Las teorías de conjuntos no bien fundadas son variantes de la teoría axiomática de conjuntos que permiten que los conjuntos sean elementos de sí mismos y, de lo contrario, violan la regla de fundamento . En las teorías de conjuntos no bien fundadas, el axioma de fundación de ZFC se reemplaza por axiomas que implican su negación.
El estudio de los conjuntos no bien fundados fue iniciado por Dmitry Mirimanoff en una serie de artículos entre 1917 y 1920, en los que formuló la distinción entre conjuntos bien fundados y no bien fundados; no consideró la bien fundada como un axioma . Aunque posteriormente se propusieron varios sistemas axiomáticos de conjuntos no bien fundados, no encontraron demasiadas aplicaciones hasta que el libro Non-Well-Founded Sets de Peter Aczel introdujo la teoría de hiperconjuntos en 1988. [1] [2] [3]
La teoría de conjuntos no bien fundados se ha aplicado en el modelado lógico de procesos computacionales no terminantes en ciencias de la computación ( álgebra de procesos y semántica final), lingüística y semántica del lenguaje natural ( teoría de situaciones ), filosofía (trabajo sobre la paradoja del mentiroso ) y, en un contexto diferente, en el análisis no estándar . [4]
En 1917, Dmitry Mirimanoff introdujo [5] [6] [7] [8] el concepto de fundamento de un conjunto:
En ZFC, no existe una secuencia ∈ descendente infinita por el axioma de regularidad . De hecho, el axioma de regularidad a menudo se denomina axioma de fundación , ya que se puede demostrar dentro de ZFC − (es decir, ZFC sin el axioma de regularidad) que el bien fundado implica regularidad. En variantes de ZFC sin el axioma de regularidad , surge la posibilidad de conjuntos no bien fundados con cadenas ∈ similares a conjuntos. Por ejemplo, un conjunto A tal que A ∈ A no está bien fundado.
Aunque Mirimanoff también introdujo una noción de isomorfismo entre conjuntos posiblemente no bien fundados, no consideró ni un axioma de fundamento ni de antifundamento. [7] En 1926, Paul Finsler introdujo el primer axioma que permitía conjuntos no bien fundados. Después de que Zermelo adoptara el Fundamento en su propio sistema en 1930 (a partir del trabajo previo de von Neumann 1925-1929), el interés en los conjuntos no bien fundados disminuyó durante décadas. [9] Una de las primeras teorías de conjuntos no bien fundados fue New Foundations de Willard Van Orman Quine , aunque no es simplemente ZF con un reemplazo para el Fundamento.
Varias pruebas de la independencia de la Fundación del resto de ZF fueron publicadas en la década de 1950, particularmente por Paul Bernays (1954), después de un anuncio del resultado en un artículo anterior suyo de 1941, y por Ernst Specker , quien dio una prueba diferente en su Habilitationsschrift de 1951, prueba que fue publicada en 1957. Luego, en 1957, se publicó el teorema de Rieger, que dio un método general para llevar a cabo tal prueba, reavivando cierto interés en los sistemas axiomáticos no bien fundados. [10] La siguiente propuesta de axioma llegó en una charla de congreso de 1960 de Dana Scott (nunca publicada como artículo), proponiendo un axioma alternativo ahora llamado SAFA. [11] Otro axioma propuesto a fines de la década de 1960 fue el axioma de superuniversalidad de Maurice Boffa, descrito por Aczel como el punto culminante de la investigación de su década. [12] La idea de Boffa era hacer que el fundamento fallara tanto como fuera posible (o más bien, tanto como lo permitiera la extensionalidad): el axioma de Boffa implica que cada relación extensional de tipo conjunto es isomorfa al predicado de elementabilidad en una clase transitiva.
Un enfoque más reciente de la teoría de conjuntos no bien fundados, iniciado por M. Forti y F. Honsell en la década de 1980, toma prestado de la informática el concepto de bisimulación . Los conjuntos bisimilares se consideran indistinguibles y, por lo tanto, iguales, lo que conduce a un fortalecimiento del axioma de extensionalidad . En este contexto, los axiomas que contradicen el axioma de regularidad se conocen como axiomas antifundamentales , y un conjunto que no está necesariamente bien fundado se denomina hiperconjunto .
Se conocen cuatro axiomas antifundamentales mutuamente independientes , a veces abreviados con la primera letra de la siguiente lista:
Corresponden esencialmente a cuatro nociones diferentes de igualdad para conjuntos no bien fundados. La primera de ellas, AFA, se basa en grafos apuntados accesibles (apg) y establece que dos hiperconjuntos son iguales si y solo si pueden ser representados por el mismo apg. Dentro de este marco, se puede demostrar que el llamado átomo de Quine , formalmente definido por Q={Q}, existe y es único.
Cada uno de los axiomas dados anteriormente extiende el universo del anterior, de modo que: V ⊆ A ⊆ S ⊆ F ⊆ B. En el universo de Boffa, los distintos átomos de Quine forman una clase propia. [13]
Vale la pena destacar que la teoría de hiperconjuntos es una extensión de la teoría de conjuntos clásica más que un reemplazo: los conjuntos bien fundados dentro de un dominio de hiperconjuntos se ajustan a la teoría de conjuntos clásica.
En las investigaciones publicadas, los conjuntos no bien fundados también se denominan hiperconjuntos, en paralelo a los números hiperreales del análisis no estándar . [14] [15]
Los hiperconjuntos fueron ampliamente utilizados por Jon Barwise y John Etchemendy en su libro de 1987 The Liar , sobre la paradoja del mentiroso . Las propuestas del libro contribuyeron a la teoría de la verdad . [14] El libro también es una buena introducción al tema de los conjuntos no bien fundados. [14]
