Precios de martingala

La fijación de precios martingala es un enfoque de fijación de precios basado en las nociones de martingala y neutralidad del riesgo . El enfoque de fijación de precios martingala es una piedra angular de las finanzas cuantitativas modernas y puede aplicarse a una variedad de contratos de derivados , por ejemplo, opciones , futuros , derivados de tipos de interés , derivados de crédito , etc.

A diferencia del enfoque de fijación de precios PDE , las fórmulas de fijación de precios martingala tienen la forma de expectativas que pueden resolverse numéricamente de manera eficiente utilizando un enfoque de Monte Carlo . Como tal, se prefiere el precio martingala al valorar contratos de alta dimensión, como una canasta de opciones. Por otro lado, valorar contratos al estilo americano es problemático y requiere discretizar el problema (convirtiéndolo en una opción de las Bermudas ) y sólo en 2001 FA Longstaff y ES Schwartz desarrollaron un método práctico de Monte Carlo para fijar el precio de las opciones americanas. ^[1]

Representación de la teoría de la medida

Supongamos que el estado del mercado puede representarse mediante el espacio de probabilidad filtrado . Sea un proceso de precios estocástico en este espacio. Se puede fijar el precio de un valor derivado, bajo la filosofía de no arbitraje como, ${\displaystyle (\Omega ,({\mathcal {F}}_{t})_{t\in [0,T]},{\tilde {\mathbb {P} }})}$ ${\displaystyle \{S(t)\}_{t\in [0,T]}}$ ${\displaystyle V(t,S(t))}$

${\displaystyle D(t)V(t,S(t))={\tilde {\mathbb {E} }}[D(T)V(T,S(T))|{\mathcal {F}}_{t}],\qquad dD(t)=-r(t)D(t)\ dt}$

¿ Dónde está la medida neutral al riesgo ? ${\displaystyle {\tilde {\mathbb {P} }}}$

${\displaystyle (r(t))_{t\in [0,T]}}$es un proceso de tasa de interés mensurable (libre de riesgo, posiblemente estocástico). ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$

Esto se logra mediante una replicación casi segura del pago temporal del derivado utilizando únicamente valores subyacentes y el mercado monetario libre de riesgo (MMA). Estos subyacentes tienen precios que son observables y conocidos. Específicamente, uno construye un proceso de cartera en tiempo continuo, donde posee acciones de la acción subyacente en cada momento y efectivo que obtiene la tasa libre de riesgo . La cartera obedece a la ecuación diferencial estocástica. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \{X(t)\}_{t\in [0,T]}}$ ${\displaystyle \Delta (t)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle X(t)-\Delta (t)S(t)}$ ${\displaystyle r(t)}$

${\displaystyle dX(t)=\Delta (t)\ dS(t)+r(t)(X(t)-\Delta (t)S(t))\ dt}$

Luego se intentará aplicar el teorema de Girsanov calculando primero ; es decir, la derivada Radon-Nikodym con respecto a la distribución de probabilidad de mercado observada. Esto asegura que el proceso de replicación de carteras descontadas sea una Martingala en condiciones neutrales al riesgo. ${\displaystyle {\frac {d{\tilde {\mathbb {P} }}}{d\mathbb {P} }}}$

Si dicho proceso puede definirse y construirse bien, entonces la elección dará como resultado , lo que inmediatamente implica que esto sucede ( casi con seguridad también, ya que las dos medidas son equivalentes). ${\displaystyle \Delta (t)}$ ${\displaystyle V(0,S(0))=X(0)}$ ${\displaystyle {\tilde {\mathbb {P} }}[X(T)=V(T)]=1}$ ${\displaystyle \mathbb {P} }$

Ver también

• Modelo browniano de mercados financieros
• Martingala (teoría de la probabilidad)

Referencias

1. Longstaff, FA; Schwartz, ES (2001). "Valoración de opciones estadounidenses mediante simulación: un enfoque simple de mínimos cuadrados". Revisión de Estudios Financieros . 14 : 113-148. CiteSeerX  10.1.1.155.3462 . doi :10.1093/rfs/14.1.113. Archivado desde el original el 16 de octubre de 2009 . Consultado el 8 de octubre de 2011 .