En matemáticas y física, una ecuación diferencial parcial no lineal es una ecuación diferencial parcial con términos no lineales . Describen muchos sistemas físicos diferentes, desde la gravitación hasta la dinámica de fluidos, y se han utilizado en matemáticas para resolver problemas como la conjetura de Poincaré y la conjetura de Calabi . Son difíciles de estudiar: casi no existen técnicas generales que funcionen para todas estas ecuaciones y, por lo general, cada ecuación individual debe estudiarse como un problema separado.
La distinción entre una ecuación diferencial parcial lineal y no lineal generalmente se hace en términos de las propiedades del operador que define la propia PDE. [1]
Una pregunta fundamental para cualquier PDE es la existencia y unicidad de una solución para condiciones de contorno dadas. Para las ecuaciones no lineales, estas preguntas son en general muy difíciles: por ejemplo, la parte más difícil de la solución de Yau a la conjetura de Calabi fue la prueba de la existencia de una ecuación de Monge-Ampere . El problema abierto de la existencia (y suavidad) de las soluciones de las ecuaciones de Navier-Stokes es uno de los siete problemas del Premio del Milenio en matemáticas.
Las cuestiones básicas sobre las singularidades (su formación, propagación y eliminación, y la regularidad de las soluciones) son las mismas que para la PDE lineal, pero, como siempre, mucho más difíciles de estudiar. En el caso lineal, uno puede simplemente usar espacios de distribuciones, pero las PDE no lineales generalmente no se definen en distribuciones arbitrarias, por lo que se reemplazan los espacios de distribuciones por refinamientos como los espacios de Sobolev .
Un ejemplo de formación de singularidades lo da el flujo de Ricci : Richard S. Hamilton demostró que si bien existen soluciones en poco tiempo, las singularidades generalmente se formarán después de un tiempo finito. La solución de Grigori Perelman a la conjetura de Poincaré dependió de un estudio profundo de estas singularidades, donde mostró cómo continuar la solución más allá de las singularidades.
Las soluciones en una vecindad de una solución conocida a veces se pueden estudiar linealizando la PDE alrededor de la solución. Esto corresponde a estudiar el espacio tangente de un punto del espacio de módulos de todas las soluciones.
Lo ideal sería describir explícitamente el espacio (módulos) de todas las soluciones, y para algunas PDE muy especiales esto es posible. (En general, este es un problema imposible: es poco probable que exista una descripción útil de todas las soluciones de la ecuación de Navier-Stokes, por ejemplo, ya que esto implicaría describir todos los movimientos posibles de los fluidos). Si la ecuación tiene un grupo de simetría muy grande , entonces uno generalmente solo está interesado en el espacio de módulos de soluciones módulo del grupo de simetría, y esto a veces es una variedad compacta de dimensión finita, posiblemente con singularidades; por ejemplo, esto sucede en el caso de las ecuaciones de Seiberg-Witten . Un caso un poco más complicado son las ecuaciones autoduales de Yang-Mills, cuando el espacio de módulos es de dimensión finita pero no necesariamente compacto, aunque a menudo puede compactarse explícitamente. Otro caso en el que a veces se puede esperar describir todas las soluciones es el caso de modelos completamente integrables, cuando las soluciones son a veces una especie de superposición de solitones ; esto sucede, por ejemplo, para la ecuación de Korteweg-de Vries .
A menudo es posible escribir algunas soluciones especiales explícitamente en términos de funciones elementales (aunque rara vez es posible describir todas las soluciones de esta manera). Una forma de encontrar tales soluciones explícitas es reducir las ecuaciones a ecuaciones de menor dimensión, preferiblemente ecuaciones diferenciales ordinarias, que a menudo pueden resolverse exactamente. A veces, esto se puede hacer mediante la separación de variables o buscando soluciones altamente simétricas.
Algunas ecuaciones tienen varias soluciones exactas diferentes.
La solución numérica en una computadora es casi el único método que se puede utilizar para obtener información sobre sistemas arbitrarios de PDE. Se ha trabajado mucho, pero aún queda mucho por hacer para resolver ciertos sistemas numéricamente, especialmente para las ecuaciones de Navier-Stokes y otras ecuaciones relacionadas con la predicción del tiempo .
Si un sistema de PDE se puede poner en forma de par Lax
entonces suele tener una infinidad de primeras integrales, que ayudan a estudiarlo.
Los sistemas de PDE a menudo surgen como ecuaciones de Euler-Lagrange para un problema variacional. Los sistemas de esta forma a veces pueden resolverse encontrando un extremo del problema variacional original.
Las PDE que surgen de sistemas integrables suelen ser las más fáciles de estudiar y, en ocasiones, pueden resolverse por completo. Un ejemplo bien conocido es la ecuación de Korteweg-de Vries .
Algunos sistemas de PDE tienen grandes grupos de simetría. Por ejemplo, las ecuaciones de Yang-Mills son invariantes bajo un grupo de calibre de dimensión infinita , y muchos sistemas de ecuaciones (como las ecuaciones de campo de Einstein ) son invariantes bajo difeomorfismos de la variedad subyacente. Cualquiera de estos grupos de simetría generalmente se puede utilizar para ayudar a estudiar las ecuaciones; en particular, si se conoce una solución, trivialmente se pueden generar más actuando con el grupo de simetría.
A veces las ecuaciones son parabólicas o hiperbólicas "módulo la acción de algún grupo": por ejemplo, la ecuación de flujo de Ricci no es del todo parabólica, pero es "módulo parabólico la acción del grupo de difeomorfismo", lo que implica que tiene la mayoría de las buenas propiedades. de ecuaciones parabólicas.
Consulte la extensa Lista de ecuaciones diferenciales parciales no lineales .
