partición se denota

${\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{r}\mid b_{1},\ldots ,b_{r})}$

donde, para cada elemento diagonal en la posición ii , a _i denota el número de casillas a la derecha en la misma fila y b _i denota el número de casillas debajo en la misma columna (las longitudes de los brazos y las piernas , respectivamente).

La identidad de Giambelli expresa la función de Schur correspondiente a esta partición como determinante

${\displaystyle s_{(a_{1},\ldots ,a_{r}\mid b_{1},\ldots ,b_{r})}=\det(s_{(a_{i}\mid b_{j})})}$

de aquellos para particiones de gancho.

La identidad de Cauchy

La identidad de Cauchy para funciones de Schur (ahora en infinitas variables) y su estado dual que

${\displaystyle \sum _{\lambda }s_{\lambda }(x)s_{\lambda }(y)=\sum _{\lambda }m_{\lambda }(x)h_{\lambda }(y)=\prod _{i,j}(1-x_{i}y_{j})^{-1},}$

y

${\displaystyle \sum _{\lambda }s_{\lambda }(x)s_{\lambda '}(y)=\sum _{\lambda }m_{\lambda }(x)e_{\lambda }(y)=\prod _{i,j}(1+x_{i}y_{j}),}$

donde la suma se toma sobre todas las particiones λ , y , denotan las funciones simétricas completas y las funciones simétricas elementales , respectivamente. Si la suma se toma sobre productos de polinomios de Schur en variables , la suma incluye solo particiones de longitud ya que de lo contrario los polinomios de Schur se anulan. ${\displaystyle h_{\lambda }(x)}$ ${\displaystyle e_{\lambda }(x)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n})}$ ${\displaystyle \ell (\lambda )\leq n}$

Existen muchas generalizaciones de estas identidades a otras familias de funciones simétricas. Por ejemplo, los polinomios de Macdonald, los polinomios de Schubert y los polinomios de Grothendieck admiten identidades de tipo Cauchy.

Otras identidades

El polinomio de Schur también se puede calcular mediante una especialización de una fórmula para polinomios de Hall-Littlewood ,

${\displaystyle s_{\lambda }(x_{1},\dotsc ,x_{n})=\sum _{w\in S_{n}/S_{n}^{\lambda }}w\left(x^{\lambda }\prod _{\lambda _{i}>\lambda _{j}}{\frac {x_{i}}{x_{i}-x_{j}}}\right)}$

donde es el subgrupo de permutaciones tales que para todo i , y w actúa sobre las variables permutando índices. ${\displaystyle S_{n}^{\lambda }}$ ${\displaystyle \lambda _{w(i)}=\lambda _{i}}$

La regla Murnaghan-Nakayama

La regla de Murnaghan-Nakayama expresa un producto de una función simétrica de suma de potencias con un polinomio de Schur, en términos de polinomios de Schur:

${\displaystyle p_{r}\cdot s_{\lambda }=\sum _{\mu }(-1)^{ht(\mu /\lambda )+1}s_{\mu }}$

donde la suma es sobre todas las particiones μ tales que μ / λ es un gancho de borde de tamaño r y ht ( μ / λ ) es el número de filas en el diagrama μ / λ .

La regla de Littlewood-Richardson y la fórmula de Pieri

Los coeficientes de Littlewood-Richardson dependen de tres particiones , digamos , de las cuales y describen las funciones de Schur que se multiplican, y da la función de Schur de la cual este es el coeficiente en la combinación lineal; en otras palabras, son los coeficientes tales que ${\displaystyle \lambda ,\mu ,\nu }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle c_{\lambda ,\mu }^{\nu }}$

${\displaystyle s_{\lambda }s_{\mu }=\sum _{\nu }c_{\lambda ,\mu }^{\nu }s_{\nu }.}$

La regla de Littlewood-Richardson establece que es igual al número de tablas de Littlewood-Richardson de forma oblicua y de peso . ${\displaystyle c_{\lambda ,\mu }^{\nu }}$ ${\displaystyle \nu /\lambda }$ ${\displaystyle \mu }$

La fórmula de Pieri es un caso especial de la regla de Littlewood-Richardson, que expresa el producto en términos de polinomios de Schur. La versión dual se expresa en términos de polinomios de Schur. ${\displaystyle h_{r}s_{\lambda }}$ ${\displaystyle e_{r}s_{\lambda }}$

Especializaciones

Evaluando el polinomio de Schur s _λ en (1, 1, ..., 1) se obtiene el número de tablas de Young semiestándar de forma λ con entradas en 1, 2, ..., n . Se puede demostrar, utilizando la fórmula de caracteres de Weyl por ejemplo, que En esta fórmula, λ , la tupla que indica el ancho de cada fila del diagrama de Young, se extiende implícitamente con ceros hasta que tiene una longitud n . La suma de los elementos λ _i es d . Véase también la fórmula de longitud de Hook que calcula la misma cantidad para λ fijo . $${\displaystyle s_{\lambda }(1,1,\dots ,1)=\prod _{1\leq i<j\leq n}{\frac {\lambda _{i}-\lambda _{j}+j-i}{j-i}}.}$$

Ejemplo

El siguiente ejemplo ampliado debería ayudar a aclarar estas ideas. Consideremos el caso n = 3, d = 4. Utilizando diagramas de Ferrers o algún otro método, encontramos que hay sólo cuatro particiones de 4 en, como máximo, tres partes. Tenemos

${\displaystyle s_{(2,1,1)}(x_{1},x_{2},x_{3})={\frac {1}{\Delta }}\;\det \left[{\begin{matrix}x_{1}^{4}&x_{2}^{4}&x_{3}^{4}\\x_{1}^{2}&x_{2}^{2}&x_{3}^{2}\\x_{1}&x_{2}&x_{3}\end{matrix}}\right]=x_{1}\,x_{2}\,x_{3}\,(x_{1}+x_{2}+x_{3})}$

${\displaystyle s_{(2,2,0)}(x_{1},x_{2},x_{3})={\frac {1}{\Delta }}\;\det \left[{\begin{matrix}x_{1}^{4}&x_{2}^{4}&x_{3}^{4}\\x_{1}^{3}&x_{2}^{3}&x_{3}^{3}\\1&1&1\end{matrix}}\right]=x_{1}^{2}\,x_{2}^{2}+x_{1}^{2}\,x_{3}^{2}+x_{2}^{2}\,x_{3}^{2}+x_{1}^{2}\,x_{2}\,x_{3}+x_{1}\,x_{2}^{2}\,x_{3}+x_{1}\,x_{2}\,x_{3}^{2}}$

y así sucesivamente, donde es el determinante de Vandermonde . Resumiendo: ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle a_{(2,1,0)}(x_{1},x_{2},x_{3})}$

1. ${\displaystyle s_{(2,1,1)}=e_{1}\,e_{3}}$
2. ${\displaystyle s_{(2,2,0)}=e_{2}^{2}-e_{1}\,e_{3}}$
3. ${\displaystyle s_{(3,1,0)}=e_{1}^{2}\,e_{2}-e_{2}^{2}-e_{1}\,e_{3}}$
4. ${\displaystyle s_{(4,0,0)}=e_{1}^{4}-3\,e_{1}^{2}\,e_{2}+2\,e_{1}\,e_{3}+e_{2}^{2}.}$

Todo polinomio homogéneo simétrico de grado cuatro en tres variables se puede expresar como una combinación lineal única de estos cuatro polinomios de Schur, y esta combinación se puede encontrar nuevamente utilizando una base de Gröbner para un orden de eliminación apropiado. Por ejemplo,

${\displaystyle \phi (x_{1},x_{2},x_{3})=x_{1}^{4}+x_{2}^{4}+x_{3}^{4}}$

es obviamente un polinomio simétrico homogéneo de grado cuatro, y tenemos

${\displaystyle \phi =s_{(2,1,1)}-s_{(3,1,0)}+s_{(4,0,0)}.\,\!}$

Relación con la teoría de la representación

Los polinomios de Schur aparecen en la teoría de representación de los grupos simétricos , grupos lineales generales y grupos unitarios . La fórmula de caracteres de Weyl implica que los polinomios de Schur son los caracteres de las representaciones irreducibles de dimensión finita de los grupos lineales generales, y ayuda a generalizar el trabajo de Schur a otros grupos de Lie compactos y semisimples .

Para esta relación surgen varias expresiones, siendo una de las más importantes la expansión de las funciones de Schur s _λ en términos de las funciones de potencia simétricas . Si escribimos χ ${\displaystyle p_{k}=\sum _{i}x_{i}^{k}}$^lambda
_​para el carácter de la representación del grupo simétrico indexado por la partición λ evaluado en elementos de tipo ciclo indexados por la partición ρ, entonces

${\displaystyle s_{\lambda }=\sum _{\nu }{\frac {\chi _{\nu }^{\lambda }}{z_{\nu }}}p_{\nu }=\sum _{\rho =(1^{r_{1}},2^{r_{2}},3^{r_{3}},\dots )}\chi _{\rho }^{\lambda }\prod _{k}{\frac {p_{k}^{r_{k}}}{r_{k}!k^{r_{k}}}},}$

donde ρ = (1 ^{r ₁} , 2 ^{r ₂} , 3 ^{r ₃} , ...) significa que la partición ρ tiene r _k partes de longitud k .

Una prueba de esto se puede encontrar en Enumerative Combinatorics de R. Stanley, Volumen 2, Corolario 7.17.5.

Los números enteros χ^lambda
_​se puede calcular utilizando la regla de Murnaghan-Nakayama .

Positividad de Schur

Debido a la conexión con la teoría de la representación, una función simétrica que se expande positivamente en las funciones de Schur es de particular interés. Por ejemplo, las funciones de Schur oblicuas se expanden positivamente en las funciones de Schur ordinarias y los coeficientes son coeficientes de Littlewood-Richardson.

Un caso especial de esto es la expansión de las funciones simétricas homogéneas completas h _λ en funciones de Schur. Esta descomposición refleja cómo un módulo de permutación se descompone en representaciones irreducibles.

Métodos para demostrar la positividad de Schur

Existen varios enfoques para demostrar la positividad de Schur de una función simétrica dada F . Si F se describe de manera combinatoria, un enfoque directo es producir una biyección con tablas de Young semiestándar. La correspondencia de Edelman-Greene y la correspondencia de Robinson-Schensted-Knuth son ejemplos de tales biyecciones.

Una biyección con más estructura es una prueba que utiliza los llamados cristales . Este método puede describirse como la definición de una cierta estructura gráfica descrita con reglas locales sobre los objetos combinatorios subyacentes.

Una idea similar es la noción de equivalencia dual. Este enfoque también utiliza una estructura de grafo, pero en los objetos que representan la expansión en la base cuasisimétrica fundamental. Está estrechamente relacionada con la correspondencia RSK.

Generalizaciones

Funciones de Schur sesgadas

Las funciones de Schur sesgadas s _λ/μ dependen de dos particiones λ y μ, y pueden definirse mediante la propiedad

${\displaystyle \langle s_{\lambda /\mu },s_{\nu }\rangle =\langle s_{\lambda },s_{\mu }s_{\nu }\rangle .}$

Aquí, el producto interno es el producto interno de Hall, para el cual los polinomios de Schur forman una base ortonormal.

De manera similar a los polinomios de Schur ordinarios, existen numerosas formas de calcularlos. Las identidades de Jacobi-Trudi correspondientes son

${\displaystyle s_{\lambda /\mu }=\det(h_{\lambda _{i}-\mu _{j}-i+j})_{i,j=1}^{l(\lambda )}}$

${\displaystyle s_{\lambda '/\mu '}=\det(e_{\lambda _{i}-\mu _{j}-i+j})_{i,j=1}^{l(\lambda )}}$

También existe una interpretación combinatoria de los polinomios de Schur oblicuo, es decir, es una suma de todas las tablas de Young semiestándar (o tablas estrictas en columnas) de forma oblicuo . ${\displaystyle \lambda /\mu }$

Los polinomios de Schur oblicuos se expanden positivamente en polinomios de Schur. La regla de Littlewood-Richardson proporciona una regla para los coeficientes .

Polinomios de Schur dobles

Los polinomios dobles de Schur ^[3] pueden verse como una generalización de los polinomios de Schur desplazados. Estos polinomios también están estrechamente relacionados con los polinomios factoriales de Schur. Dada una partición λ , y una secuencia a ₁ , a ₂ ,... se puede definir el polinomio doble de Schur s _λ ( x || a ) como donde la suma se toma sobre todas las tablas de Young semiestándar inversas T de forma λ , y entradas enteras en 1, ..., n . Aquí T (α) denota el valor en la caja α en T y c(α) es el contenido de la caja. $${\displaystyle s_{\lambda }(x||a)=\sum _{T}\prod _{\alpha \in \lambda }(x_{T(\alpha )}-a_{T(\alpha )-c(\alpha )})}$$

AI Molev proporcionó una regla combinatoria para los coeficientes de Littlewood-Richardson (dependiendo de la secuencia a ). ^[3] En particular, esto implica que los polinomios de Schur desplazados tienen coeficientes de Littlewood-Richardson no negativos.

Los polinomios de Schur desplazados s ^* _λ ( y ) se pueden obtener a partir de los polinomios de Schur dobles especializando a _i = − i e y i ₌ x _i + i .

Los polinomios dobles de Schur son casos especiales de los polinomios dobles de Schubert .

Polinomios de Schur factoriales

Los polinomios factoriales de Schur pueden definirse de la siguiente manera. Dada una partición λ y una secuencia doblemente infinita ..., a ₋₁ , a ₀ , a ₁ , ... se puede definir el polinomio factorial de Schur s _λ ( x | a ) como donde la suma se toma sobre todas las tablas de Young semiestándar T de forma λ y entradas enteras en 1, ..., n . Aquí T (α) denota el valor en la caja α en T y c(α) es el contenido de la caja. $${\displaystyle s_{\lambda }(x|a)=\sum _{T}\prod _{\alpha \in \lambda }(x_{T(\alpha )}-a_{T(\alpha )+c(\alpha )})}$$

También existe una fórmula determinante, donde ( y | a ) ^k = ( y − a ₁ ) ... ( y − a _k ). Está claro que si dejamos a _i = 0 para todo i , recuperamos el polinomio de Schur habitual s _λ . $${\displaystyle s_{\lambda }(x|a)={\frac {\det[(x_{j}|a)^{\lambda _{i}+n-i}]_{i,j=1}^{l(\lambda )}}{\prod _{i<j}(x_{i}-x_{j})}}}$$

Los polinomios de Schur dobles y los polinomios de Schur factoriales en n variables están relacionados a través de la identidad s _λ ( x || a ) = s _λ ( x | u ) donde a _{n − i +1} = u _i .

Otras generalizaciones

Existen numerosas generalizaciones de los polinomios de Schur:

• Polinomios de Hall-Littlewood
• Polinomios de Schur desplazados
• Polinomios de Schur con banderas
• Polinomios de Schubert
• Funciones simétricas de Stanley (también conocidas como polinomios estables de Schubert)
• Polinomios clave (también conocidos como caracteres de Demazure)
• Polinomios de Schur cuasi-simétricos
• Polinomios de Schur estrictos por filas
• Polinomios de Jack
• Polinomios de Schur modulares
• Funciones de Schur en bucle
• Polinomios de Macdonald
• Polinomios de Schur para el grupo simpléctico y ortogonal.
• Funciones k -Schur
• Polinomios de Grothendieck ( análogos teóricos de los polinomios de Schur)
• Polinomios LLT

Véase también

• Función Schur
• Regla de Littlewood-Richardson , donde se encuentran algunas identidades que involucran polinomios de Schur.

Referencias

• Macdonald, IG (1995). Funciones simétricas y polinomios de Hall. Oxford Mathematical Monographs (2.ª ed.). Oxford University Press. ISBN 978-0-19-853489-1.Señor 1354144  .
• Sagan, Bruce E. (2001) [1994], "Funciones de Schur en combinatoria algebraica", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Sturmfels, Bernd (1993). Algoritmos en teoría invariante . Saltador. ISBN 978-0-387-82445-1.
• Fulton, William ; Harris, Joe (1991). Teoría de la representación. Un primer curso . Textos de posgrado en matemáticas , Lecturas en matemáticas. Vol. 129. Nueva York: Springer-Verlag. doi :10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. Sr.  1153249. OCLC  246650103.

1. Fulton y Harris 1991, Fórmula A.5
2. Fulton y Harris 1991, Fórmula A.6
3. Molev, AI (junio de 2009). "Polinomios de Littlewood–Richardson". Journal of Algebra . 321 (11): 3450–68. arXiv : 0704.0065 . doi :10.1016/j.jalgebra.2008.02.034.