Flujo de Jeffrey-Hamel

En dinámica de fluidos, el flujo de Jeffery-Hamel es un flujo creado por un canal convergente o divergente con una fuente o sumidero de volumen de fluido en el punto de intersección de las dos paredes planas. Recibe su nombre de George Barker Jeffery (1915) ^[1] y Georg Hamel (1917), ^[2] pero posteriormente ha sido estudiado por muchos científicos importantes como von Kármán y Levi-Civita , ^[3] Walter Tollmien , ^[4] F. Noether , ^[5] WR Dean , ^[6] Rosenhead , ^[7] Landau , ^[8] GK Batchelor ^[9] etc. Un conjunto completo de soluciones fue descrito por Edward Fraenkel en 1962. ^[10]

Descripción del flujo

Considere dos paredes planas estacionarias con un caudal volumétrico constante que se inyecta/succiona en el punto de intersección de las paredes planas y sea . Tome el sistema de coordenadas cilíndricas con que representa el punto de intersección y la línea central y son los componentes de velocidad correspondientes. El flujo resultante es bidimensional si las placas son infinitamente largas en la dirección axial, o las placas son más largas pero finitas, si se descuidan los efectos de borde y por la misma razón se puede suponer que el flujo es completamente radial, es decir, . ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle 2\alpha }$ ${\displaystyle (r,\theta ,z)}$ ${\displaystyle r=0}$ ${\displaystyle \theta =0}$ ${\displaystyle (u,v,w)}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle u=u(r,\theta ),v=0,w=0}$

Entonces la ecuación de continuidad y las ecuaciones incompresibles de Navier-Stokes se reducen a

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial (ru)}{\partial r}}&=0,\\[6pt]u{\frac {\partial u}{\partial r}}&=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial r}}+\nu \left[{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial u}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \theta ^{2}}}-{\frac {u}{r^{2}}}\right]\\[6pt]0&=-{\frac {1}{\rho r}}{\frac {\partial p}{\partial \theta }}+{\frac {2\nu }{r^{2}}}{\frac {\partial u}{\partial \theta }}\end{aligned}}}$

Las condiciones de contorno son la condición sin deslizamiento en ambas paredes y la tercera condición se deriva del hecho de que el flujo de volumen inyectado/succionado en el punto de intersección es constante a lo largo de una superficie en cualquier radio.

${\displaystyle u(\pm \alpha )=0,\quad Q=\int _{-\alpha }^{\alpha }ur\,d\theta }$

Formulación

La primera ecuación dice que es solo función de , la función se define como ${\displaystyle ru}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle F(\theta )={\frac {ru}{\nu }}.}$

Diferentes autores definen la función de forma diferente, por ejemplo, Landau ^[8] define la función con un factor . Pero siguiendo a Whitham ^[11] , Rosenhead ^[12] la ecuación del momento se convierte en ${\displaystyle 6}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle {\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial \theta }}={\frac {2\nu ^{2}}{r^{2}}}{\frac {dF}{d\theta }}}$

Ahora dejando

${\displaystyle {\frac {p-p_{\infty }}{\rho }}={\frac {\nu ^{2}}{r^{2}}}P(\theta ),}$

Las ecuaciones de y momento se reducen a ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle P=-{\frac {1}{2}}(F^{2}+F'')}$

${\displaystyle P'=2F',\quad \Rightarrow \quad P=2F+C}$

y sustituyendo esto en la ecuación anterior (para eliminar la presión) resulta en

${\displaystyle F''+F^{2}+4F+2C=0}$

Multiplicando por e integrando una vez, ${\displaystyle F'}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}F'^{2}+{\frac {1}{3}}F^{3}+2F^{2}+2CF=D,}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}F'^{2}+{\frac {1}{3}}(F^{3}+6F^{2}+6CF-3D)=0}$

donde son constantes que se deben determinar a partir de las condiciones de contorno. La ecuación anterior se puede reescribir convenientemente con otras tres constantes como raíces de un polinomio cúbico, con solo dos constantes arbitrarias, la tercera constante siempre se obtiene a partir de las otras dos porque la suma de las raíces es . ${\displaystyle C,D}$ ${\displaystyle a,b,c}$ ${\displaystyle a+b+c=-6}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}F'^{2}+{\frac {1}{3}}(F-a)(F-b)(F-c)=0,}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}F'^{2}-{\frac {1}{3}}(a-F)(F-b)(F-c)=0.}$

Las condiciones de contorno se reducen a

${\displaystyle F(\pm \alpha )=0,\quad {\frac {Q}{\nu }}=\int _{-\alpha }^{\alpha }F\,d\theta }$

donde es el número de Reynolds correspondiente . La solución se puede expresar en términos de funciones elípticas . Para el flujo convergente , la solución existe para todos los , pero para el flujo divergente , la solución existe solo para un rango particular de . ${\displaystyle Re=Q/\nu }$ ${\displaystyle Q<0}$ ${\displaystyle Re}$ ${\displaystyle Q>0}$ ${\displaystyle Re}$

Interpretación dinámica

Fuente: ^[13]

La ecuación toma la misma forma que un oscilador no lineal no amortiguado (con potencial cúbico), se puede suponer que es el tiempo , es el desplazamiento y es la velocidad de una partícula con masa unitaria, entonces la ecuación representa la ecuación de energía ( , donde y ) con energía total cero, entonces es fácil ver que la energía potencial es ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F'}$ ${\displaystyle K.E.+P.E.=0}$ ${\displaystyle K.E.={\frac {1}{2}}F'^{2}}$ ${\displaystyle P.E.=V(F)}$

${\displaystyle V(F)=-{\frac {1}{3}}(a-F)(F-b)(F-c)}$

donde se mueve. Dado que la partícula comienza en para y termina en para , hay dos casos a considerar. ${\displaystyle V\leq 0}$ ${\displaystyle F=0}$ ${\displaystyle \theta =-\alpha }$ ${\displaystyle F=0}$ ${\displaystyle \theta =\alpha }$

• El primer caso son conjugados complejos y . La partícula comienza en con una velocidad positiva finita y alcanza donde su velocidad es y la aceleración es y regresa a en el tiempo final . El movimiento de la partícula representa un movimiento de salida puro porque y también es simétrico con respecto a . ${\displaystyle b,c}$ ${\displaystyle a>0}$ ${\displaystyle F=0}$ ${\displaystyle F=a}$ ${\displaystyle F'=0}$ ${\displaystyle F''=-dV/dF<0}$ ${\displaystyle F=0}$ ${\displaystyle 0<F<a}$ ${\displaystyle F>0}$ ${\displaystyle \theta =0}$
• En el segundo caso , todas las constantes son reales. El movimiento de a a representa un flujo de salida simétrico puro como en el caso anterior. Y el movimiento de a a con durante todo el tiempo( ) representa un flujo de entrada simétrico puro. Pero también, la partícula puede oscilar entre , lo que representa regiones de entrada y de salida y el flujo ya no necesita ser simétrico con respecto a . ${\displaystyle c<b<0<a}$ ${\displaystyle F=0}$ ${\displaystyle F=a}$ ${\displaystyle F=0}$ ${\displaystyle F=0}$ ${\displaystyle F=b}$ ${\displaystyle F=0}$ ${\displaystyle F<0}$ ${\displaystyle -\alpha \leq \theta \leq \alpha }$ ${\displaystyle b\leq F\leq a}$ ${\displaystyle \theta =0}$

La rica estructura de esta interpretación dinámica se puede encontrar en Rosenhead (1940). ^[7]

Puro flujo de salida

Para el flujo de salida puro, ya que en , la integración de la ecuación gobernante da ${\displaystyle F=a}$ ${\displaystyle \theta =0}$

${\displaystyle \theta ={\sqrt {\frac {3}{2}}}\int _{F}^{a}{\frac {dF}{\sqrt {(a-F)(F-b)(F-c))}}}}$

y las condiciones de contorno se convierten en

${\displaystyle \alpha ={\sqrt {\frac {3}{2}}}\int _{0}^{a}{\frac {dF}{\sqrt {(a-F)(F-b)(F-c))}}},\quad Re=2{\sqrt {\frac {3}{2}}}\int _{0}^{\alpha }{\frac {FdF}{\sqrt {(a-F)(F-b)(F-c))}}}.}$

Las ecuaciones se pueden simplificar mediante transformaciones estándar dadas, por ejemplo, en Jeffreys . ^[14]

• El primer caso son conjugados complejos y conduce a ${\displaystyle b,c}$ ${\displaystyle a>0}$

${\displaystyle F(\theta )=a-{\frac {3M^{2}}{2}}{\frac {1-\operatorname {cn} (M\theta ,\kappa )}{1+\operatorname {cn} (M\theta ,\kappa )}}}$

${\displaystyle M^{2}={\frac {2}{3}}{\sqrt {(a-b)(a-c)}},\quad \kappa ^{2}={\frac {1}{2}}+{\frac {a+2}{2M^{2}}}}$

¿Dónde están las funciones elípticas de Jacobi ? ${\displaystyle \operatorname {sn} ,\operatorname {cn} }$

• El segundo caso conduce a ${\displaystyle c<b<0<a}$

${\displaystyle F(\theta )=a-6k^{2}m^{2}\operatorname {sn} ^{2}(m\theta ,k)}$

${\displaystyle m^{2}={\frac {1}{6}}(a-c),\quad k^{2}={\frac {a-b}{a-c}}.}$

Forma limitante

La condición límite se obtiene al observar que el flujo de salida puro es imposible cuando , lo que implica de la ecuación gobernante. Por lo tanto, más allá de esta condición crítica, no existe solución. El ángulo crítico está dado por ${\displaystyle F'(\pm \alpha )=0}$ ${\displaystyle b=0}$ ${\displaystyle \alpha _{c}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha _{c}&={\sqrt {\frac {3}{2}}}\int _{0}^{a}{\frac {dF}{\sqrt {F(a-F)(F+a+6))}}},\\&={\sqrt {\frac {3}{2a}}}\int _{0}^{1}{\frac {dt}{\sqrt {t(1-t)\{1+(1+6/a)t\}}}},\\&={\frac {K(k^{2})}{m^{2}}}\end{aligned}}}$

dónde

${\displaystyle m^{2}={\frac {3+a}{3}},\quad k^{2}={\frac {1}{2}}\left({\frac {a}{3+a}}\right)}$

donde es la integral elíptica completa de primera especie . Para valores grandes de , el ángulo crítico se convierte en . ${\displaystyle K(k^{2})}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \alpha _{c}={\sqrt {\frac {3}{a}}}K\left({\frac {1}{2}}\right)={\frac {3.211}{\sqrt {a}}}}$

El número de Reynolds crítico correspondiente o flujo de volumen se da por

${\displaystyle {\begin{aligned}Re_{c}={\frac {Q_{c}}{\nu }}&=2\int _{0}^{\alpha _{c}}(a-6k^{2}m^{2}\operatorname {sn} ^{2}m\theta )\,d\theta ,\\&={\frac {12k^{2}}{\sqrt {1-2k^{2}}}}\int _{0}^{K}\operatorname {cn} ^{2}tdt,\\&={\frac {12}{\sqrt {1-2k^{2}}}}[E(k^{2})-(1-k^{2})K(k^{2})]\end{aligned}}}$

donde es la integral elíptica completa de segundo tipo . Para valores grandes de , el número de Reynolds crítico o flujo de volumen se convierte en . ${\displaystyle E(k^{2})}$ ${\displaystyle a,\left(\ k^{2}\sim {\frac {1}{2}}-{\frac {3}{2a}}\right)}$ ${\displaystyle Re_{c}={\frac {Q_{c}}{\nu }}=12{\sqrt {\frac {a}{3}}}\left[E\left({\frac {1}{2}}\right)-{\frac {1}{2}}K\left({\frac {1}{2}}\right)\right]=2.934{\sqrt {a}}}$

Entrada pura

Para la entrada pura, la solución implícita viene dada por

${\displaystyle \theta ={\sqrt {\frac {3}{2}}}\int _{b}^{F}{\frac {dF}{\sqrt {(a-F)(F-b)(F-c))}}}}$

y las condiciones de contorno se convierten en

${\displaystyle \alpha ={\sqrt {\frac {3}{2}}}\int _{b}^{0}{\frac {dF}{\sqrt {(a-F)(F-b)(F-c))}}},\quad Re=2{\sqrt {\frac {3}{2}}}\int _{\alpha }^{0}{\frac {FdF}{\sqrt {(a-F)(F-b)(F-c))}}}.}$

La entrada pura sólo es posible cuando todas las constantes son reales y la solución está dada por ${\displaystyle c<b<0<a}$

${\displaystyle F(\theta )=a-6k^{2}m^{2}\operatorname {sn} ^{2}(K-m\theta ,k)=b+6k^{2}m^{2}\operatorname {cn} ^{2}(K-m\theta ,k)}$

${\displaystyle m^{2}={\frac {1}{6}}(a-c),\quad k^{2}={\frac {a-b}{a-c}}}$

donde es la integral elíptica completa de primer tipo . ${\displaystyle K(k^{2})}$

Forma limitante

A medida que aumenta el número de Reynolds ( se hace más grande), el flujo tiende a volverse uniforme (acercándose así a la solución de flujo potencial ), excepto en las capas límite cerca de las paredes. Como es grande y se da, está claro a partir de la solución que debe ser grande, por lo tanto . Pero cuando , , la solución se convierte en ${\displaystyle -b}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle k\sim 1}$ ${\displaystyle k\approx 1}$ ${\displaystyle \operatorname {sn} t\approx \tanh t,\ c\approx b,\ a\approx -2b}$

${\displaystyle F(\theta )=b\left\{3\tanh ^{2}\left[{\sqrt {-{\frac {b}{2}}}}(\alpha -\theta )+\tanh ^{-1}{\sqrt {\frac {2}{3}}}\right]-2\right\}.}$

Está claro que en todas partes, excepto en la capa límite , el flujo de volumen es tal que las capas límite tienen un espesor clásico . ${\displaystyle F\approx b}$ ${\displaystyle O\left({\sqrt {-{\frac {b}{2}}}}\right)}$ ${\displaystyle Q/\nu \approx 2\alpha b}$ ${\displaystyle |Re|=O(|b|)}$ ${\displaystyle O\left(|Re|^{1/2}\right)}$

Referencias

1. Jeffery, GB "L. El movimiento estable bidimensional de un fluido viscoso". The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science 29.172 (1915): 455–465.
2. Hamel, Georg. "Spiralförmige Bewegungen zäher Flüssigkeiten." Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung 25 (1917): 34–60.
3. von Kármán y Levi-Civita . "Vorträge aus dem Gebiete der Hydro-und Aerodynamik". (1922)
4. Walter Tollmien "Handbuch der Experimentalphysik, vol. 4". (1931): 257.
5. Fritz Noether "Handbuch der physikalischen und technischen Mechanik, vol. 5". Leipzig, JA Barch (1931): 733.
6. Dean, WR "LXXII. Nota sobre el flujo divergente de fluidos". The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science 18.121 (1934): 759–777.
7. Louis Rosenhead "El flujo radial bidimensional constante de un fluido viscoso entre dos paredes planas inclinadas". Actas de la Royal Society of London A: Ciencias matemáticas, físicas y de ingeniería. Vol. 175. Núm. 963. The Royal Society, 1940.
8. Lev Landau y EM Lifshitz . "Mecánica de fluidos Pergamon". Nueva York 61 (1959).
9. GK Batchelor . Introducción a la dinámica de fluidos. Cambridge University Press, 2000.
10. Fraenkel, LE (1962). Flujo laminar en canales simétricos con paredes ligeramente curvadas, I. Sobre las soluciones de Jeffery-Hamel para flujo entre paredes planas. Actas de la Royal Society de Londres. Serie A. Ciencias matemáticas y físicas, 267(1328), 119-138.
11. Whitham, GB "Capítulo III en Capas límite laminares". (1963): 122.
12. Rosenhead, Louis, ed. Capas límite laminares. Clarendon Press, 1963.
13. Drazin, Philip G. y Norman Riley . Las ecuaciones de Navier-Stokes: una clasificación de flujos y soluciones exactas. N.º 334. Cambridge University Press, 2006.
14. Jeffreys, Harold, Bertha Swirles y Philip M. Morse. "Métodos de física matemática". (1956): 32–34.