Lagrangiano promedio

Una nube de olas a gran altitud se formó sobre el área de Hampton en Burra, Australia del Sur, el 16 de enero de 2007.

En mecánica continua , el método lagrangiano promediado de Whitham , o en resumen, el método de Whitham , se utiliza para estudiar la dinámica lagrangiana de trenes de ondas que varían lentamente en un medio no homogéneo (en movimiento) . El método es aplicable tanto a sistemas lineales como no lineales . Como consecuencia directa del promedio utilizado en el método, la acción de las olas es una propiedad conservada del movimiento ondulatorio. Por el contrario, la energía de las olas no necesariamente se conserva debido al intercambio de energía con el movimiento medio. Sin embargo, la energía total, la suma de las energías en el movimiento ondulatorio y el movimiento medio, se conservará durante un lagrangiano invariante en el tiempo . Además, el lagrangiano promediado tiene una fuerte relación con la relación de dispersión del sistema.

El método se debe a Gerald Whitham , quien lo desarrolló en los años 1960. Se utiliza, por ejemplo, en el modelado de ondas de gravedad superficiales en interfaces de fluidos , ^{[1] [2]} y en física del plasma . ^{[3] [4]}

Ecuaciones resultantes para el movimiento ondulatorio puro.

En caso de que esté disponible una formulación lagrangiana de un sistema de mecánica continua , se puede utilizar la metodología lagrangiana promediada para encontrar aproximaciones para la dinámica promedio del movimiento ondulatorio – y (eventualmente) para la interacción entre el movimiento ondulatorio y el movimiento medio – suponiendo que la envolvente La dinámica de las ondas portadoras varía lentamente . El promedio de fase del lagrangiano da como resultado un lagrangiano promediado , que siempre es independiente de la fase de la onda misma (pero depende de cantidades de onda que varían lentamente, como la amplitud , la frecuencia y el número de onda ). Según el teorema de Noether , la variación del Lagrangiano promediado con respecto a la fase de onda invariante da lugar a una ley de conservación : ^[5] ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle \theta ({\boldsymbol {x}},t)}$

${\displaystyle \partial _{t}{\mathcal {A}}+{\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {\mathcal {B}}}=0.}$   ( 1 )

Esta ecuación establece la conservación de la acción de las olas , una generalización del concepto de invariante adiabático de la mecánica continua, con ^[6]

$${\displaystyle {\mathcal {A}}\equiv -{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{t}\theta )}}=+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \omega }}}$$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {B}}}\equiv -{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial ({\boldsymbol {\nabla }}\theta )}}=-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\boldsymbol {k}}}}}$$

siendo la acción de las olas y el flujo de acción de las olas respectivamente. Además y denotan espacio y tiempo respectivamente, mientras que es el operador de gradiente . La frecuencia angular y el número de onda se definen como ^[7] ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {B}}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}}$ ${\displaystyle \omega ({\boldsymbol {x}},t)}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {k}}({\boldsymbol {x}},t)}$

${\displaystyle \omega \equiv -\partial _{t}\theta }$  y    2 )​  ${\displaystyle {\boldsymbol {k}}\equiv +{\boldsymbol {\nabla }}\theta }$

y se supone que ambos varían lentamente. Debido a esta definición, y deben satisfacer las relaciones de consistencia: ${\displaystyle \omega ({\boldsymbol {x}},t)}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {k}}({\boldsymbol {x}},t)}$

${\displaystyle \partial _{t}{\boldsymbol {k}}+{\boldsymbol {\nabla }}\omega ={\boldsymbol {0}}}$  y    ( 3 )  ${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {k}}={\boldsymbol {0}}.}$

La primera ecuación de consistencia se conoce como conservación de las crestas de onda , y la segunda establece que el campo de número de onda es irrotacional (es decir, tiene curvatura cero ). ${\displaystyle {\boldsymbol {k}}({\boldsymbol {x}},t)}$

Método

El enfoque lagrangiano promediado se aplica al movimiento ondulatorio (posiblemente superpuesto a un movimiento medio) que puede describirse en una formulación lagrangiana . Usando un ansatz sobre la forma de la parte ondulatoria del movimiento, se promedia la fase del lagrangiano . Dado que el lagrangiano está asociado con la energía cinética y la energía potencial del movimiento, las oscilaciones contribuyen al lagrangiano, aunque el valor medio de la excursión oscilatoria de la onda es cero (o muy pequeño).

El lagrangiano promediado resultante contiene características de las ondas como el número de onda , la frecuencia angular y la amplitud (o, de manera equivalente, la densidad de energía de la onda o la acción de la onda ). Pero la fase de onda en sí está ausente debido al promedio de fase. En consecuencia, mediante el teorema de Noether , existe una ley de conservación llamada conservación de la acción de las olas.

Originalmente, Whitham desarrolló el método lagrangiano promediado para trenes de ondas dispersivas que varían lentamente . ^[8] Se han realizado varias extensiones, por ejemplo, a componentes de onda que interactúan, ^{[9] [10]} Mecánica hamiltoniana , ^{[8] [11]} efectos modulacionales de orden superior , ^{[12] efectos} de disipación . ^[13]

Formulación variacional

El método lagrangiano promediado requiere la existencia de un lagrangiano que describa el movimiento ondulatorio. Por ejemplo, para un campo , descrito por una densidad lagrangiana , el principio de acción estacionaria es: ^[14] ${\displaystyle \varphi ({\boldsymbol {x}},t)}$ ${\displaystyle L\left(\partial _{t}\varphi ,{\boldsymbol {\nabla }}\varphi ,\varphi \right),}$

$${\displaystyle \delta \left(\iiiint \,L\left(\partial _{t}\varphi ({\boldsymbol {x}},t),{\boldsymbol {\nabla }}\varphi ({\boldsymbol {x}},t),\varphi ({\boldsymbol {x}},t)\right)\,{\text{d}}{\boldsymbol {x}}\,{\text{d}}t\right)=0,}$$

con el operador de gradiente y el operador de derivada temporal . Este principio de acción da como resultado la ecuación de Euler-Lagrange : ^[14] ${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}}$ ${\displaystyle \partial _{t}}$

$${\displaystyle \partial _{t}\left({\frac {\partial L}{\partial \left(\partial _{t}\varphi \right)}}\right)+{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \left({\frac {\partial L}{\partial \left({\boldsymbol {\nabla }}\varphi \right)}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial \varphi }}=0,}$$

que es la ecuación diferencial parcial de segundo orden que describe la dinámica de las ecuaciones diferenciales parciales de orden superior requieren la inclusión de derivadas superiores a las de primer orden en el lagrangiano. ^[14] ${\displaystyle \varphi .}$

Ejemplo

Por ejemplo, considere una ecuación de Klein-Gordon adimensional y no lineal en una dimensión espacial : ^[15] ${\displaystyle x}$

Esta ecuación de Euler-Lagrange surge de la densidad lagrangiana: ^[15]

La aproximación de pequeña amplitud para la ecuación Seno-Gordon se corresponde con el valor ^[16] porque el sistema es lineal y se obtiene la clásica ecuación unidimensional de Klein-Gordon. ${\textstyle \sigma =-{\tfrac {1}{24}}.}$ ${\displaystyle \sigma =0}$

Ondas que varían lentamente

Ondas lineales que varían lentamente

Whitham desarrolló varios enfoques para obtener un método lagrangiano promediado. ^{[14] [17]} El más simple es para trenes de ondas lineales que varían lentamente , cuyo método se aplicará aquí. ^[14]

El tren de ondas que varía lentamente –sin movimiento medio– en un sistema dispersivo lineal se describe como: ^[18]

$${\displaystyle \varphi \sim \Re \left\{A({\boldsymbol {x}},t)\,e^{i\theta ({\boldsymbol {x}},t)}\right\}=a({\boldsymbol {x}},t)\,\cos \left(\theta ({\boldsymbol {x}},t)+\alpha \right),}$$con y $${\displaystyle a=\left|A\right|}$$ $${\displaystyle \alpha =\arg \left\{A\right\},}$$

donde es la fase de onda de valor real , denota el valor absoluto de la amplitud de valor complejo, mientras que es su argumento y denota su parte real . La amplitud y el cambio de fase en valor real se denotan por y respectivamente. ${\displaystyle \theta ({\boldsymbol {x}},t)}$ ${\displaystyle |A|}$ ${\displaystyle A({\boldsymbol {x}},t),}$ ${\displaystyle \arg\{A\}}$ ${\displaystyle \Re \{A\}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \alpha }$

Ahora, por definición , la frecuencia angular y el vector de número de onda se expresan como la derivada del tiempo y el gradiente de la fase de onda como: ^[7] ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {k}}}$ ${\displaystyle \theta ({\boldsymbol {x}},t)}$

$${\displaystyle \omega \equiv -\partial _{t}\theta }$$y $${\displaystyle {\boldsymbol {k}}\equiv +{\boldsymbol {\nabla }}\theta .}$$

En consecuencia, y deben satisfacer las relaciones de consistencia: ${\displaystyle \omega ({\boldsymbol {x}},t)}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {k}}({\boldsymbol {x}},t)}$

$${\displaystyle \partial _{t}{\boldsymbol {k}}+{\boldsymbol {\nabla }}\omega ={\boldsymbol {0}}}$$y $${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {k}}={\boldsymbol {0}}.}$$

Estas dos relaciones de consistencia denotan la "conservación de las crestas de las ondas" y la irrotacionalidad del campo del número de ondas.

Debido a la suposición de variaciones lentas en el tren de ondas, así como en un posible medio no homogéneo y movimiento medio, las cantidades varían lentamente en el espacio y el tiempo , pero la fase de la onda en sí no varía lentamente. En consecuencia, las derivadas de y se ignoran en la determinación de las derivadas de para su uso en el Lagrangiano promediado: ^[14] ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle \omega ,}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {k}}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle \omega ,}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {k}}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \varphi ({\boldsymbol {x}},t)}$

$${\displaystyle \partial _{t}\varphi \approx +\omega \,a\,\sin(\theta +\alpha )}$$y $${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\varphi \approx -{\boldsymbol {k}}\,a\,\sin(\theta +\alpha ).}$$

A continuación, estos supuestos y sus derivadas se aplican a la densidad lagrangiana. ${\displaystyle \varphi ({\boldsymbol {x}},t)}$ ${\displaystyle L\left(\partial _{t}\varphi ,{\boldsymbol {\nabla }}\varphi ,\varphi \right).}$

Ondas no lineales que varían lentamente

Son posibles varios enfoques para trenes de ondas no lineales que varían lentamente . Uno es mediante el uso de expansiones de Stokes , ^{[19] utilizadas por Whitham para analizar} ondas de Stokes que varían lentamente . ^[20] Una expansión de Stokes del campo se puede escribir como: ^[19] ${\displaystyle \varphi ({\boldsymbol {x}},t)}$

$${\displaystyle \varphi =a\,\cos \left(\theta +\alpha \right)+a_{2}\,\cos \left(2\theta +\alpha _{2}\right)+a_{3}\,\cos \left(3\theta +\alpha _{3}\right)+\cdots ,}$$

donde las amplitudes, etc. varían lentamente, al igual que las fases , etc. En cuanto al caso de la onda lineal, en el orden más bajo (en lo que respecta a los efectos modulacionales ) se desprecian las derivadas de las amplitudes y las fases, excepto las derivadas y las de la fase rápida. : ${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle a_{2},}$ ${\displaystyle \alpha ,}$ ${\displaystyle \alpha _{2},}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {k}}}$ ${\displaystyle \theta }$

$${\displaystyle \partial _{t}\varphi \approx +\omega a\,\sin \left(\theta +\alpha \right)+2\omega a_{2}\,\sin \left(2\theta +\alpha _{2}\right)+3\omega a_{3}\,\sin \left(3\theta +\alpha _{3}\right)+\cdots ,}$$y $${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\varphi \approx -{\boldsymbol {k}}a\,\sin \left(\theta +\alpha \right)-2{\boldsymbol {k}}a_{2}\,\sin \left(2\theta +\alpha _{2}\right)-3{\boldsymbol {k}}a_{3}\,\sin \left(3\theta +\alpha _{3}\right)+\cdots .}$$

Estas aproximaciones se aplicarán en la densidad lagrangiana y su promedio de fase. ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle {\bar {L}}.}$

Lagrangiano promedio para ondas que varían lentamente

Para el movimiento ondulatorio puro, el lagrangiano se expresa en términos del campo y sus derivadas. ^{[14] [17]} En el método lagrangiano promediado, los supuestos anteriores sobre el campo –y sus derivadas– se aplican para calcular el lagrangiano. A continuación se promedia el lagrangiano a lo largo de la fase de onda : ^[14] ${\displaystyle L\left(\partial _{t}\varphi ,{\boldsymbol {\nabla }}\varphi ,\varphi \right)}$ ${\displaystyle \varphi ({\boldsymbol {x}},t)}$ ${\displaystyle \varphi ({\boldsymbol {x}},t)}$ ${\displaystyle \theta }$

$${\displaystyle {\bar {L}}={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }L\left(\partial _{t}\varphi ,{\boldsymbol {\nabla }}\varphi ,\varphi \right){\text{d}}\theta .}$$

Como último paso, este resultado promedio se puede expresar como la densidad lagrangiana promediada , que es función de los parámetros que varían lentamente e independiente de la fase de la onda misma. ^[14] ${\displaystyle {\bar {L}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}(\omega ,{\boldsymbol {k}},a)}$ ${\displaystyle \omega ,}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {k}}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \theta }$

Whitham propone ahora que la densidad lagrangiana promediada siga el principio variacional promedio : ^[14] ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

${\displaystyle \delta \iint {\mathcal {L}}(\omega ,{\boldsymbol {k}},a)\,{\text{d}}{\boldsymbol {x}}\,{\text{d}}t=0.}$

De las variaciones de siguen las ecuaciones dinámicas para las propiedades de las ondas que varían lentamente. ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

Ejemplo

Continuando con el ejemplo de la ecuación no lineal de Klein-Gordon, consulte las ecuaciones 4 y 5 , y aplicando las aproximaciones anteriores para y (para este ejemplo 1D) en la densidad lagrangiana, el resultado después de promediar es: ${\displaystyle \varphi ,}$ ${\displaystyle \partial _{t}\varphi }$ ${\displaystyle \partial _{x}\varphi }$ ${\displaystyle \theta }$

$${\displaystyle {\bar {L}}={\tfrac {1}{4}}\left(\omega ^{2}-k^{2}-1\right)a^{2}-{\tfrac {3}{32}}\sigma a^{4}+\left(\omega ^{2}-k^{2}-{\tfrac {1}{4}}\right)a_{2}^{2}+{\mathcal {O}}{\left(a^{6}\right)},}$$donde se ha asumido que, en notación O grande , y . La variación de con respecto a conduce a Entonces, el lagrangiano promediado es: ${\displaystyle a_{2}={\mathcal {O}}(a^{2})}$ ${\displaystyle a_{3}={\mathcal {O}}(a^{3})}$ ${\displaystyle {\bar {L}}}$ ${\displaystyle a_{2}}$ ${\displaystyle a_{2}=0.}$

Para el movimiento ondulatorio lineal, el lagrangiano promediado se obtiene igualando a cero. ${\displaystyle \sigma }$

Conjunto de ecuaciones que surgen del lagrangiano promediado

Aplicando el principio de Lagrangiano promediado, la variación con respecto a la fase del oleaje conduce a la conservación de la acción del oleaje: ${\displaystyle \theta }$

$${\displaystyle \partial _{t}\left(+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \omega }}\right)+{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \left(-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\boldsymbol {k}}}}\right)=0,}$$

desde y mientras la fase de onda no aparece en la densidad lagrangiana promediada debido al promedio de fase. Definiendo la acción de las olas como y el flujo de la acción de las olas como resultado es: ${\displaystyle \omega =-\partial _{t}\theta }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {k}}={\boldsymbol {\nabla }}\theta }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}\equiv +\partial {\mathcal {L}}/\partial \omega }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {B}}}\equiv -\partial {\mathcal {L}}/\partial {\boldsymbol {k}}}$

$${\displaystyle \partial _{t}{\mathcal {A}}+{\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {\mathcal {B}}}=0.}$$

La ecuación de la acción de las olas va acompañada de las ecuaciones de consistencia para y que son: ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {k}}}$

$${\displaystyle \partial _{t}{\boldsymbol {k}}+{\boldsymbol {\nabla }}\omega ={\boldsymbol {0}}}$$y $${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {k}}={\boldsymbol {0}}.}$$

La variación con respecto a la amplitud conduce a la relación de dispersión. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \partial {\mathcal {L}}/\partial a=0.}$

Ejemplo

Continuando con la ecuación no lineal de Klein-Gordon, utilizando el principio variacional promedio en la ecuación 6 , la ecuación de acción de las olas se convierte en variación con respecto a la fase de la onda y la relación de dispersión no lineal se deriva de la variación con respecto a la amplitud. ${\displaystyle \theta :}$ $${\displaystyle \partial _{t}\left({\tfrac {1}{2}}\omega a^{2}\right)+\partial _{x}\left({\tfrac {1}{2}}ka^{2}\right)=0,}$$ ${\displaystyle a:}$ $${\displaystyle \omega ^{2}=k^{2}+1+{\tfrac {3}{4}}\sigma a^{2}.}$$

Entonces la acción de las olas es y el flujo de la acción de las olas La velocidad del grupo es ${\textstyle {\mathcal {A}}={\tfrac {1}{2}}\omega a^{2}}$ ${\textstyle {\mathcal {B}}={\tfrac {1}{2}}ka^{2}.}$ ${\displaystyle v_{g}}$ ${\displaystyle v_{g}\equiv {\mathcal {B}}/{\mathcal {A}}=k/\omega .}$

Movimiento medio y pseudofase.

Conservación de la acción de las olas.

El Lagrangiano promediado se obtiene integrando el Lagrangiano sobre la fase de onda . Como resultado, el lagrangiano promediado sólo contiene las derivadas de la fase de la onda (siendo estas derivadas, por definición, la frecuencia angular y el número de onda) y no depende de la fase de la onda misma. Por tanto, las soluciones serán independientes de la elección del nivel cero para la fase de onda. En consecuencia, según el teorema de Noether , la variación del Lagrangiano promediado con respecto a la fase de onda da como resultado una ley de conservación : ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle {\bar {\mathcal {L}}}}$

${\displaystyle \partial _{t}{\mathcal {A}}+{\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {\mathcal {B}}}=0,}$

dónde

• $${\displaystyle {\mathcal {A}}\equiv {\frac {\delta {\bar {\mathcal {L}}}}{\delta \omega }}=-{\frac {\delta {\bar {\mathcal {L}}}}{\delta \left(\partial _{t}\theta \right)}},}$$
• $${\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {B}}}\equiv -{\frac {\delta {\bar {\mathcal {L}}}}{\delta {\boldsymbol {k}}}}=-{\frac {\delta {\bar {\mathcal {L}}}}{\delta \left({\boldsymbol {\nabla }}\theta \right)}},}$$

con la acción de las olas y el flujo de la acción de las olas . Además, denota la derivada parcial con respecto al tiempo y es el operador de gradiente . Por definición, la velocidad del grupo viene dada por: ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {B}}}}$ ${\displaystyle \partial _{t}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{g}}$

$${\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {B}}}\equiv {\boldsymbol {v}}_{g}{\mathcal {A}}.}$$

Tenga en cuenta que, en general, no es necesario conservar la energía del movimiento ondulatorio, ya que puede haber un intercambio de energía con un flujo medio. La energía total (la suma de las energías del movimiento ondulatorio y el flujo medio) se conserva (cuando no hay trabajo de fuerzas externas ni disipación de energía ).

La conservación de la acción de las olas también se encuentra aplicando el método de la media lagrangiana generalizada (GLM) a las ecuaciones del flujo combinado de ondas y el movimiento medio, utilizando la mecánica newtoniana en lugar de un enfoque variacional. ^[21]

Conservación de energía y momento.

Conexión con la relación de dispersión.

El movimiento ondulatorio puro mediante modelos lineales siempre conduce a una densidad lagrangiana promediada de la forma: ^[14] $${\displaystyle {\mathcal {L}}=G(\omega ,{\boldsymbol {k}})a^{2}.}$$

En consecuencia, la variación con respecto a la amplitud: da ${\displaystyle \partial {\mathcal {L}}/\partial a=0}$ $${\displaystyle G(\omega ,{\boldsymbol {k}})=0.}$$

Entonces esta resulta ser la relación de dispersión para las ondas lineales, y el Lagrangiano promediado para ondas lineales es siempre la función de dispersión multiplicada por la amplitud al cuadrado. ${\displaystyle G(\omega ,{\boldsymbol {k}})}$

De manera más general, para ondas débilmente no lineales y lentamente moduladas que se propagan en una dimensión espacial e incluyen efectos de dispersión de orden superior (sin descuidar las derivadas de tiempo y espacio y de la amplitud al tomar derivadas, donde es un pequeño parámetro de modulación), la densidad lagrangiana promediada es de la forma: ^[22] con las variables lentas y ${\displaystyle \partial _{t}a}$ ${\displaystyle \partial _{x}a}$ ${\displaystyle a(\mu x,\mu t)}$ ${\displaystyle \mu \ll 1}$ $${\displaystyle {\mathcal {L}}=G(\omega ,k)a^{2}+G_{2}(\omega ,k)a^{4}+{\tfrac {1}{2}}\mu ^{2}\left(G_{\omega \omega }(\partial _{T}a)^{2}+2G_{\omega k}(\partial _{T}a)(\partial _{X}a)+G_{kk}(\partial _{X}a)^{2}\right),}$$ ${\displaystyle X=\mu x}$ ${\displaystyle T=\mu t.}$

Referencias

Notas

1. Grimshaw (1984)
2. Janssen (2004, págs. 16-24)
3. Dewar (1970)
4. Craik (1988, pág.17)
5. Whitham (1974, págs. 395–397)
6. Bretherton y Garrett (1968)
7. Whitham (1974, pág. 382)
8. Whitham (1965)
9. Simmons (1969)
10. Willebrand (1975)
11. Hayes (1973)
12. Yuen y el lago (1975)
13. Jiménez y Whitham (1976)
14. Whitham (1974, págs. 390–397)
15. Whitham (1974, págs. 522–523)
16. Whitham (1974, pág.487)
17. Whitham (1974, págs. 491–510)
18. Whitham (1974, pág.385)
19. Whitham (1974, pág.498)
20. Whitham (1974, §§16.6–16.13)
21. Andrews y McIntyre (1978)
22. Whitham (1974, págs. 522–526)

Publicaciones de Whitham sobre el método.

Se puede encontrar una descripción general en el libro:

• Whitham, GB (1974), Ondas lineales y no lineales , Wiley-Interscience, ISBN 0-471-94090-9

Algunas publicaciones de Whitham sobre el método son:

• Whitham, GB (1965), "Un enfoque general de las ondas dispersivas lineales y no lineales utilizando un lagrangiano", Journal of Fluid Mechanics , 22 (2): 273–283, Bibcode :1965JFM....22..273W, doi :10.1017/S0022112065000745
• —— (1967a). "Dispersión no lineal de ondas de agua". Revista de mecánica de fluidos . 27 (2): 399–412. Código bibliográfico : 1967JFM....27..399W. doi :10.1017/S0022112067000424.
• —— (1967b), "Métodos variacionales y aplicaciones a las ondas de agua", Actas de la Royal Society of London A: Mathematical and Physical Sciences , 299 (1456): 6–25, Bibcode :1967RSPSA.299....6W, doi :10.1098/rspa.1967.0119
• —— (1970), "Dos tiempos, principios variacionales y ondas" (PDF) , Journal of Fluid Mechanics , 44 (2): 373–395, Bibcode :1970JFM....44..373W, doi :10.1017/ S002211207000188X
• Jiménez, J.; Whitham, GB (1976), "Un método lagrangiano promediado para trenes de ondas disipativos", Actas de la Royal Society of London A: Mathematical and Physical Sciences , 349 (1658): 277–287, Bibcode :1976RSPSA.349..277J, doi :10.1098/rspa.1976.0073

Otras lecturas

• Andrews, director general; McIntyre, ME (1978), "Sobre la acción de las olas y sus parientes" (PDF) , Journal of Fluid Mechanics , 89 (4): 647–664, Bibcode :1978JFM....89..647A, doi :10.1017/ S0022112078002785
• Badín, G.; Crisciani, F. (2018). Formulación variacional de la dinámica de fluidos y geofísica - Mecánica, simetrías y leyes de conservación - . Saltador. pag. 218.doi :10.1007/978-3-319-59695-2 . ISBN 978-3-319-59694-5.
• Bretherton, FP ; Garrett, CJR (1968), "Wavetrains in inhomogeneous moving media", Actas de la Royal Society of London A: Mathematical and Physical Sciences , 302 (1471): 529–554, Bibcode :1968RSPSA.302..529B, doi :10.1098 /rspa.1968.0034
• Craik, ADD (1988), Interacciones de ondas y flujos de fluidos , Cambridge University Press, ISBN 9780521368292
• Dewar, RL (1970), "Interacción entre ondas hidromagnéticas y un medio no homogéneo y dependiente del tiempo", Física de fluidos , 13 (11): 2710–2720, Bibcode :1970PhFl...13.2710D, doi :10.1063/1.1692854, ISSN  0031-9171
• Grimshaw, R. (1984), "Acción de las olas e interacción onda-flujo medio, con aplicación a flujos cortantes estratificados", Annual Review of Fluid Mechanics , 16 : 11–44, Bibcode : 1984AnRFM..16...11G, doi :10.1146/annurev.fl.16.010184.000303
• Hayes, WD (1970), "Conservación de la acción y la acción modal de las olas", Actas de la Royal Society of London A: Ciencias físicas y matemáticas , 320 (1541): 187–208, Bibcode :1970RSPSA.320..187H, doi :10.1098/rspa.1970.0205
• Hayes, WD (1973), "Velocidad de grupo y propagación de ondas dispersivas no lineales", Actas de la Royal Society of London A: Ciencias físicas y matemáticas , 332 (1589): 199–221, Bibcode :1973RSPSA.332..199H, doi :10.1098/rspa.1973.0021
• Holm, DD (2002), "Promedios lagrangianos, lagrangianos promediados y los efectos medios de las fluctuaciones en la dinámica de fluidos", Caos , 12 (2): 518–530, Bibcode :2002Chaos..12..518H, doi :10.1063/ 1.1460941, PMID  12779582
• Janssen, PAEM (2004), La interacción de las olas del océano y el viento , Cambridge University Press, ISBN 9780521465403
• Radder, AC (1999), "Dinámica hamiltoniana de las ondas del agua", en Liu, PL-F. (ed.), Avances en ingeniería costera y oceánica , vol. 4, World Scientific, págs. 21–59, ISBN 9789810233105
• Sedletsky, YV (2012), "Adición de términos dispersivos al método de Lagrangiano promediado", Física de fluidos , 24 (6): 062105 (15 págs.), Bibcode :2012PhFl...24f2105S, doi :10.1063/1.4729612
• Simmons, WF (1969), "Un método variacional para interacciones de ondas resonantes débiles", Actas de la Royal Society of London A: Mathematical and Physical Sciences , 309 (1499): 551–577, Bibcode :1969RSPSA.309..551S, doi :10.1098/rspa.1969.0056
• Willebrand, J. (1975), "Transporte de energía en un campo de ondas de gravedad aleatoria no lineal y no homogéneo", Journal of Fluid Mechanics , 70 (1): 113–126, Bibcode :1975JFM....70..113W, doi : 10.1017/S0022112075001929
• Yuen, HC; Lake, BM (1975), "Ondas no lineales de aguas profundas: teoría y experimento", Física de fluidos , 18 (8): 956–960, Bibcode :1975PhFl...18..956Y, doi :10.1063/1.861268
• Yuen, HC; Lake, BM (1980), "Inestabilidades de olas en aguas profundas", Annual Review of Fluid Mechanics , 12 : 303–334, Bibcode :1980AnRFM..12..303Y, doi :10.1146/annurev.fl.12.010180.001511