Cáustico (óptica)

Envolvente de rayos de luz reflejada o refractada por una superficie/objeto curvo

Cáusticos producidos por un vaso de agua, visibles como manchas de luz.

Cáustico nefroide en el fondo de una taza de té

Cáusticos producidos por la superficie del agua.

Cáusticos en aguas poco profundas

En óptica , una cáustica o red cáustica ^[1] es la envoltura de rayos de luz que han sido reflejados o refractados por una superficie u objeto curvo, o la proyección de esa envoltura de rayos sobre otra superficie. ^[2] La cáustica es una curva o superficie a la que cada uno de los rayos de luz es tangente , definiendo un límite de una envoltura de rayos como una curva de luz concentrada. ^[2] En algunos casos, las cáusticas pueden verse como parches de luz o sus bordes brillantes, formas que a menudo tienen singularidades de cúspide .

Explicación

Los rayos refractados por una superficie no plana forman cáusticas allí donde muchos de ellos se cruzan.

La concentración de luz, especialmente la solar , puede quemar. La palabra cáustico , de hecho, viene del griego καυστός, quemado, pasando por el latín causticus , que arde.

Una situación común en la que las cáusticas son visibles es cuando la luz brilla sobre un vaso de bebida. El vidrio proyecta una sombra, pero también produce una región curva de luz brillante. En circunstancias ideales (incluidos rayos perfectamente paralelos, como si provinieran de una fuente puntual en el infinito), se puede producir una mancha de luz con forma de nefroide . ^{[3] [4]} Las cáusticas onduladas se forman comúnmente cuando la luz brilla a través de ondas en un cuerpo de agua.

Otra cáustica conocida es el arco iris . ^{[5] [6]} La dispersión de la luz por las gotas de lluvia hace que diferentes longitudes de onda de luz se refracten en arcos de diferente radio, produciendo el arco.

Gráficos de computadora

Fotografía de una típica copa de vino cáustica.

Representación por computadora de una copa de vino cáustica

En gráficos por computadora, la mayoría de los sistemas de renderizado modernos admiten cáusticas. Algunos de ellos incluso admiten cáusticas volumétricas . Esto se logra trazando los posibles caminos de un haz de luz, teniendo en cuenta la refracción y la reflexión. El mapeo de fotones es una implementación de esto. Las cáusticas volumétricas también se pueden lograr mediante el trazado de caminos volumétricos . Algunos sistemas de gráficos por computadora funcionan mediante "trazado de rayos hacia adelante", en el que los fotones se modelan como si vinieran de una fuente de luz y rebotaran en el entorno de acuerdo con reglas. Las cáusticas se forman en las regiones donde suficientes fotones golpean una superficie, lo que hace que sea más brillante que el área promedio en la escena. El "trazado de rayos hacia atrás" funciona de manera inversa, comenzando en la superficie y determinando si hay un camino directo a la fuente de luz. ^[7] Algunos ejemplos de cáusticas trazadas por rayos en 3D se pueden encontrar aquí.

La mayoría de los sistemas de gráficos por ordenador se centran en la estética, más que en la precisión física . Esto es especialmente cierto cuando se trata de gráficos en tiempo real en juegos de ordenador ^{[8], donde se utilizan principalmente} texturas genéricas precalculadas en lugar de cálculos físicamente correctos.

Ingeniería cáustica

La ingeniería cáustica describe el proceso de resolver el problema inverso a la computación gráfica , es decir, dada una imagen específica, determinar una superficie cuya luz refractada o reflejada forma dicha imagen.

En la versión discreta de este problema, la superficie se divide en varias microsuperficies que se suponen lisas, es decir, la luz reflejada/refractada por cada microsuperficie forma una cáustica gaussiana. La cáustica gaussiana significa que cada microsuperficie obedece a una distribución gaussiana . La posición y orientación de cada una de las microsuperficies se obtienen luego utilizando una combinación de integración de Poisson y recocido simulado . ^[9]

Se han utilizado muchos enfoques diferentes para abordar el problema continuo. Un enfoque utiliza una idea de la teoría del transporte denominada transporte óptimo ^[10] para encontrar una correspondencia entre los rayos de luz entrantes y la superficie del objetivo. Después de obtener dicha correspondencia, la superficie se optimiza adaptándola iterativamente utilizando la ley de refracción de Snell . ^{[11] [12]}

Diseño de patrones cáusticos basados ​​en transporte óptimo

Principio básico

Controlar el patrón cáustico es un problema bastante desafiante ya que cambios muy pequeños de la superficie afectarán significativamente la calidad del patrón ya que las direcciones de los rayos de luz pueden ser interferidas por otros rayos de luz a medida que se cruzan con y refractan a través del material. Esto conducirá a un patrón disperso y discontinuo. Para abordar este problema, uno de los métodos propuestos existentes para controlar el patrón cáustico es el basado en el transporte óptimo redirigiendo las direcciones de la luz a medida que se propaga a través de la superficie de un cierto material transparente . Esto se hace resolviendo un problema de optimización inversa basado en el transporte óptimo . ^{[13] [14]} Dada una imagen de referencia de un objeto/patrón, el objetivo es formular la descripción matemática de la superficie del material a través de la cual la luz se refracta y converge al patrón similar de la imagen de referencia. Esto se hace reorganizando/recalculando la intensidad de luz inicial hasta que se alcanza el mínimo del problema de optimización.

Tubería de diseño

Considerando aquí solo la cáustica refractiva, el objetivo se puede determinar de la siguiente manera (principio similar para la cáustica reflexiva con diferente salida):

Entrada: imagen del patrón que se obtendrá después de propagar las luces a través del material, dada la posición de la fuente de luz.

Salida: geometría cáustica en el receptor (superficie sólida plana, por ejemplo: suelo, pared, etc.)

Para lograr el patrón objetivo, la superficie donde la luz se refracta y sale al ambiente exterior debe fabricarse en una forma determinada para lograr el patrón deseado en el otro lado del material.

Como se mencionó, dada una imagen de entrada, este proceso producirá un patrón cáustico similar al de la salida. En principio, hay dos etapas principales, cada una de las cuales incluye dos subetapas:

• 

  Diseño cáustico basado en transporte óptimo

  Solución del problema del transporte óptimo
  1. Calcular la distribución de la luz del objetivo
  2. Calcular el mapeo desde la distribución inicial a la distribución objetivo
• Optimización de la superficie objetivo
  1. Calcular la representación normal de la superficie
  2. Refinamiento de superficies

Solución del problema del transporte óptimo

Como la refracción ocurre a través de una superficie transparente, por ejemplo los patrones que aparecen bajo la superficie del agua clara, se pueden observar tres fenómenos principales:

• Puntos muy brillantes (intensidad de luz condensada) (los llamados singularidades )
• Objetos con forma de curva que conectan los puntos
• Regiones con baja intensidad de luz

Para realizar el cálculo, se introducen respectivamente las siguientes 3 magnitudes para describir las características geométricas del patrón: singularidad puntual (que mide la intensidad de la luz en un punto de luz muy concentrado), singularidad de curva (que mide la intensidad de la luz en una curva de luz o alrededor de ella) y medida de irradiancia (que mide la intensidad en una zona de luz poco concentrada). Al unirlas, la siguiente función define la medida del flujo radiante total en una sección determinada Ω de la superficie del objetivo: ${\displaystyle \Phi _{p}}$ ${\displaystyle \Phi _{c}}$ ${\displaystyle \Phi _{I}}$ ${\displaystyle \Phi _{T}}$

${\displaystyle \Phi _{T}(\Omega )=\textstyle \sum _{i=1}^{N_{\delta }}\Phi _{p}^{i}(\Omega )+\sum _{j=1}^{N_{\gamma }}\Phi _{c}^{j}(\Omega )+\Phi _{I}(\Omega )\displaystyle }$

Después de este paso, hay dos medidas existentes de las medidas de flujo radiante de la fuente (distribución uniforme, por inicialización) y el objetivo (calculado en el paso anterior). Lo que queda por calcular es el mapeo de la fuente al objetivo. Para hacer esto, hay varias cantidades que deben definirse. En primer lugar, se definen dos intensidades de luz evaluadas por probabilidades: (intensidad de luz evaluada dividiendo por el flujo de la región de unión entre y ), (intensidad de luz evaluada dividiendo por el flujo de la región de unión entre y ). En segundo lugar, se genera la malla de la fuente como sitios múltiples , que luego se deforma. A continuación, se define un diagrama de potencia (un conjunto de celdas de potencia) en este conjunto de sitios ponderados por un vector de peso . Finalmente, el objetivo es decidir si se van a mover qué celdas de potencia. Considerando todos los vértices de la superficie, encontrar el minimizador de la siguiente función convexa producirá el diagrama de potencia coincidente para el objetivo: ${\displaystyle \Phi _{S}}$ ${\displaystyle \Phi _{T}}$ ${\displaystyle \mu _{S}}$ ${\displaystyle \Phi _{S}}$ ${\displaystyle \Phi _{S}}$ ${\displaystyle \Phi _{T}}$ ${\displaystyle \mu _{T}}$ ${\displaystyle \Phi _{T}}$ ${\displaystyle \Phi _{S}}$ ${\displaystyle \Phi _{T}}$ ${\displaystyle s_{i}\in (\Phi _{S}\cup \Phi _{T})}$ ${\displaystyle P_{w}}$ ${\displaystyle C_{i}^{w}}$ ${\displaystyle s_{i}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \omega _{min}}$

${\displaystyle f(\omega )=\sum _{s_{i}\in S}(\omega _{i}.\mu _{S}(C_{i}^{0})-\int \limits _{C_{i}^{\omega }}(\|x-s_{i}\|^{2}-\omega _{i})d\mu _{T}(x))}$

Optimización de la superficie objetivo

Proceso de cálculo

Después de resolver el problema de transporte óptimo, se obtienen los vértices. Sin embargo, esto no brinda información sobre cómo debería verse la superficie final. Para lograr la superficie objetivo deseada, dados el rayo de luz entrante , el rayo de luz saliente y el diagrama de potencia del paso anterior, la representación de las normales de la superficie se puede calcular de acuerdo con la ley de Snell como: ${\displaystyle d_{I}}$ ${\displaystyle d_{O}}$

${\displaystyle n=d_{I}+{\eta x \over \lVert d_{I}+\eta d_{T}\rVert }=d_{I}+{\eta x \over \lVert d_{I}+\eta {(x_{R}-x) \over ||x_{R}-x||}\rVert }}$

dónde,

${\displaystyle \eta }$: coeficiente de refracción

${\displaystyle x_{R}}$:posición objetivo obtenida al resolver el problema de transporte óptimo anterior

Una vez obtenida la representación normal, el refinamiento de la superficie se logra minimizando la siguiente función de energía compuesta :

${\displaystyle {\underset {x}{\operatorname {arg\,max} }}\,\omega \,\cdot [E_{int},\,E_{dir},\,E_{flux},\,E_{reg},\,E_{bar}]}$

dónde,

${\displaystyle E_{int}=\sum _{v\in M_{T}}\lVert n_{o}-n\rVert _{2}^{2}}$es la energía de integración que alinea las normales de vértice obtenidas del Transporte Óptimo con las normales de destino obtenidas del cálculo de la ley de Snell anterior. ${\displaystyle n_{o}}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle E_{dir}=\sum _{v\in M_{T}}\lVert x-{\textbf {proj}}_{(x_{S},\,d_{I})}(x)\rVert _{2}^{2}}$Como la malla generada en el paso Solución de Transporte Óptimo no puede adaptarse a las instancias agudas de las discontinuidades, esta energía es para penalizar los vértices para que no cambien significativamente a partir del rayo de luz entrante.

${\displaystyle E_{flux}=\sum _{t\in M_{T}}\lVert \Phi _{T}(t)-\Phi _{S}(t_{s})\rVert _{2}^{2}}$es la energía que mide el flujo sobre el triángulo en la malla. ${\displaystyle t}$

${\displaystyle E_{reg}=\lVert {\textbf {L}}{\textbf {X}}\rVert _{2}^{2}}$es la energía que regulariza la forma de los triángulos para mantener su buena forma.

${\displaystyle E_{bar}=\sum _{v\in M_{T}}\lVert max(0,-log((1-n_{R}.(x-x_{R}))+d_{TH})\rVert ^{2}}$es una energía de barrera que garantiza que la superficie no se deforme más allá de un cierto umbral de distancia . ${\displaystyle d_{TH}}$

Diseño de patrón cáustico de representación inversa diferenciable

Principio básico

Los gráficos inversos son un método para observar los datos de una imagen e inferir todas las propiedades posibles, incluida la geometría 3D, la iluminación, los materiales y el movimiento, para generar una imagen realista. ^[15] En los gráficos por computadora convencionales, para renderizar una imagen con la apariencia y los efectos deseados, se le dan todas las propiedades/características relevantes. Esto podría describirse como el método directo. Por el contrario, en el diseño cáustico, las propiedades y características de los objetos (especialmente la superficie del material) no son triviales. La restricción dada es la imagen objetivo a obtener. Por lo tanto, el objetivo es obtener sus propiedades y características observando e infiriendo la imagen objetivo. Esto puede considerarse el método inverso/hacia atrás.

La siguiente es la función de pérdida básica que explica cómo optimizar los parámetros:

${\displaystyle L(c)=\lVert f(c)-I\rVert ^{2}}$

dónde,

L ( c ) : función de pérdida, error cuadrático medio de la imagen renderizada y el objetivo

c : contiene elementos que pueden influir en la imagen generada

I : imagen de destino

Tubería diseñada

Diseño cáustico de renderizado inverso diferenciable

En primer lugar, se diseña el patrón objetivo y se calcula el paso hacia adelante para obtener el patrón sintético. Se compara con el patrón objetivo y se obtiene la pérdida. La objeción es dejar que el patrón sintético sea lo más similar posible al patrón objetivo y luego realizar la propagación hacia atrás para obtener las propiedades optimizadas necesarias para su uso en la fabricación de cáusticos.

Elementos que contribuyen a la imagen generada

• Apariencia ( ): la apariencia de la superficie por píxel se modela como producto de la textura mipmapeada y el brillo por píxel. ${\displaystyle A}$
• Geometría ( ): suponga que una escena 3D se aproxima mediante triángulos, parametrizados por vértices . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$
• Cámara ( ): distancia focal, el punto de vista, el centro de la cámara. ${\displaystyle C}$

Podría haber más elementos, por ejemplo, el albedo y el coeficiente de refracción .

Marco general diferenciable

Introduzca U como una variable intermedia que indica las posiciones de las coordenadas de los vértices proyectados en 2D. El gradiente de estas propiedades se puede derivar indirectamente mediante la regla de la cadena.

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial V}}={\frac {\partial f}{\partial U}}\times {\frac {\partial U}{\partial V}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial V}}={\frac {\partial f}{\partial A}}\times {\frac {\partial A}{\partial V}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial C}}={\frac {\partial f}{\partial U}}\times {\frac {\partial U}{\partial C}}}$

Después de aplicar el descenso de gradiente estocástico , se puede lograr el valor óptimo y . Posteriormente, estas cantidades se utilizan para tallar o fresar el material para generar el patrón objetivo. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle C}$

Implementación

Un enfoque común es utilizar la capacidad de realizar operaciones diferenciales en varios marcos/bibliotecas de autodiferenciación de aprendizaje profundo , como: Tensorflow , PyTorch , Theano .

Otro enfoque consiste en utilizar el marco OpenDR ^[15] para construir un modelo gráfico de avance y obtener automáticamente derivadas con respecto a los parámetros del modelo para la optimización. A medida que se obtienen las propiedades de optimización, se puede generar la imagen de destino. OpenDR proporciona un método de optimización local que se puede incorporar en marcos de programación probabilística. Esto se puede utilizar para resolver el problema de la cáustica.

Fabricación

Proceso de diseño y fabricación

Una vez diseñado computacionalmente el patrón cáustico, los datos procesados ​​se enviarán a la etapa de fabricación para obtener el producto final. El enfoque más común es la fabricación sustractiva ( mecanizado ).

Se pueden utilizar diversos materiales dependiendo de la calidad deseada, el esfuerzo que requiere su fabricación y el método de fabricación disponible.

• Materiales refractivos comunes: acrílico , policarbonato , polietileno , vidrio , diamante.
• Materiales reflectantes comunes: acero , hierro , aluminio , oro , plata , titanio , níquel.

Arquitectura

El diseño de patrones cáusticos tiene muchas aplicaciones en el mundo real, por ejemplo en:

• Luminarias
• Joyas
• Arquitectura
• Producción de vidrio decorativo

Véase también

• Enfoque (óptica)
• Círculo de confusión
• Cáustico (matemáticas)

Referencias

1. Lynch, DK; Livingston, W (2001). "La red cáustica". Color y luz en la naturaleza . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-77504-5.
2. Weinstein, Lev Albertovich (1969). Resonadores abiertos y guías de ondas abiertas . Boulder, Colorado: The Golem Press.
3. Círculo catacáustico. Wolfram MathWorld . Consultado el 17 de julio de 2009.
4. Levi, Mark (2 de abril de 2018). "Enfocándose en las nefroides". Noticias SIAM . Archivado desde el original el 27 de junio de 2023. Consultado el 1 de junio de 2018 .
5. Cáusticos arcoiris
6. Franjas cáusticas
7. Guardado, Juan (2004). "Capítulo 2. Renderizado de cáusticos de agua". En Fernando, Randima (ed.). GPU Gems: técnicas de programación, consejos y trucos para gráficos en tiempo real . Addison-Wesley. ISBN 978-0321228321.
8. "Texturizado de agua cáustica con Unity 3D". Dual Heights Software . Consultado el 28 de mayo de 2017 .
9. Marios Papas (abril de 2011). "Goal Based Caustics" (PDF) . Foro de gráficos informáticos (Proc. Eurographics) . 30 (2): 503–511. doi :10.1111/j.1467-8659.2011.01876.x. Archivado (PDF) desde el original el 11 de mayo de 2021.(Recursos adicionales en el sitio de la Universidad de Dartmouth de Wojciech Jarosz)
10. Villani, Cedric (2009). Transporte óptimo: antiguo y nuevo . Springer-Verlag Berlin Heidelberg. ISBN 978-3-540-71049-3.
11. Philip Ball (febrero de 2013). "Light tamers". New Scientist . 217 (2902): 40–43. Código Bibliográfico :2013NewSc.217...40B. doi :10.1016/S0262-4079(13)60310-3.
12. Coreografiando la luz: un nuevo algoritmo controla patrones de luz llamados "cáusticos" y los organiza en imágenes coherentes
13. Schwartzburg, Yuliy; Testuz, Romain; Tagliasacchi, Andrea; Pauly, Mark (27 de julio de 2014). "Diseño cáustico computacional de alto contraste". ACM Transactions on Graphics . 33 (4): 1–11. doi :10.1145/2601097.2601200.
14. Cédric, Villani (2009). Transporte óptimo, antiguo y nuevo . Springer. ISBN 978-3-540-71050-9.
15. Loper, Matthew M.; Black, Michael J. (2014), "OpenDR: un renderizador diferenciable aproximado", Computer Vision – ECCV 2014 , Springer International Publishing, págs. 154–169, doi : 10.1007/978-3-319-10584-0_11 , ISBN 978-3-319-10583-3

• Born, Max ; Wolf, Emil (1999). Principios de óptica: teoría electromagnética de la propagación, interferencia y difracción de la luz (7.ª ed.). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-64222-4.
• Español​Enfoque natural y estructura fina de la luz: cáusticas y dislocaciones ondulatorias. Prensa CRC. ISBN 978-0-7503-0610-2.

Lectura adicional

• Ferraro, Pietro (1996). "¡Qué cáustico!". El profesor de física . 34 (9): 572–573. Bibcode :1996PhTea..34..572F. doi :10.1119/1.2344572.
• Dachsbacher, Carsten; Liktor, Gábor (febrero de 2011). "Cáusticas de volumen en tiempo real con trazado de haz adaptativo". Simposio sobre gráficos y juegos 3D interactivos . ACM: 47–54.