Volatilidad local

Un modelo de volatilidad local , en finanzas matemáticas e ingeniería financiera , es un modelo de valoración de opciones que trata la volatilidad como una función tanto del nivel de activos actual como del tiempo . Como tal, es una generalización del modelo de Black-Scholes , donde la volatilidad es una constante (es decir, una función trivial de y ). Los modelos de volatilidad local a menudo se comparan con los modelos de volatilidad estocástica , donde la volatilidad instantánea no es sólo una función del nivel de activos sino que también depende de una nueva aleatoriedad "global" proveniente de un componente aleatorio adicional. ${\displaystyle S_{t}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle S_{t}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle S_{t}}$

Formulación

En finanzas matemáticas , normalmente se supone que el activo S _t que subyace a un derivado financiero sigue una ecuación diferencial estocástica de la forma

${\displaystyle dS_{t}=(r_{t}-d_{t})S_{t}\,dt+\sigma _{t}S_{t}\,dW_{t}}$,

bajo la medida neutral al riesgo, donde es la tasa libre de riesgo instantánea , que da una dirección local promedio a la dinámica, y es un proceso de Wiener , que representa la entrada de aleatoriedad en la dinámica. La amplitud de esta aleatoriedad se mide por la volatilidad instantánea . En el modelo más simple, es decir, el modelo de Black-Scholes , se supone que es constante o, como mucho, una función determinista del tiempo; en realidad, la volatilidad observada de un subyacente varía con el tiempo y con el propio subyacente. ${\displaystyle r_{t}}$ ${\displaystyle W_{t}}$ ${\displaystyle \sigma _{t}}$ ${\displaystyle \sigma _{t}}$

Cuando dicha volatilidad tiene su propia aleatoriedad (a menudo descrita por una ecuación diferente impulsada por una W diferente ), el modelo anterior se denomina modelo de volatilidad estocástica . Y cuando dicha volatilidad es simplemente una función del nivel actual del activo subyacente _St y del tiempo t , tenemos un modelo de volatilidad local. El modelo de volatilidad local es una simplificación útil del modelo de volatilidad estocástica.

Por tanto, "volatilidad local" es un término utilizado en finanzas cuantitativas para denotar el conjunto de coeficientes de difusión, que son consistentes con los precios de mercado para todas las opciones sobre un subyacente determinado, lo que produce un modelo de precios de activos del tipo ${\displaystyle \sigma _{t}=\sigma (S_{t},t)}$

${\displaystyle dS_{t}=(r_{t}-d_{t})S_{t}\,dt+\sigma (S_{t},t)S_{t}\,dW_{t}.}$

Este modelo se utiliza para calcular valoraciones de opciones exóticas que son consistentes con los precios observados de las opciones estándar .

Desarrollo

El concepto de volatilidad local totalmente consistente con los mercados de opciones se desarrolló cuando Bruno Dupire ^[1] y Emanuel Derman e Iraj Kani ^[2] observaron que existe un proceso de difusión único consistente con las densidades neutrales al riesgo derivadas de los precios de mercado de las opciones europeas. .

Derman y Kani describieron e implementaron una función de volatilidad local para modelar la volatilidad instantánea. Usaron esta función en cada nodo en un modelo de valoración de opciones binomiales . El árbol produjo con éxito valoraciones de opciones consistentes con todos los precios del mercado durante los ejercicios y vencimientos. ^[2] El modelo Derman-Kani se formuló así con pasos discretos de tiempo y precio de las acciones. (Derman y Kani produjeron lo que se llama un " árbol binomial implícito "; con Neil Chriss extendieron esto a un árbol trinomio implícito . El proceso de ajuste del árbol binomial implícito era numéricamente inestable).

Las ecuaciones clave en tiempo continuo utilizadas en los modelos de volatilidad local fueron desarrolladas por Bruno Dupire ^[1] en 1994. La ecuación de Dupire establece

${\displaystyle {\frac {\partial C}{\partial T}}={\frac {1}{2}}\sigma ^{2}(K,T;S_{0})K^{2}{\frac {\partial ^{2}C}{\partial K^{2}}}-(r-d)K{\frac {\partial C}{\partial K}}-dC}$

Para calcular las derivadas parciales, existen pocas parametrizaciones conocidas de la superficie de volatilidad implícita basadas en el modelo de Heston: Schönbucher, SVI y gSVI. Otras técnicas incluyen una combinación de distribución lognormal y colocación estocástica. ^[3]

Derivación

Dado el precio del activo regido por la SDE neutral al riesgo ${\displaystyle S_{t}}$

${\displaystyle dS_{t}=(r-d)S_{t}dt+\sigma (t,S_{t})S_{t}dW_{t}}$

La probabilidad de transición condicional a satisface la ecuación directa de Kolmogorov (también conocida como ecuación de Fokker-Planck ) ${\displaystyle p(t,S_{t})}$ ${\displaystyle S_{0}}$

${\displaystyle p_{t}=-[(r-d)s\,p]_{s}+{\frac {1}{2}}[(\sigma s)^{2}p]_{ss}}$

donde, por brevedad, la notación denota la derivada parcial de la función f con respecto a x y donde la notación denota la derivada parcial de segundo orden de la función f con respecto a x. es así la derivada parcial de la densidad con respecto a t y por ejemplo es la segunda derivada de con respecto a S. p denotará , y dentro de la integral . ${\displaystyle f_{x}}$ ${\displaystyle f_{xx}}$ ${\displaystyle p_{t}}$ ${\displaystyle p(t,S)}$ ${\displaystyle [(\sigma s)^{2}p]_{ss}}$ ${\displaystyle (\sigma (t,S)S)^{2}p(t,S)}$ ${\displaystyle p(t,S)}$ ${\displaystyle p(t,s)}$

Debido al teorema de precios de la martingala , el precio de una opción de compra con vencimiento y ejercicio es ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle {\begin{aligned}C&=e^{-rT}\mathbb {E} ^{Q}[(S_{T}-K)^{+}]\\&=e^{-rT}\int _{K}^{\infty }(s-K)\,p\,ds\\&=e^{-rT}\int _{K}^{\infty }s\,p\,ds-K\,e^{-rT}\int _{K}^{\infty }p\,ds\end{aligned}}}$

Diferenciar el precio de una opción de compra con respecto a ${\displaystyle K}$

${\displaystyle C_{K}=-e^{-rT}\int _{K}^{\infty }p\;ds}$

y reemplazar en la fórmula el precio de una opción de compra y reorganizar los términos

${\displaystyle e^{-rT}\int _{K}^{\infty }s\,p\,ds=C-K\,C_{K}}$

Diferenciar el precio de una opción de compra con respecto al doble ${\displaystyle K}$

${\displaystyle C_{KK}=e^{-rT}p}$

Diferenciar el precio de una opción de compra respecto de los rendimientos ${\displaystyle T}$

${\displaystyle C_{T}=-r\,C+e^{-rT}\int _{K}^{\infty }(s-K)p_{T}ds}$

usando la ecuación de Forward Kolmogorov

${\displaystyle C_{T}=-r\,C-e^{-rT}\int _{K}^{\infty }(s-K)[(r-d)s\,p]_{s}\,ds+{\frac {1}{2}}e^{-rT}\int _{K}^{\infty }(s-K)[(\sigma s)^{2}\,p]_{ss}\,ds}$

integrando por partes la primera integral una vez y la segunda integral dos veces

${\displaystyle C_{T}=-r\,C+(r-d)e^{-rT}\int _{K}^{\infty }s\,p\,ds+{\frac {1}{2}}e^{-rT}(\sigma K)^{2}\,p}$

utilizando las fórmulas derivadas diferenciando el precio de una opción de compra respecto de ${\displaystyle K}$

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{T}&=-r\,C+(r-d)(C-K\,C_{K})+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}K^{2}C_{KK}\\&=-(r-d)K\,C_{K}-d\,C+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}K^{2}C_{KK}\end{aligned}}}$

Modelos paramétricos de volatilidad local

El enfoque de Dupire no es paramétrico. Requiere preinterpolar los datos para obtener un continuo de precios negociados y la elección de un tipo de interpolación. ^[1] Como alternativa, se pueden formular modelos paramétricos de volatilidad local. A continuación se presentan algunos ejemplos.

modelo soltera

El modelo de Bachelier se inspiró en el trabajo de Louis Bachelier de 1900. Este modelo, al menos para activos con deriva cero, por ejemplo, precios a plazo o tipos de interés a plazo según su medida a plazo, puede verse como un modelo de volatilidad local.

${\displaystyle dF_{t}=v\,dW_{t}}$.

En el modelo de Bachelier el coeficiente de difusión es una constante , por lo que tenemos , implicando . A medida que las tasas de interés se volvieron negativas en muchas economías, ^[4] el modelo de Bachelier se volvió interesante, ya que puede modelar tasas forward negativas F a través de su distribución gaussiana. ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \sigma (F_{t},t)F_{t}=v}$ ${\displaystyle \sigma (F_{t},t)=v/F_{t}}$

Modelo de difusión desplazada

Este modelo fue introducido por Mark Rubinstein . ^[5] Para el precio de una acción, sigue la dinámica

${\displaystyle dS_{t}=rS_{t}\,dt+\sigma (S_{t}-\beta e^{rt})\,dW_{t}}$

donde por simplicidad asumimos un rendimiento por dividendo cero. El modelo se puede obtener con un cambio de variable a partir de un modelo estándar de Black-Scholes de la siguiente manera. Al configurarlo, es inmediato ver que Y sigue un modelo estándar de Black-Scholes. ${\displaystyle Y_{t}=S_{t}-\beta e^{rt}}$

${\displaystyle dY_{t}=rY_{t}\,dt+\sigma Y_{t}\,dW_{t}.}$

Como el SDE es un movimiento browniano geométrico , tiene una distribución lognormal , y dado que el modelo S también se llama modelo lognormal desplazado, siendo el desplazamiento en el tiempo t . Para fijar el precio de una opción de compra con ejercicio K sobre S, simplemente se escribe el pago donde H es el nuevo ejercicio . Como Y sigue un modelo Black Scholes, el precio de la opción se convierte en un precio Black Scholes con ejercicio modificado y es fácil de obtener. El modelo produce una curva de sonrisa de volatilidad monótona, cuyo patrón es decreciente para valores negativos . ^[6] Además, para , negativo , de ello se deduce que al activo S se le permite tomar valores negativos con probabilidad positiva. Esto es útil, por ejemplo, en la modelización de tipos de interés, donde los tipos negativos han estado afectando a varias economías. ^[4] ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle S_{t}=Y_{t}+\beta e^{rt}}$ ${\displaystyle \beta e^{rt}}$ ${\displaystyle (S_{T}-K)^{+}=(Y_{T}+\beta e^{rT}-K)^{+}=(Y_{T}-H)^{+}}$ ${\displaystyle H=K-\beta e^{rT}}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle S_{t}=Y_{t}+\beta e^{rt}}$

modelo CEV

El modelo de elasticidad de varianza constante (CEV) es un modelo de volatilidad local donde la dinámica de las acciones es, bajo la medida neutral al riesgo y suponiendo que no haya dividendos,

${\displaystyle \mathrm {d} S_{t}=rS_{t}\mathrm {d} t+\sigma S_{t}^{\gamma }\mathrm {d} W_{t},}$

para una tasa de interés constante r, una constante positiva y un exponente, de modo que en este caso ${\displaystyle \sigma >0}$ ${\displaystyle \gamma \geq 0,}$

${\displaystyle \sigma (S_{t},t)=\sigma S_{t}^{\gamma -1}.}$

El modelo se clasifica en ocasiones como modelo de volatilidad estocástica , aunque según la definición aquí dada, es un modelo de volatilidad local, ya que no hay nueva aleatoriedad en el coeficiente de difusión. Este modelo y las referencias relacionadas se muestran en detalle en la página relacionada .

El modelo de dinámica de mezclas lognormal.

Este modelo ha sido desarrollado desde 1998 hasta 2021 en varias versiones por Damiano Brigo , Fabio Mercurio y coautores. Carol Alexander estudió los efectos de la sonrisa a corto y largo plazo. ^[7] El punto de partida es la fórmula básica de Black Scholes, proveniente de la dinámica neutral al riesgo con volatilidad determinista constante y con función de densidad de probabilidad lognormal denotada por . En el modelo de Black Scholes, el precio de una opción europea no dependiente de la trayectoria se obtiene mediante la integración del pago de la opción contra esta densidad lognormal al vencimiento. La idea básica del modelo de dinámica de mezclas lognormal ^[8] es considerar densidades lognormales, como en el modelo de Black Scholes, pero para un número de posibles volatilidades deterministas constantes , donde llamamos densidad lognormal de un modelo de Black Scholes con volatilidad . Al modelar el precio de una acción, Brigo y Mercurio ^[9] construyen un modelo de volatilidad local ${\displaystyle dS_{t}=rS_{t}dt+\sigma S_{t}dW_{t},}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle p_{t,\sigma }^{lognormal}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \sigma _{1},\ldots ,\sigma _{N}}$ ${\displaystyle p_{i,t}=p_{t,\sigma _{i}}^{lognormal}}$ ${\displaystyle \sigma _{i}}$

${\displaystyle dS_{t}=rS_{t}dt+\sigma _{mix}(t,S_{t})S_{t}\ dW_{t},}$

donde se define de manera que la distribución sea neutral al riesgo de la mezcla requerida de densidades lognormales , de modo que la densidad del precio de las acciones resultante sea donde y . Los 's son los pesos de las diferentes densidades incluidas en la mezcla. La volatilidad instantánea se define como ${\displaystyle \sigma _{mix}(t,S_{t})}$ ${\displaystyle S_{t}}$ ${\displaystyle p_{i,t}}$ ${\displaystyle p_{S_{t}}(y)=:p_{t}(y)=\sum _{i=1}^{N}\lambda _{i}p_{i,t}(y)=\sum _{i=1}^{N}\lambda _{i}p_{t,\sigma _{i}}^{lognormal}(y)}$ ${\displaystyle \lambda _{i}\in (0,1)}$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}\lambda _{i}=1}$ ${\displaystyle \lambda _{i}}$ ${\displaystyle p_{i,t}}$

${\displaystyle \sigma _{mix}(t,y)^{2}={\frac {1}{\sum _{j}\lambda _{j}p_{j,t}(y)}}\sum _{i}\lambda _{i}\sigma _{i}^{2}p_{i,t}(y),}$o más en detalle

${\displaystyle \sigma _{mix}(t,y)^{2}={\frac {\sum _{i=1}^{N}\lambda _{i}\sigma _{i}^{2}\ {\frac {1}{\sigma _{i}{\sqrt {t}}}}\exp \left\{-{\frac {1}{2\sigma _{i}^{2}t}}\left[\ln {\frac {y}{S_{0}}}-rt+{\tfrac {1}{2}}\sigma _{i}^{2}t\right]^{2}\right\}}{\sum _{j=1}^{N}\lambda _{j}{\frac {1}{\sigma _{j}{\sqrt {t}}}}\exp \left\{-{\frac {1}{2\sigma _{j}^{2}t}}\left[\ln {\frac {y}{S_{0}}}-rt+{\tfrac {1}{2}}\sigma _{j}^{2}t\right]^{2}\right\}}}}$

para ; El modelo original tiene una regularización del coeficiente de difusión en un pequeño intervalo de tiempo inicial . ^[9] Con este ajuste, el SDE tiene una solución fuerte única cuya densidad marginal es la mezcla deseada. Se puede escribir además dónde y . Esto muestra que es un "promedio ponderado" de los 's con pesos ${\displaystyle (t,y)>(0,0)}$ ${\displaystyle \sigma _{mix}(t,y)=\sigma _{0}}$ ${\displaystyle (t,y)=(0,s_{0}).}$ ${\displaystyle [0,\epsilon ]}$ ${\displaystyle \sigma _{mix}}$ ${\displaystyle p_{S_{t}}=\sum _{i}\lambda _{i}p_{i,t}.}$ ${\displaystyle \sigma _{mix}^{2}(t,y)=\sum _{i=1}^{N}\Lambda _{i}(t,y)\sigma _{i}^{2},}$ ${\displaystyle \Lambda _{i}(t,y)\in (0,1)}$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}\Lambda _{i}(t,y)=1}$ ${\displaystyle \sigma _{mix}^{2}(t,y)}$ ${\displaystyle \sigma _{i}^{2}}$

${\displaystyle \Lambda _{i}(t,y)={\frac {\lambda _{i}\ p_{i,t}(y)}{\sum _{j}\lambda _{j}\ p_{j,t}(y)}}.}$

El precio de una opción en este modelo es muy sencillo de calcular. Si denota la expectativa neutral al riesgo, según el teorema de fijación de precios de martingala, el precio de una opción de compra en S con ejercicio K y vencimiento T viene dado por dónde está el precio de compra correspondiente en un modelo de Black Scholes con volatilidad . El precio de la opción viene dado por una fórmula de forma cerrada y es una combinación lineal convexa de los precios de Black Scholes de opciones de compra con volatilidades ponderadas por . Lo mismo se aplica a las opciones de venta y a todos los demás derechos contingentes simples. La misma combinación convexa se aplica también a varias opciones griegas como Delta, Gamma, Rho y Theta. La dinámica de mezcla es un modelo flexible, ya que se puede seleccionar el número de componentes según la complejidad de la sonrisa. La optimización de los parámetros y , y un posible parámetro de cambio, permite reproducir la mayoría de las sonrisas del mercado. El modelo se ha utilizado con éxito en los mercados de acciones, ^[10] FX, ^[11] y de tipos de interés. ^{[6] [12]} ${\displaystyle \mathbb {E} ^{Q}}$ ${\displaystyle V_{mix}^{Call}(K,T)=e^{-rT}\mathbb {E} ^{Q}\left\{(S_{T}-K)^{+}\right\}}$ ${\displaystyle =e^{-rT}\int _{0}^{+\infty }(y-K)^{+}p_{S_{T}}(y)dy=e^{-rT}\int _{0}^{+\infty }(y-K)^{+}\sum _{i=1}^{N}\lambda _{i}p_{i,T}(y)dy}$ ${\displaystyle =\sum _{i=1}^{N}\lambda _{i}e^{-rT}\int (y-K)^{+}p_{i,T}(y)dy=\sum _{{i=1}^{N}}{\lambda _{i}}V_{BS}^{Call}(K,T,{\sigma _{i}})}$ ${\displaystyle V_{BS}^{Call}(K,T,{\sigma _{i}})}$ ${\displaystyle \sigma _{i}}$ ${\displaystyle \sigma _{1},\ldots ,\sigma _{N}}$ ${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{N}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \sigma _{i}}$ ${\displaystyle \lambda _{i}}$

En el modelo de dinámica de mezcla, se puede demostrar que la curva de sonrisa de volatilidad resultante tendrá un mínimo para K igual al precio at-the-money-forward . Esto se puede evitar, y se puede permitir que la sonrisa sea más general, combinando la dinámica de la mezcla y las ideas de difusión desplazadas, lo que lleva a la dinámica de la mezcla lognormal desplazada. ^[8] ${\displaystyle S_{0}e^{rT}}$

El modelo también se ha aplicado con volatilidades en los componentes de la mezcla que dependen del tiempo, para calibrar la estructura del término de sonrisa. ^[10] Se ha estudiado una extensión del modelo donde las diferentes densidades de mezcla tienen diferentes medias, ^[12] preservando al mismo tiempo la deriva final sin arbitraje en la dinámica. Una extensión adicional ha sido la aplicación al caso multivariado, donde se ha formulado un modelo multivariado que es consistente con una mezcla de densidades lognormales multivariadas, posiblemente con cambios, y donde los activos individuales también se distribuyen como mezclas, ^[13] conciliando el modelado de activos individuales sonríen con la sonrisa en un índice de estos activos. Una segunda aplicación de la versión multivariada ha sido la triangulación de las sonrisas de volatilidad de FX. ^[11] Finalmente, el modelo está vinculado a un modelo de volatilidad incierta donde, a grandes rasgos, la volatilidad es una variable aleatoria que toma los valores con probabilidades . Técnicamente, se puede demostrar que la dinámica de la mezcla lognormal de volatilidad local es la proyección markoviana del modelo de volatilidad incierta. ^[14] ${\displaystyle \sigma _{i}}$ ${\displaystyle \sigma _{1},\ldots ,\sigma _{N}}$ ${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{N}}$

Usar

Los modelos de volatilidad local son útiles en cualquier mercado de opciones en el que la volatilidad del subyacente sea predominantemente una función del nivel del subyacente, por ejemplo, los derivados de tipos de interés. Las volatilidades locales invariantes en el tiempo son supuestamente inconsistentes con la dinámica de la superficie de volatilidad implícita del índice de acciones, ^[15] pero véase Crepey (2004), ^[16] quien afirma que dichos modelos proporcionan la mejor cobertura promedio para las opciones sobre índices de acciones, y observa que Modelos como la dinámica de mezcla permiten volatilidades locales dependientes del tiempo, calibrando también la estructura temporal de la sonrisa. Los modelos de volatilidad local también son útiles en la formulación de modelos de volatilidad estocástica . ^[17]

Los modelos de volatilidad local tienen una serie de características atractivas. ^[18] Debido a que la única fuente de aleatoriedad es el precio de las acciones, los modelos de volatilidad local son fáciles de calibrar. Se desarrollan numerosos métodos de calibración para abordar los procesos McKean-Vlasov, incluido el enfoque de partículas y contenedores más utilizado. ^[19] Además, conducen a mercados completos donde la cobertura puede basarse únicamente en el activo subyacente. Como se indicó anteriormente, el enfoque general no paramétrico de Dupire es problemático, ya que es necesario preinterpolar arbitrariamente la superficie de volatilidad implícita de entrada antes de aplicar el método. Una alternativa pueden ser enfoques paramétricos alternativos con una parametrización rica y sólida, como los modelos de volatilidad local dinámica de mezcla manejables anteriores. Dado que en los modelos de volatilidad local la volatilidad es una función determinista del precio aleatorio de las acciones, los modelos de volatilidad local no se utilizan muy bien para fijar el precio de opciones cliquet u opciones de inicio anticipado , cuyos valores dependen específicamente de la naturaleza aleatoria de la volatilidad misma. En tales casos, se prefieren los modelos de volatilidad estocástica .

Referencias

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5. Rubinstein, M. (1983). Precio de la opción de difusión desplazada. El Diario de Finanzas, 38(1), 213–217. https://doi.org/10.2307/2327648
6. Brigo, Damián; Mercurio, Fabio (2006). Modelos de tipos de interés: teoría y práctica . Heidelberg: Springer-Verlag.
7. Carol Alejandro (2004). "Difusión de mezcla normal con volatilidad incierta: modelado de efectos de sonrisa a corto y largo plazo". Revista de Banca y Finanzas . 28 (12).
8. Damiano Brigo y Fabio Mercurio (2001). "Difusiones desplazadas y mixtas para modelos de sonrisa analíticamente manejables". Finanzas Matemáticas - Congreso Bachelier 2000. Actas . Springer Verlag.
9. Damiano Brigo y Fabio Mercurio (2002). "La dinámica de mezcla lognormal y la calibración de la volatilidad del mercado sonríen". Revista Internacional de Finanzas Teóricas y Aplicadas . 5 (4). doi :10.1142/S0219024902001511.
10. Brigo, D., Mercurio, F. (2000). Una sonrisa confusa. Revista Risk, septiembre de 2000, páginas 123-126
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