Momento de flexión

Fuerza que tiende a doblar un elemento estructural.

Diagrama de cortante y momento para una viga simplemente apoyada con una carga concentrada en la mitad del claro.

En mecánica de sólidos , un momento flector es la reacción inducida en un elemento estructural cuando se aplica una fuerza o momento externo al elemento, provocando que el elemento se doble . ^{[1] [2]} El elemento estructural más común o más simple sometido a momentos flectores es la viga . El diagrama muestra una viga que está simplemente apoyada (libre de girar y, por tanto, sin momentos flectores) en ambos extremos; los extremos sólo pueden reaccionar a las cargas cortantes . Otras vigas pueden tener ambos extremos fijos (conocida como viga de encastre); por lo tanto, cada soporte extremo tiene momentos flectores y cargas de reacción cortante. Las vigas también pueden tener un extremo fijo y el otro simplemente apoyado. El tipo de viga más sencillo es la voladiza , que va fija por un extremo y queda libre por el otro (ni simple ni fija). En realidad, los soportes de vigas no suelen estar absolutamente fijos ni girar absolutamente libremente.

Las cargas de reacción interna en una sección transversal del elemento estructural se pueden resolver en una fuerza resultante y un par resultante . ^[3] Para el equilibrio, el momento creado por fuerzas/momentos externos debe estar equilibrado por el par inducido por las cargas internas. El par interno resultante se llama momento flector, mientras que la fuerza interna resultante se llama fuerza cortante (si es transversal al plano del elemento) o fuerza normal (si es a lo largo del plano del elemento). La fuerza normal también se denomina fuerza axial.

El momento flector en una sección a través de un elemento estructural se puede definir como la suma de los momentos alrededor de esa sección de todas las fuerzas externas que actúan a un lado de esa sección. Las fuerzas y momentos en ambos lados de la sección deben ser iguales para contrarrestarse entre sí y mantener un estado de equilibrio , de modo que al sumar los momentos resulte el mismo momento flector, independientemente de qué lado de la sección se seleccione. Si los momentos de flexión en el sentido de las agujas del reloj se consideran negativos, entonces un momento de flexión negativo dentro de un elemento provocará un " acoplamiento " y un momento positivo provocará un " hundimiento ". Por lo tanto, está claro que un punto de momento flector cero dentro de una viga es un punto de contraflexión , es decir, el punto de transición de acodamiento a hundimiento o viceversa.

Los momentos y pares de torsión se miden como una fuerza multiplicada por una distancia, por lo que tienen como unidad newton-metros (N·m) o libras-pie (lb·ft). El concepto de momento flector es muy importante en ingeniería (particularmente en ingeniería civil y mecánica ) y física .

Fondo

Las tensiones de tracción y compresión aumentan proporcionalmente con el momento flector, pero también dependen del segundo momento del área de la sección transversal de una viga (es decir, la forma de la sección transversal, como un círculo, un cuadrado o una viga en I). siendo formas estructurales comunes). La falla en la flexión ocurrirá cuando el momento flector sea suficiente para inducir tensiones de tracción/compresión mayores que el límite elástico del material en toda la sección transversal. En el análisis estructural, esta falla por flexión se denomina bisagra plástica, ya que la capacidad de carga total del elemento estructural no se alcanza hasta que la sección transversal completa supera el límite elástico. Es posible que la falla de un elemento estructural en corte ocurra antes de la falla en flexión; sin embargo, la mecánica de falla en corte y en flexión es diferente.

Los momentos se calculan multiplicando las fuerzas vectoriales externas (cargas o reacciones) por la distancia vectorial a la que se aplican. Al analizar un elemento completo, es sensato calcular momentos en ambos extremos del elemento, al principio, en el centro y al final de cualquier carga distribuida uniformemente, y directamente debajo de cualquier carga puntual. Por supuesto, cualquier "unión de pasador" dentro de una estructura permite la rotación libre, por lo que se produce un momento cero en estos puntos, ya que no hay forma de transmitir fuerzas de giro de un lado al otro.

Es más común utilizar la convención de que un momento flector en el sentido de las agujas del reloj a la izquierda del punto considerado se considera positivo. Esto corresponde entonces a la segunda derivada de una función que, cuando es positiva, indica una curvatura que es "más baja en el centro", es decir, hundida. Al definir momentos y curvaturas de esta manera, el cálculo se puede utilizar más fácilmente para encontrar pendientes y deflexiones.

Los valores críticos dentro de la viga se anotan más comúnmente utilizando un diagrama de momento flector , donde los momentos negativos se trazan a escala por encima de una línea horizontal y los positivos por debajo. El momento flector varía linealmente en secciones descargadas y parabólicamente en secciones cargadas uniformemente.

Las descripciones de ingeniería del cálculo de momentos flectores pueden resultar confusas debido a convenciones de signos inexplicables y suposiciones implícitas. Las descripciones siguientes utilizan la mecánica vectorial para calcular momentos de fuerza y ​​momentos flectores en un intento de explicar, desde los primeros principios, por qué se eligen convenciones de signos particulares.

Calcular el momento de fuerza

Calcular el momento de fuerza en una viga.

Una parte importante de la determinación de los momentos flectores en problemas prácticos es el cálculo de los momentos de fuerza. Sea un vector de fuerza que actúa en un punto A de un cuerpo. El momento de esta fuerza con respecto a un punto de referencia ( O ) se define como ^[2] ${\displaystyle \mathbf {F} }$

${\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {r} \times \mathbf {F} }$

donde es el vector de momento y es el vector de posición desde el punto de referencia ( O ) hasta el punto de aplicación de la fuerza ( A ). El símbolo indica el producto vectorial vectorial. Para muchos problemas, es más conveniente calcular el momento de fuerza alrededor de un eje que pasa por el punto de referencia O. Si el vector unitario a lo largo del eje es , el momento de fuerza alrededor del eje se define como ${\displaystyle \mathbf {M} }$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle \mathbf {e} }$

${\displaystyle M=\mathbf {e} \cdot \mathbf {M} =\mathbf {e} \cdot (\mathbf {r} \times \mathbf {F} )}$

donde indica el producto escalar vectorial . ${\displaystyle \cdot }$

Ejemplo

La figura adyacente muestra una viga sobre la que actúa una fuerza . Si el sistema de coordenadas está definido por los tres vectores unitarios , tenemos lo siguiente ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{x},\mathbf {e} _{y},\mathbf {e} _{z}}$

${\displaystyle \mathbf {F} =0\,\mathbf {e} _{x}-F\,\mathbf {e} _{y}+0\,\mathbf {e} _{z}\quad {\text{and}}\quad \mathbf {r} =x\,\mathbf {e} _{x}+0\,\mathbf {e} _{y}+0\,\mathbf {e} _{z}\,.}$

Por lo tanto,

${\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {r} \times \mathbf {F} =\left|{\begin{matrix}\mathbf {e} _{x}&\mathbf {e} _{y}&\mathbf {e} _{z}\\x&0&0\\0&-F&0\end{matrix}}\right|=-Fx\,\mathbf {e} _{z}\,.}$

El momento respecto al eje es entonces ${\displaystyle \mathbf {e} _{z}}$

${\displaystyle M_{z}=\mathbf {e} _{z}\cdot \mathbf {M} =-Fx\,.}$

Convenciones de signos

El valor negativo sugiere que un momento que tiende a rotar un cuerpo en el sentido de las agujas del reloj alrededor de un eje debería tener un signo negativo . Sin embargo, el signo real depende de la elección de los tres ejes . Por ejemplo, si elegimos otro sistema de coordenadas diestro con , tenemos ${\displaystyle \mathbf {e} _{x},\mathbf {e} _{y},\mathbf {e} _{z}}$ ${\displaystyle \mathbf {E} _{x}=\mathbf {e} _{x},\mathbf {E} _{y}=-\mathbf {e} _{z},\mathbf {E} _{z}=\mathbf {e} _{y}}$

${\displaystyle \mathbf {F} =0\,\mathbf {E} _{x}+0\,\mathbf {E} _{y}-F\,\mathbf {E} _{z}\quad {\text{and}}\quad \mathbf {r} =x\,\mathbf {E} _{x}+0\,\mathbf {E} _{y}+0\,\mathbf {E} _{z}\,.}$

Entonces,

${\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {r} \times \mathbf {F} =\left|{\begin{matrix}\mathbf {E} _{x}&\mathbf {E} _{y}&\mathbf {E} _{z}\\x&0&0\\0&0&-F\end{matrix}}\right|=Fx\,\mathbf {E} _{y}\quad {\text{and}}\quad M_{y}=\mathbf {E} _{y}\cdot \mathbf {M} =Fx\,.}$

Para esta nueva elección de ejes, un momento positivo tiende a girar el cuerpo en el sentido de las agujas del reloj alrededor de un eje.

Calcular el momento flector

En un cuerpo rígido o en un cuerpo deformable sin restricciones, la aplicación de un momento de fuerza provoca una rotación pura. Pero si un cuerpo deformable está restringido, desarrolla fuerzas internas en respuesta a la fuerza externa, de modo que se mantiene el equilibrio. En la siguiente figura se muestra un ejemplo. Estas fuerzas internas provocarán deformaciones locales en el cuerpo.

Para el equilibrio, la suma de los vectores de fuerza interna es igual al negativo de la suma de las fuerzas externas aplicadas, y la suma de los vectores de momento creados por las fuerzas internas es igual al negativo del momento de la fuerza externa. Los vectores de fuerza interna y momento están orientados de tal manera que la fuerza total (interna + externa) y el momento (externo + interno) del sistema son cero. El vector de momento interno se llama momento flector . ^[1]

Aunque se han utilizado momentos de flexión para determinar los estados de tensión en estructuras de formas arbitrarias, la interpretación física de las tensiones calculadas es problemática. Sin embargo, las interpretaciones físicas de los momentos flectores en vigas y placas tienen una interpretación sencilla como la tensión resultante en una sección transversal del elemento estructural. Por ejemplo, en una viga de la figura, el vector de momento flector debido a las tensiones en la sección transversal A perpendicular al eje x viene dado por

${\displaystyle \mathbf {M} _{x}=\int _{A}\mathbf {r} \times (\sigma _{xx}\mathbf {e} _{x}+\sigma _{xy}\mathbf {e} _{y}+\sigma _{xz}\mathbf {e} _{z})\,dA\quad {\text{where}}\quad \mathbf {r} =y\,\mathbf {e} _{y}+z\,\mathbf {e} _{z}\,.}$

Ampliando esta expresión tenemos,

${\displaystyle \mathbf {M} _{x}=\int _{A}\left(-y\sigma _{xx}\mathbf {e} _{z}+y\sigma _{xz}\mathbf {e} _{x}+z\sigma _{xx}\mathbf {e} _{y}-z\sigma _{xy}\mathbf {e} _{x}\right)dA=:M_{xx}\,\mathbf {e} _{x}+M_{xy}\,\mathbf {e} _{y}+M_{xz}\,\mathbf {e} _{z}\,.}$

Definimos las componentes del momento flector como

${\displaystyle {\begin{bmatrix}M_{xx}\\M_{xy}\\M_{xz}\end{bmatrix}}:=\int _{A}{\begin{bmatrix}y\sigma _{xz}-z\sigma _{xy}\\z\sigma _{xx}\\-y\sigma _{xx}\end{bmatrix}}\,dA\,.}$

Los momentos internos se calculan respecto de un origen que está en el eje neutro de la viga o placa y la integración es a través del espesor ( ) ${\displaystyle h}$

Ejemplo

Calcular el momento flector en una viga.

En la viga que se muestra en la figura adyacente, las fuerzas externas son la fuerza aplicada en el punto A ( ) y las reacciones en los dos puntos de apoyo O y B ( y ). Para esta situación, el único componente distinto de cero del momento flector es ${\displaystyle -F\mathbf {e} _{y}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} _{O}=R_{O}\mathbf {e} _{y}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} _{B}=R_{B}\mathbf {e} _{y}}$

${\displaystyle \mathbf {M} _{xz}=-\left[\int _{z}\left[\int _{0}^{h}y\,\sigma _{xx}\,dy\right]\,dz\right]\mathbf {e} _{z}\,.}$

¿Dónde está la altura en la dirección del haz? El signo menos se incluye para satisfacer la convención de signos. ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle y}$

Para calcular , comenzamos equilibrando las fuerzas, lo que da una ecuación con las dos reacciones desconocidas, ${\displaystyle \mathbf {M} _{xz}}$

${\displaystyle R_{O}+R_{B}-F=0\,.}$

Para obtener cada reacción se requiere una segunda ecuación. Equilibrar los momentos respecto de cualquier punto arbitrario X nos daría una segunda ecuación que podemos usar para resolver para y en términos de . Equilibrar el punto O es lo más simple, pero equilibremos el punto A sólo para ilustrar el punto, es decir ${\displaystyle R_{0}}$ ${\displaystyle R_{B}}$ ${\displaystyle F}$

${\displaystyle -\mathbf {r} _{A}\times \mathbf {R} _{O}+(\mathbf {r} _{B}-\mathbf {r} _{A})\times \mathbf {R} _{B}=\mathbf {0} \,.}$

Si es la longitud de la viga, tenemos ${\displaystyle L}$

${\displaystyle \mathbf {r} _{A}=x_{A}\mathbf {e} _{x}\quad {\text{and}}\quad \mathbf {r} _{B}=L\mathbf {e} _{x}\,.}$

Evaluación de los productos cruzados:

${\displaystyle \left|{\begin{matrix}\mathbf {e} _{x}&\mathbf {e} _{y}&\mathbf {e} _{z}\\-x_{A}&0&0\\0&R_{0}&0\end{matrix}}\right|+\left|{\begin{matrix}\mathbf {e} _{x}&\mathbf {e} _{y}&\mathbf {e} _{z}\\L-x_{A}&0&0\\0&R_{B}&0\end{matrix}}\right|=-x_{A}R_{0}\,\mathbf {e} _{z}+(L-x_{A})R_{B}\,\mathbf {e} _{z}=0\,.}$

Si resolvemos las reacciones tenemos

${\displaystyle R_{O}=\left(1-{\frac {x_{A}}{L}}\right)F\quad {\text{and}}\quad R_{B}={\frac {x_{A}}{L}}\,F\,.}$

Ahora, para obtener el momento flector interno en X sumamos todos los momentos respecto del punto X debido a todas las fuerzas externas a la derecha de X (en el lado positivo ), y en este caso solo hay una contribución, ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \mathbf {M} _{xz}=(\mathbf {r} _{B}-\mathbf {r} _{X})\times \mathbf {R} _{B}=\left|{\begin{matrix}\mathbf {e} _{x}&\mathbf {e} _{y}&\mathbf {e} _{z}\\L-x&0&0\\0&R_{B}&0\end{matrix}}\right|={\frac {Fx_{A}}{L}}(L-x)\,\mathbf {e} _{z}\,.}$

Podemos comprobar esta respuesta mirando el diagrama de cuerpo libre y la parte de la viga a la izquierda del punto X , y el momento total debido a estas fuerzas externas es

${\displaystyle \mathbf {M} =(\mathbf {r} _{A}-\mathbf {r} _{X})\times \mathbf {F} +(-\mathbf {r} _{X})\times \mathbf {R} _{O}=\left[(x_{A}-x)\mathbf {e} _{x}\right]\times \left(-F\mathbf {e} _{y}\right)+\left(-x\mathbf {e} _{x}\right)\times \left(R_{O}\mathbf {e} _{y}\right)\,.}$

Si calculamos los productos cruzados, tenemos

${\displaystyle \mathbf {M} =\left|{\begin{matrix}\mathbf {e} _{x}&\mathbf {e} _{y}&\mathbf {e} _{z}\\x_{A}-x&0&0\\0&-F&0\end{matrix}}\right|+\left|{\begin{matrix}\mathbf {e} _{x}&\mathbf {e} _{y}&\mathbf {e} _{z}\\-x&0&0\\0&R_{0}&0\end{matrix}}\right|=F(x-x_{A})\,\mathbf {e} _{z}-R_{0}x\,\mathbf {e} _{z}=-{\frac {Fx_{A}}{L}}(L-x)\,\mathbf {e} _{z}\,.}$

Gracias al equilibrio, el momento flector interno debido a las fuerzas externas a la izquierda de X debe estar exactamente equilibrado por la fuerza de giro interna obtenida considerando la parte de la viga a la derecha de X.

${\displaystyle \mathbf {M} +\mathbf {M} _{xz}=\mathbf {0} \,.}$

lo cual es claramente el caso.

Convención de signos

En la discusión anterior, se supone implícitamente que el momento flector es positivo cuando se comprime la parte superior de la viga. Esto se puede ver si consideramos una distribución lineal de tensiones en la viga y encontramos el momento flector resultante. Deje que la parte superior de la viga esté comprimida con un esfuerzo y deje que la parte inferior de la viga tenga un esfuerzo . Entonces la distribución de tensiones en la viga es . El momento flector debido a estas tensiones es ${\displaystyle -\sigma _{0}}$ ${\displaystyle \sigma _{0}}$ ${\displaystyle \sigma _{xx}(y)=-y\sigma _{0}}$

${\displaystyle M_{xz}=-\left[\int _{z}\int _{-h/2}^{h/2}y\,(-y\sigma _{0})\,dy\,dz\right]=\sigma _{0}\,I}$

donde es el momento de inercia del área de la sección transversal de la viga. Por lo tanto, el momento flector es positivo cuando la parte superior de la viga está en compresión. ${\displaystyle I}$

Muchos autores siguen una convención diferente en la que la tensión resultante se define como ${\displaystyle M_{xz}}$

${\displaystyle \mathbf {M} _{xz}=\left[\int _{z}\int _{-h/2}^{h/2}y\,\sigma _{xx}\,dy\,dz\right]\mathbf {e} _{z}\,.}$

En ese caso, los momentos flectores positivos implican que la parte superior de la viga está en tensión. Por supuesto, la definición de cima depende del sistema de coordenadas que se utilice. En los ejemplos anteriores, la parte superior es la ubicación con la coordenada más grande. ${\displaystyle y}$

Ver también

• Pandeo
• Deflexión , incluida la deflexión de una viga.
• momento de torsión
• Diagramas de corte y momento.
• Resultantes de estrés
• Primer momento del área.
• línea de influencia
• Segundo momento del área.
• Lista de momentos de inercia del área.
• Alivio de flexión del ala

Referencias

1. Gere, JM; Timoshenko, SP (1996), Mecánica de materiales: cuarta edición , Nelson Engineering, ISBN 0534934293
2. Cerveza, F.; Johnston, ER (1984), Mecánica vectorial para ingenieros: estática , McGraw Hill, págs. 62–76
3. Panadero, Daniel W.; Haynes, William. Estática: Cargas Internas.

enlaces externos

• Resultantes de tensiones para vigas.

• Herramientas gratuitas de cálculo en línea para el momento flector