Teoría interuniversal de Teichmüller (abreviada como IUT o IUTT ) es el nombre dado por el matemático Shinichi Mochizuki a una teoría que desarrolló en la década de 2000, tras su trabajo anterior en geometría aritmética . Según Mochizuki, se trata de "una versión aritmética de la teoría de Teichmüller para campos numéricos equipados con una curva elíptica ". La teoría se hizo pública en una serie de cuatro preimpresiones publicadas en 2012 en su sitio web. La aplicación más sorprendente de la teoría es proporcionar una prueba de varias conjeturas destacadas de la teoría de números , en particular la conjetura abc . Mochizuki y algunos otros matemáticos afirman que la teoría efectivamente proporciona tal prueba, pero hasta ahora esto no ha sido aceptado por la comunidad matemática.
La teoría fue desarrollada íntegramente por Mochizuki hasta 2012, y las últimas partes se escribieron en una serie de cuatro preimpresiones. [1] Mochizuki hizo público su trabajo en agosto de 2012 sin la fanfarria que normalmente acompaña a los grandes avances, publicando los artículos sólo en el servidor de preimpresión de su institución y en su sitio web, y sin hacer ningún anuncio a sus colegas. [2] [3] [4] Poco después, Akio Tamagawa e Ivan Fesenko recogieron los artículos y la comunidad matemática en general conoció las afirmaciones de haber probado la conjetura abc. [4]
La recepción de la afirmación fue al principio entusiasta, aunque los teóricos de los números quedaron desconcertados por el lenguaje original introducido y utilizado por Mochizuki. [5] [6] [7] Se llevaron a cabo talleres sobre IUT en RIMS en marzo de 2015, en Beijing en julio de 2015, [8] en Oxford en diciembre de 2015 y en RIMS en julio de 2016. Los dos últimos eventos atrajeron a más de 100 participantes. . Las presentaciones de estos talleres están disponibles en línea. [9] [10] Sin embargo, esto no condujo a una comprensión más amplia de las ideas de Mochizuki y estos eventos no cambiaron el estado de su supuesta prueba. [11]
En 2017, varios matemáticos que habían examinado en detalle el argumento de Mochizuki señalaron un punto específico que no podían entender, cerca del final de la demostración del Corolario 3.12, en el artículo tres de cuatro. [12]
En marzo de 2018, Peter Scholze y Jakob Stix visitaron la Universidad de Kioto para mantener cinco días de conversaciones con Mochizuki y Yuichiro Hoshi; Si bien esto no resolvió las diferencias, puso de relieve dónde estaban las dificultades. [12] [13] También resultó en la publicación de informes de la discusión por ambas partes:
Mochizuki publicó su trabajo en una serie de cuatro artículos en 2021, en la revista Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences, Kyoto University , [18] de la que es editor en jefe . [19] [20] En una revisión de estos artículos en zbMATH , Peter Scholze escribió que sus preocupaciones de 2017 y 2018 "no se han abordado en la versión publicada". [18] Otros autores han señalado la disputa no resuelta entre Mochizuki y Scholze sobre la exactitud de este trabajo como un ejemplo en el que el proceso de revisión por pares de la publicación de revistas matemáticas ha fallado en su función habitual de convencer a la comunidad matemática en su conjunto de la validez de un resultado. [19] [20] [21]
La teoría interuniversal de Teichmüller es una continuación del trabajo anterior de Mochizuki en geometría aritmética. Este trabajo, que ha sido revisado por pares y bien recibido por la comunidad matemática, incluye importantes contribuciones a la geometría anabeliana y al desarrollo de la teoría p-ádica de Teichmüller , la teoría de Hodge-Arakelov y las categorías de Frobenioide . Fue desarrollado con referencias explícitas al objetivo de obtener una comprensión más profunda de abc y conjeturas relacionadas. En el ámbito geométrico, aparecen analogías con ciertas ideas de IUT en la demostración de Bogomolov de la desigualdad geométrica de Szpiro . [22]
El prerrequisito clave para IUT es la geometría monoanabeliana de Mochizuki y sus resultados de reconstrucción, que permiten recuperar varios objetos teóricos de esquemas asociados a una curva hiperbólica sobre un campo numérico a partir del conocimiento de su grupo fundamental, o de ciertos grupos de Galois. IUT aplica resultados algorítmicos de geometría monoanabeliana para reconstruir esquemas relevantes después de aplicarles deformaciones aritméticas; Un papel clave lo desempeñan tres rigideces establecidas en la teoría etale theta de Mochizuki. En términos generales, las deformaciones aritméticas cambian la multiplicación de un anillo dado, y la tarea es medir cuánto cambia la suma. [23] La infraestructura para los procedimientos de deformación se decodifica mediante ciertos enlaces entre los llamados teatros de Hodge, como un enlace theta y un enlace log. [24]
Estos teatros de Hodge utilizan dos simetrías principales de IUT: aritmética multiplicativa y geométrica aditiva. Por un lado, los teatros de Hodge generalizan objetos clásicos de la teoría de números como los adeles y los ideles en relación con sus elementos globales. Por otro lado, generalizan ciertas estructuras que aparecen en la teoría anterior de Mochizuki de Hodge-Arakelov. Los enlaces entre teatros no son compatibles con estructuras de anillo o esquema y se realizan fuera de la geometría aritmética convencional. Sin embargo, son compatibles con ciertas estructuras de grupo, y los grupos absolutos de Galois, así como ciertos tipos de grupos topológicos, juegan un papel fundamental en IUT. Las consideraciones de multiradialidad, una generalización de la funcionalidad, implican que deben introducirse tres leves indeterminaciones. [24]
La principal aplicación reivindicada de IUT es a varias conjeturas en teoría de números, entre ellas la conjetura abc , pero también a conjeturas más geométricas como la conjetura de Szpiro sobre curvas elípticas y la conjetura de Vojta para curvas.
El primer paso es traducir la información aritmética sobre estos objetos [ se necesita más explicación ] al establecimiento de categorías Frobenioideas. Se afirma que una estructura adicional en este lado permite deducir afirmaciones que se traducen en los resultados reclamados. [25]
Un problema con los argumentos de Mochizuki, que él reconoce, es que no parece posible obtener resultados intermedios en su supuesta prueba de la conjetura abc utilizando IUT. En otras palabras, no existe un subconjunto más pequeño de sus argumentos que sea más fácilmente susceptible de análisis por parte de expertos externos, lo que arrojaría un nuevo resultado en geometrías diofánticas. [25]
Vesselin Dimitrov extrajo de los argumentos de Mochizuki una prueba de un resultado cuantitativo en abc, que en principio podría refutar la prueba. [26]
Pero está claro que se trata de ideas que están completamente fuera de la corriente principal del tema. Al mirarlo, te sientes como si estuvieras leyendo un artículo del futuro o del espacio exterior.
las... discusiones... constituyen las primeras discusiones detalladas... sustantivas sobre posiciones negativas... IUTch.
La mayoría de los comentarios de
(su reacción anterior)
no fueron abordados en
(su actualización de septiembre)
y por lo tanto... siguen siendo válidos.
Suplemento a su reacción anterior.
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