Teoría del haz de Timoshenko-Ehrenfest

Modelo de deformación por corte y efectos de flexión.

Orientaciones de la línea perpendicular al plano medio de un libro de bolsillo grueso bajo flexión.

La teoría del haz de Timoshenko-Ehrenfest fue desarrollada por Stephen Timoshenko y Paul Ehrenfest ^{[1] [2] [3]} a principios del siglo XX. ^{[4] [5]} El modelo tiene en cuenta la deformación por corte y los efectos de flexión rotacional , lo que lo hace adecuado para describir el comportamiento de vigas gruesas, vigas compuestas tipo sándwich o vigas sujetas a excitación de alta frecuencia cuando la longitud de onda se aproxima al espesor de la viga. . La ecuación resultante es de cuarto orden pero, a diferencia de la teoría del haz de Euler-Bernoulli , también existe una derivada parcial de segundo orden. Físicamente, tener en cuenta los mecanismos agregados de deformación reduce efectivamente la rigidez de la viga, mientras que el resultado es una deflexión mayor bajo una carga estática y frecuencias propias predichas más bajas para un conjunto dado de condiciones de contorno. Este último efecto es más notable para frecuencias más altas a medida que la longitud de onda se vuelve más corta (en principio comparable a la altura del haz o más corta) y, por lo tanto, la distancia entre las fuerzas de corte opuestas disminuye.

El efecto de inercia rotatoria fue introducido por Bresse ^[6] y Rayleigh. ^[7]

Si el módulo de corte del material de la viga se acerca al infinito (y, por lo tanto, la viga se vuelve rígida en corte) y si se desprecian los efectos de inercia rotacional, la teoría de vigas de Timoshenko converge hacia la teoría de vigas de Euler-Bernoulli .

Haz cuasiestático de Timoshenko

Deformación de una viga de Timoshenko (azul) en comparación con la de una viga de Euler-Bernoulli (rojo).

Deformación de una viga de Timoshenko. Lo normal gira en una cantidad que no es igual a . ${\displaystyle \theta _{x}=\varphi (x)}$ ${\displaystyle dw/dx}$

En la teoría estática del haz de Timoshenko sin efectos axiales, se supone que los desplazamientos del haz están dados por

${\displaystyle u_{x}(x,y,z)=-z~\varphi (x)~;~~u_{y}(x,y,z)=0~;~~u_{z}(x,y)=w(x)}$

donde están las coordenadas de un punto en la viga, son las componentes del vector de desplazamiento en las tres direcciones de coordenadas, es el ángulo de rotación de la normal a la superficie media de la viga y es el desplazamiento de la superficie media en la dirección. ${\displaystyle (x,y,z)}$ ${\displaystyle u_{x},u_{y},u_{z}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle z}$

Las ecuaciones gobernantes son el siguiente sistema acoplado de ecuaciones diferenciales ordinarias :

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}\left(EI{\frac {\mathrm {d} \varphi }{\mathrm {d} x}}\right)=q(x)\\&{\frac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d} x}}=\varphi -{\frac {1}{\kappa AG}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(EI{\frac {\mathrm {d} \varphi }{\mathrm {d} x}}\right).\end{aligned}}}$

La teoría del haz de Timoshenko para el caso estático es equivalente a la teoría de Euler-Bernoulli cuando se desprecia el último término anterior, una aproximación que es válida cuando

${\displaystyle {\frac {3EI}{\kappa L^{2}AG}}\ll 1}$

dónde

• ${\displaystyle L}$es la longitud de la viga.
• ${\displaystyle A}$es el área de la sección transversal.
• ${\displaystyle E}$es el módulo de elasticidad .
• ${\displaystyle G}$es el módulo de corte .
• ${\displaystyle I}$es el segundo momento del área .
• ${\displaystyle \kappa }$, llamado coeficiente de corte de Timoshenko, depende de la geometría. Normalmente, para una sección rectangular. ${\displaystyle \kappa =5/6}$
• ${\displaystyle q(x)}$es una carga distribuida (fuerza por longitud).
• ${\displaystyle w}$es el desplazamiento de la superficie media en la dirección -. ${\displaystyle z}$
• ${\displaystyle \varphi }$es el ángulo de rotación de la normal a la superficie media de la viga.

Combinando las dos ecuaciones se obtiene, para una viga homogénea de sección transversal constante,

${\displaystyle EI~{\cfrac {\mathrm {d} ^{4}w}{\mathrm {d} x^{4}}}=q(x)-{\cfrac {EI}{\kappa AG}}~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}q}{\mathrm {d} x^{2}}}}$

El momento flector y la fuerza cortante en la viga están relacionados con el desplazamiento y la rotación . Estas relaciones, para una viga de Timoshenko elástica lineal, son: ${\displaystyle M_{xx}}$ ${\displaystyle Q_{x}}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle M_{xx}=-EI~{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\quad {\text{and}}\quad Q_{x}=\kappa ~AG~\left(-\varphi +{\frac {\partial w}{\partial x}}\right)\,.}$

Condiciones de borde

Las dos ecuaciones que describen la deformación de una viga de Timoshenko deben complementarse con condiciones de contorno si se quieren resolver. Se necesitan cuatro condiciones de contorno para que el problema esté bien planteado . Las condiciones de contorno típicas son:

• Vigas simplemente apoyadas : El desplazamiento es cero en las ubicaciones de los dos apoyos. También se debe especificar el momento flector aplicado a la viga. La rotación y la fuerza cortante transversal no se especifican. ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle M_{xx}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle Q_{x}}$
• Vigas sujetas : el desplazamiento y la rotación se especifican como cero en el extremo sujetado. Si un extremo está libre, se deben especificar la fuerza cortante y el momento flector en ese extremo. ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle Q_{x}}$ ${\displaystyle M_{xx}}$

Energía de deformación de un haz de Timoshenko

La energía de deformación de una viga de Timoshenko se expresa como la suma de la energía de deformación debida a la flexión y al corte. Ambos componentes son cuadráticos en sus variables. La función de energía de deformación de una viga de Timoshenko se puede escribir como,

${\displaystyle W=\int _{[0,L]}{\frac {EI}{2}}\left({\frac {d\varphi }{dx}}\right)^{2}+{\frac {kGA}{2}}\left(\varphi -{\frac {dw}{dx}}\right)^{2}}$

Ejemplo: viga voladiza

Una viga voladiza de Timoshenko bajo una carga puntual en el extremo libre

Para una viga en voladizo , un límite está sujeto mientras el otro está libre. Usemos un sistema de coordenadas diestro donde la dirección es positiva hacia la derecha y la dirección es positiva hacia arriba. Siguiendo la convención normal, suponemos que las fuerzas positivas actúan en las direcciones positivas de los ejes y los momentos positivos actúan en el sentido de las agujas del reloj. También suponemos que la convención de signos de las tensiones resultantes ( y ) es tal que los momentos flectores positivos comprimen el material en la parte inferior de la viga ( coordenadas inferiores) y las fuerzas cortantes positivas hacen girar la viga en sentido antihorario. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle M_{xx}}$ ${\displaystyle Q_{x}}$ ${\displaystyle z}$

Supongamos que el extremo sujeto está en y el extremo libre está en . Si se aplica una carga puntual al extremo libre en dirección positiva, un diagrama de cuerpo libre de la viga nos da ${\displaystyle x=L}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle z}$

${\displaystyle -Px-M_{xx}=0\implies M_{xx}=-Px}$

y

${\displaystyle P+Q_{x}=0\implies Q_{x}=-P\,.}$

Por lo tanto, de las expresiones para el momento flector y la fuerza cortante, tenemos

${\displaystyle Px=EI\,{\frac {d\varphi }{dx}}\qquad {\text{and}}\qquad -P=\kappa AG\left(-\varphi +{\frac {dw}{dx}}\right)\,.}$

La integración de la primera ecuación y la aplicación de la condición de frontera en , conduce a ${\displaystyle \varphi =0}$ ${\displaystyle x=L}$

${\displaystyle \varphi (x)=-{\frac {P}{2EI}}\,(L^{2}-x^{2})\,.}$

La segunda ecuación se puede escribir entonces como

${\displaystyle {\frac {dw}{dx}}=-{\frac {P}{\kappa AG}}-{\frac {P}{2EI}}\,(L^{2}-x^{2})\,.}$

Integración y aplicación de la condición de frontera en da. ${\displaystyle w=0}$ ${\displaystyle x=L}$

${\displaystyle w(x)={\frac {P(L-x)}{\kappa AG}}-{\frac {Px}{2EI}}\,\left(L^{2}-{\frac {x^{2}}{3}}\right)+{\frac {PL^{3}}{3EI}}\,.}$

La tensión axial está dada por

${\displaystyle \sigma _{xx}(x,z)=E\,\varepsilon _{xx}=-E\,z\,{\frac {d\varphi }{dx}}=-{\frac {Pxz}{I}}={\frac {M_{xx}z}{I}}\,.}$

Haz dinámico de Timoshenko

En la teoría de la viga de Timoshenko sin efectos axiales, se supone que los desplazamientos de la viga están dados por

${\displaystyle u_{x}(x,y,z,t)=-z~\varphi (x,t)~;~~u_{y}(x,y,z,t)=0~;~~u_{z}(x,y,z,t)=w(x,t)}$

donde están las coordenadas de un punto en la viga, son las componentes del vector de desplazamiento en las tres direcciones de coordenadas, es el ángulo de rotación de la normal a la superficie media de la viga y es el desplazamiento de la superficie media en la dirección. ${\displaystyle (x,y,z)}$ ${\displaystyle u_{x},u_{y},u_{z}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle z}$

Partiendo del supuesto anterior, la teoría del haz de Timoshenko, que tiene en cuenta las vibraciones, puede describirse con las ecuaciones diferenciales parciales lineales acopladas : ^[8]

${\displaystyle \rho A{\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}-q(x,t)={\frac {\partial }{\partial x}}\left[\kappa AG\left({\frac {\partial w}{\partial x}}-\varphi \right)\right]}$

${\displaystyle \rho I{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}={\frac {\partial }{\partial x}}\left(EI{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)+\kappa AG\left({\frac {\partial w}{\partial x}}-\varphi \right)}$

donde las variables dependientes son , el desplazamiento traslacional de la viga y , el desplazamiento angular. Tenga en cuenta que, a diferencia de la teoría de Euler-Bernoulli , la deflexión angular es otra variable y no se aproxima por la pendiente de la deflexión. También, ${\displaystyle w(x,t)}$ ${\displaystyle \varphi (x,t)}$

• ${\displaystyle \rho }$es la densidad del material de la viga (pero no la densidad lineal ).
• ${\displaystyle A}$es el área de la sección transversal.
• ${\displaystyle E}$es el módulo de elasticidad .
• ${\displaystyle G}$es el módulo de corte .
• ${\displaystyle I}$es el segundo momento del área .
• ${\displaystyle \kappa }$, llamado coeficiente de corte de Timoshenko, depende de la geometría. Normalmente, para una sección rectangular. ${\displaystyle \kappa =5/6}$
• ${\displaystyle q(x,t)}$es una carga distribuida (fuerza por longitud).
• ${\displaystyle m:=\rho A}$
• ${\displaystyle J:=\rho I}$
• ${\displaystyle w}$es el desplazamiento de la superficie media en la dirección -. ${\displaystyle z}$
• ${\displaystyle \varphi }$es el ángulo de rotación de la normal a la superficie media de la viga.

Estos parámetros no son necesariamente constantes.

Para una viga lineal elástica, isotrópica y homogénea de sección transversal constante, estas dos ecuaciones se pueden combinar para dar ^{[9] [10]}

${\displaystyle EI~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}+m~{\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}-\left(J+{\cfrac {EIm}{\kappa AG}}\right){\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}~\partial t^{2}}}+{\cfrac {mJ}{\kappa AG}}~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial t^{4}}}=q(x,t)+{\cfrac {J}{\kappa AG}}~{\cfrac {\partial ^{2}q}{\partial t^{2}}}-{\cfrac {EI}{\kappa AG}}~{\cfrac {\partial ^{2}q}{\partial x^{2}}}}$

Sin embargo, se puede demostrar fácilmente que esta ecuación es incorrecta. Considere el caso en el que q es constante y no depende de x o t, combinado con la presencia de una pequeña amortiguación, todas las derivadas temporales llegarán a cero cuando t llegue al infinito. Los términos de corte no están presentes en esta situación, lo que da como resultado la teoría de la viga de Euler-Bernoulli, donde se desprecia la deformación por corte.

La ecuación de Timoshenko predice una frecuencia crítica. Para los modos normales, la ecuación de Timoshenko puede resolverse. Al ser una ecuación de cuarto orden, existen cuatro soluciones independientes, dos oscilatorias y dos evanescentes para frecuencias inferiores a . Para frecuencias mayores que todas las soluciones son oscilatorias y, como consecuencia, aparece un segundo espectro. ^[11] ${\displaystyle \omega _{C}=2\pi f_{c}={\sqrt {\frac {\kappa GA}{\rho I}}}.}$ ${\displaystyle f_{c}}$ ${\displaystyle f_{c}}$

Efectos axiales

Si los desplazamientos de la viga están dados por

${\displaystyle u_{x}(x,y,z,t)=u_{0}(x,t)-z~\varphi (x,t)~;~~u_{y}(x,y,z,t)=0~;~~u_{z}(x,y,z,t)=w(x,t)}$

donde hay un desplazamiento adicional en la dirección -, entonces las ecuaciones que rigen una viga de Timoshenko toman la forma ${\displaystyle u_{0}}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\begin{aligned}m{\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}&={\frac {\partial }{\partial x}}\left[\kappa AG\left({\frac {\partial w}{\partial x}}-\varphi \right)\right]+q(x,t)\\J{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}&=N(x,t)~{\frac {\partial w}{\partial x}}+{\frac {\partial }{\partial x}}\left(EI{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)+\kappa AG\left({\frac {\partial w}{\partial x}}-\varphi \right)\end{aligned}}}$

donde y es una fuerza axial aplicada externamente. Cualquier fuerza axial externa está equilibrada por la tensión resultante. ${\displaystyle J=\rho I}$ ${\displaystyle N(x,t)}$

${\displaystyle N_{xx}(x,t)=\int _{-h}^{h}\sigma _{xx}~dz}$

donde se supone que es el esfuerzo axial y el espesor de la viga . ${\displaystyle \sigma _{xx}}$ ${\displaystyle 2h}$

La ecuación de viga combinada con efectos de fuerza axial incluidos es

${\displaystyle EI~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}+N~{\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+m~{\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}-\left(J+{\cfrac {mEI}{\kappa AG}}\right)~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\partial t^{2}}}+{\cfrac {mJ}{\kappa AG}}~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial t^{4}}}=q+{\cfrac {J}{\kappa AG}}~{\frac {\partial ^{2}q}{\partial t^{2}}}-{\cfrac {EI}{\kappa AG}}~{\frac {\partial ^{2}q}{\partial x^{2}}}}$

Mojadura

Si, además de las fuerzas axiales, asumimos una fuerza amortiguadora que es proporcional a la velocidad con la forma

${\displaystyle \eta (x)~{\cfrac {\partial w}{\partial t}}}$

las ecuaciones rectoras acopladas para una viga de Timoshenko toman la forma

${\displaystyle m{\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}+\eta (x)~{\cfrac {\partial w}{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial x}}\left[\kappa AG\left({\frac {\partial w}{\partial x}}-\varphi \right)\right]+q(x,t)}$

${\displaystyle J{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}=N{\frac {\partial w}{\partial x}}+{\frac {\partial }{\partial x}}\left(EI{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)+\kappa AG\left({\frac {\partial w}{\partial x}}-\varphi \right)}$

y la ecuación combinada se convierte en

${\displaystyle {\begin{aligned}EI~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}&+N~{\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+m~{\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}-\left(J+{\cfrac {mEI}{\kappa AG}}\right)~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\partial t^{2}}}+{\cfrac {mJ}{\kappa AG}}~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial t^{4}}}+{\cfrac {J\eta (x)}{\kappa AG}}~{\cfrac {\partial ^{3}w}{\partial t^{3}}}\\&-{\cfrac {EI}{\kappa AG}}~{\cfrac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\left(\eta (x){\cfrac {\partial w}{\partial t}}\right)+\eta (x){\cfrac {\partial w}{\partial t}}=q+{\cfrac {J}{\kappa AG}}~{\frac {\partial ^{2}q}{\partial t^{2}}}-{\cfrac {EI}{\kappa AG}}~{\frac {\partial ^{2}q}{\partial x^{2}}}\end{aligned}}}$

Una advertencia a esta fuerza de amortiguación de Ansatz (que se asemeja a la viscosidad) es que, mientras que la viscosidad conduce a una tasa de amortiguación de las oscilaciones del haz dependiente de la frecuencia e independiente de la amplitud, las tasas de amortiguación medidas empíricamente son insensibles a la frecuencia, pero dependen de la amplitud de la deflexión del haz. .

Coeficiente de corte

Determinar el coeficiente de corte no es sencillo (ni los valores determinados son ampliamente aceptados, es decir, hay más de una respuesta); generalmente debe satisfacer:

${\displaystyle \int _{A}\tau dA=\kappa AG(\varphi -{\frac {\partial w}{\partial x}})}$.

El coeficiente de corte depende del coeficiente de Poisson . Los intentos de proporcionar expresiones precisas fueron realizados por muchos científicos, entre ellos Stephen Timoshenko , ^[12] Raymond D. Mindlin , ^[13] GR Cowper, ^[14] NG Stephen, ^[15] JR Hutchinson ^[16] , etc. (ver también el derivación de la teoría de vigas de Timoshenko como una teoría de vigas refinada basada en el método asintótico variacional en el libro de Khanh C. Le ^[17] que conduce a diferentes coeficientes de corte en los casos estático y dinámico). En la práctica de la ingeniería, las expresiones de Stephen Timoshenko ^[18] son ​​suficientes en la mayoría de los casos. En 1975 Kaneko ^[19] publicó una excelente revisión de estudios sobre el coeficiente de corte. Más recientemente, nuevos datos experimentales muestran que el coeficiente de cizalla está subestimado. ^{[20] [21]}

Coeficientes de corte correctivos para vigas isotrópicas homogéneas según Cowper - selección.

¿Dónde está el coeficiente de Poisson? ${\displaystyle \nu }$

Ver también

• Teoría de placas
• Teoría del sándwich

Referencias

1. Isaac Elishakoff (2020) "¿Quién desarrolló la llamada teoría del haz de Timoshenko?", Matemáticas y Mecánica de Sólidos 25(1): 97–116 doi :10.1177/1081286519856931
2. Elishakoff, I. (2020) Manual sobre las teorías del haz de Timoshenko-Ehrenfest y de las placas Uflyand-Mindlin , World Scientific , Singapur, ISBN 978-981-3236-51-6 
3. Grigolyuk, EI (2002) SP Timoshenko: vida y destino , Moscú: Aviation Institute Press (en ruso)
4. Timoshenko, SP (1921) "Sobre el factor de corrección por corte de la ecuación diferencial para vibraciones transversales de barras de sección transversal uniforme", Revista Filosófica , página 744.
5. Timoshenko, SP (1922) "Sobre las vibraciones transversales de barras de sección transversal uniforme", Revista Filosófica , página 125
6. Bresse JAC, 1859, Cours de mécanique appliquée - Résistance des matériaux et stabilité des Constructions, París, Gauthier-Villars (en francés)
7. Rayleigh Lord (JWS Strutt), 1877-1878, The Theory of Sound, Londres: Macmillan (véase también Dover, Nueva York, 1945)
8. Ecuaciones del haz de Timoshenko
9. Thomson, WT, 1981, Teoría de la vibración con aplicaciones , segunda edición. Prentice-Hall, Nueva Jersey.
10. Rosinger, HE y Ritchie, IG, 1977, Sobre la corrección de Timoshenko por corte en vigas isotrópicas vibrantes , J. Phys. D: Aplica. Física, vol. 10, págs. 1461-1466.
11. "Estudio experimental de las predicciones de la teoría del haz de Timoshenko", A. Díaz-de-Anda, J. Flores, L. Gutiérrez, RA Méndez-Sánchez, G. Monsivais y A. Morales, Journal of Sound and Vibration, Volumen 331 , Número 26, 17 de diciembre de 2012, págs. 5732–5744.
12. Timoshenko, Stephen P., 1932, Schwingungsprobleme der Technik , Julius Springer.
13. Mindlin, RD, Deresiewicz, H., 1953, Coeficiente de corte de Timoshenko para vibraciones de flexión de vigas , Informe técnico n.° 10, Proyecto ONR NR064-388, Departamento de Ingeniería Civil, Universidad de Columbia, Nueva York, NY
14. Cowper, GR, 1966, "El coeficiente de corte en la teoría del haz de Timoshenko", J. Appl. Mec., vol. 33, núm. 2, págs. 335–340.
15. Stephen, NG, 1980. "Coeficiente de corte de Timoshenko de una viga sometida a carga gravitacional", Journal of Applied Mechanics, vol. 47, núm. 1, págs. 121-127.
16. Hutchinson, JR, 1981, "Vibración transversal de vigas, soluciones exactas versus aproximadas", Journal of Applied Mechanics, vol. 48, núm. 12, págs. 923–928.
17. Le, Khanh C., 1999, Vibraciones de conchas y varillas , Springer.
18. Stephen Timoshenko, James M. Gere. Mecanica de materiales. Van Nostrand Reinhold Co., 1972. páginas 207.
19. Kaneko, T., 1975, "Sobre la corrección de Timoshenko por corte en vigas vibrantes", J. Phys. D: Aplica. Física, vol. 8, págs. 1927-1936.
20. "Verificación experimental de la exactitud de la teoría del haz de Timoshenko", RA Méndez-Sáchez, A. Morales, J. Flores, Journal of Sound and Vibration 279 (2005) 508–512.
21. "Sobre la precisión de la teoría del haz de Timoshenko por encima de la frecuencia crítica: mejor coeficiente de corte", JA Franco-Villafañe y RA Méndez-Sánchez, Journal of Mechanics, enero de 2016, págs. DOI: 10.1017/jmech.2015.104.