Conjunto preliminar

Aproximación de un conjunto matemático

En informática , un conjunto aproximado , descrito por primera vez por el informático polaco Zdzisław I. Pawlak , es una aproximación formal de un conjunto nítido (es decir, un conjunto convencional) en términos de un par de conjuntos que dan la aproximación inferior y superior del conjunto original. En la versión estándar de la teoría de conjuntos aproximados descrita en Pawlak (1991), ^[1] los conjuntos de aproximación inferior y superior son conjuntos nítidos, pero en otras variaciones, los conjuntos de aproximación pueden ser conjuntos difusos .

Definiciones

La siguiente sección contiene una descripción general del marco básico de la teoría de conjuntos aproximados, tal como la propuso originalmente Zdzisław I. Pawlak , junto con algunas de las definiciones clave. Se pueden encontrar propiedades y límites más formales de los conjuntos aproximados en Pawlak (1991) y las referencias citadas. La teoría inicial y básica de los conjuntos aproximados a veces se denomina "conjuntos aproximados de Pawlak" o "conjuntos aproximados clásicos" , como un medio para distinguirla de las extensiones y generalizaciones más recientes.

Marco del sistema de información

Sea un sistema de información ( sistema atributo-valor ), donde es un conjunto finito y no vacío de objetos (el universo) y es un conjunto finito y no vacío de atributos tal que para cada . es el conjunto de valores que puede tomar ese atributo . La tabla de información asigna un valor de a cada atributo y objeto en el universo . ${\displaystyle I=(\mathbb {U} ,\mathbb {A} )}$ ${\displaystyle \mathbb {U} }$ ${\displaystyle \mathbb {A} }$ ${\displaystyle I:\mathbb {U} \rightarrow V_{a}}$ ${\displaystyle a\in \mathbb {A} }$ ${\displaystyle V_{a}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a(x)}$ ${\displaystyle V_{a}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathbb {U} }$

Con cualquier existe una relación de equivalencia asociada : ${\displaystyle P\subseteq \mathbb {A} }$ ${\displaystyle \mathrm {IND} (P)}$

${\displaystyle \mathrm {IND} (P)=\left\{(x,y)\in \mathbb {U} ^{2}\mid \forall a\in P,a(x)=a(y)\right\}}$

La relación se denomina relación de indiscernibilidad . La partición de es una familia de todas las clases de equivalencia de y se denota por (o ). ${\displaystyle \mathrm {IND} (P)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \mathbb {U} }$ ${\displaystyle \mathrm {IND} (P)}$ ${\displaystyle \mathbb {U} /\mathrm {IND} (P)}$ ${\displaystyle \mathbb {U} /P}$

Si , entonces y son indiscernibles (o indistinguibles) por atributos de . ${\displaystyle (x,y)\in \mathrm {IND} (P)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle P}$

Las clases de equivalencia de la relación de -indiscernibilidad se denotan . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle [x]_{P}}$

Ejemplo: estructura de clases de equivalencia

Por ejemplo, considere la siguiente tabla de información:

Cuando se considera el conjunto completo de atributos , vemos que tenemos las siguientes siete clases de equivalencia: ${\displaystyle P=\{P_{1},P_{2},P_{3},P_{4},P_{5}\}}$

${\displaystyle {\begin{cases}\{O_{1},O_{2}\}\\\{O_{3},O_{7},O_{10}\}\\\{O_{4}\}\\\{O_{5}\}\\\{O_{6}\}\\\{O_{8}\}\\\{O_{9}\}\end{cases}}}$

Por lo tanto, los dos objetos dentro de la primera clase de equivalencia, , no se pueden distinguir entre sí en función de los atributos disponibles, y los tres objetos dentro de la segunda clase de equivalencia, , no se pueden distinguir entre sí en función de los atributos disponibles. Los cinco objetos restantes son cada uno discernible de todos los demás objetos. ${\displaystyle \{O_{1},O_{2}\}}$ ${\displaystyle \{O_{3},O_{7},O_{10}\}}$

Es evidente que, en general, la selección de diferentes subconjuntos de atributos dará lugar a diferentes clases de indiscernibilidad. Por ejemplo, si se selecciona solo el atributo, obtenemos la siguiente estructura de clase de equivalencia, mucho más burda: ${\displaystyle P=\{P_{1}\}}$

${\displaystyle {\begin{cases}\{O_{1},O_{2}\}\\\{O_{3},O_{5},O_{7},O_{9},O_{10}\}\\\{O_{4},O_{6},O_{8}\}\end{cases}}}$

Definición de unaconjunto aproximado

Sea un conjunto de destino que deseamos representar utilizando el atributo subconjunto ; es decir, se nos dice que un conjunto arbitrario de objetos comprende una sola clase, y deseamos expresar esta clase (es decir, este subconjunto) utilizando las clases de equivalencia inducidas por el atributo subconjunto . En general, no se puede expresar de forma exacta, porque el conjunto puede incluir y excluir objetos que son indistinguibles sobre la base de los atributos . ${\displaystyle X\subseteq \mathbb {U} }$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P}$

Por ejemplo, considere el conjunto de destino y deje que el atributo subconjunto sea el conjunto completo de características disponibles. El conjunto no se puede expresar con exactitud, porque en , los objetos son indiscernibles. Por lo tanto, no hay forma de representar ningún conjunto que incluya pero excluya objetos y . ${\displaystyle X=\{O_{1},O_{2},O_{3},O_{4}\}}$ ${\displaystyle P=\{P_{1},P_{2},P_{3},P_{4},P_{5}\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle [x]_{P},}$ ${\displaystyle \{O_{3},O_{7},O_{10}\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle O_{3}}$ ${\displaystyle O_{7}}$ ${\displaystyle O_{10}}$

Sin embargo, el conjunto objetivo se puede aproximar utilizando únicamente la información contenida en él mediante la construcción de las aproximaciones -inferior y -superior de : ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\underline {P}}X=\{x\mid [x]_{P}\subseteq X\}}$

${\displaystyle {\overline {P}}X=\{x\mid [x]_{P}\cap X\neq \emptyset \}}$

Aproximación inferior y región positiva

La aproximación -inferior , o región positiva , es la unión de todas las clases de equivalencia en las que están contenidas por (es decir, son subconjuntos de) el conjunto objetivo; en el ejemplo, , la unión de las dos clases de equivalencia en las que están contenidas en el conjunto objetivo. La aproximación inferior es el conjunto completo de objetos en que pueden clasificarse positivamente (es decir, sin ambigüedades) como pertenecientes al conjunto objetivo . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle [x]_{P}}$ ${\displaystyle {\underline {P}}X=\{O_{1},O_{2}\}\cup \{O_{4}\}}$ ${\displaystyle [x]_{P}}$ ${\displaystyle \mathbb {U} /P}$ ${\displaystyle X}$

Aproximación superior y región negativa

La aproximación -upper es la unión de todas las clases de equivalencia en las que tienen una intersección no vacía con el conjunto objetivo; en el ejemplo, , la unión de las tres clases de equivalencia en que tienen una intersección no vacía con el conjunto objetivo. La aproximación superior es el conjunto completo de objetos que en que no se pueden clasificar positivamente (es decir, sin ambigüedades) como pertenecientes al complemento ( ) del conjunto objetivo . En otras palabras, la aproximación superior es el conjunto completo de objetos que posiblemente sean miembros del conjunto objetivo . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle [x]_{P}}$ ${\displaystyle {\overline {P}}X=\{O_{1},O_{2}\}\cup \{O_{4}\}\cup \{O_{3},O_{7},O_{10}\}}$ ${\displaystyle [x]_{P}}$ ${\displaystyle \mathbb {U} /P}$ ${\displaystyle {\overline {X}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Por tanto, el conjunto representa la región negativa , que contiene el conjunto de objetos que pueden descartarse definitivamente como miembros del conjunto objetivo. ${\displaystyle \mathbb {U} -{\overline {P}}X}$

Región fronteriza

La región límite , dada por la diferencia de conjuntos , consiste en aquellos objetos que no pueden incluirse ni descartarse como miembros del conjunto objetivo . ${\displaystyle {\overline {P}}X-{\underline {P}}X}$ ${\displaystyle X}$

En resumen, la aproximación inferior de un conjunto objetivo es una aproximación conservadora que consiste únicamente en aquellos objetos que pueden identificarse positivamente como miembros del conjunto. (Estos objetos no tienen "clones" indiscernibles que sean excluidos por el conjunto objetivo). La aproximación superior es una aproximación liberal que incluye todos los objetos que podrían ser miembros del conjunto objetivo. (Algunos objetos en la aproximación superior pueden no ser miembros del conjunto objetivo). Desde la perspectiva de , la aproximación inferior contiene objetos que son miembros del conjunto objetivo con certeza (probabilidad = 1), mientras que la aproximación superior contiene objetos que son miembros del conjunto objetivo con probabilidad distinta de cero (probabilidad > 0). ${\displaystyle \mathbb {U} /P}$

El conjunto aproximado

La tupla compuesta por la aproximación inferior y superior se denomina conjunto aproximado ; por lo tanto, un conjunto aproximado se compone de dos conjuntos nítidos, uno que representa un límite inferior del conjunto objetivo y el otro que representa un límite superior del conjunto objetivo . ${\displaystyle \langle {\underline {P}}X,{\overline {P}}X\rangle }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

La precisión de la representación aproximada del conjunto se puede dar ^[1] de la siguiente manera: ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \alpha _{P}(X)={\frac {\left|{\underline {P}}X\right|}{\left|{\overline {P}}X\right|}}}$

Es decir, la precisión de la representación del conjunto aproximado de , , , es la relación entre la cantidad de objetos que se pueden colocar de manera positiva y la cantidad de objetos que se pueden colocar posiblemente ; esto proporciona una medida de qué tan cerca se aproxima el conjunto aproximado al conjunto objetivo. Claramente, cuando las aproximaciones superior e inferior son iguales (es decir, la región límite está vacía), entonces , y la aproximación es perfecta; en el otro extremo, siempre que la aproximación inferior esté vacía, la precisión es cero (independientemente del tamaño de la aproximación superior). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \alpha _{P}(X)}$ ${\displaystyle 0\leq \alpha _{P}(X)\leq 1}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \alpha _{P}(X)=1}$

Análisis objetivo

La teoría de conjuntos aproximados es uno de los muchos métodos que se pueden emplear para analizar sistemas inciertos (incluidos los vagos), aunque es menos común que los métodos más tradicionales de probabilidad , estadística , entropía y teoría de Dempster-Shafer . Sin embargo, una diferencia clave y una fortaleza única del uso de la teoría clásica de conjuntos aproximados es que proporciona una forma objetiva de análisis. ^[2] A diferencia de otros métodos, como los dados anteriormente, el análisis clásico de conjuntos aproximados no requiere información adicional, parámetros externos, modelos, funciones, calificaciones o interpretaciones subjetivas para determinar la pertenencia al conjunto; en su lugar, solo utiliza la información presentada dentro de los datos dados. ^[3] Las adaptaciones más recientes de la teoría de conjuntos aproximados, como los conjuntos aproximados basados ​​en el dominio, la teoría de la decisión y los difusos, han introducido más subjetividad al análisis.

Definibilidad

En general, las aproximaciones superior e inferior no son iguales; en tales casos, decimos que el conjunto objetivo es indefinible o aproximadamente definible en el conjunto de atributos . Cuando las aproximaciones superior e inferior son iguales (es decir, el límite está vacío), , entonces el conjunto objetivo es definible en el conjunto de atributos . Podemos distinguir los siguientes casos especiales de indefinibilidad: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle {\overline {P}}X={\underline {P}}X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P}$

• El conjunto es internamente indefinible si y . Esto significa que en el atributo conjunto no hay objetos de los que podamos estar seguros que pertenecen al conjunto de destino , pero hay objetos que podemos excluir definitivamente del conjunto . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\underline {P}}X=\emptyset }$ ${\displaystyle {\overline {P}}X\neq \mathbb {U} }$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$
• El conjunto es externamente indefinible si y . Esto significa que en el atributo conjunto hay objetos de los que podemos estar seguros que pertenecen al conjunto de destino , pero no hay objetos que podamos excluir definitivamente del conjunto . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\underline {P}}X\neq \emptyset }$ ${\displaystyle {\overline {P}}X=\mathbb {U} }$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$
• El conjunto es totalmente indefinible si y . Esto significa que en el atributo conjunto , no hay objetos de los que podamos estar seguros que pertenecen al conjunto de destino , y no hay objetos que podamos excluir definitivamente del conjunto . Por lo tanto, en el atributo conjunto , no podemos decidir si algún objeto es o no miembro de . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\underline {P}}X=\emptyset }$ ${\displaystyle {\overline {P}}X=\mathbb {U} }$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle X}$

Reducir y núcleo

Una pregunta interesante es si existen atributos en el sistema de información (tabla atributo-valor) que sean más importantes para el conocimiento representado en la estructura de clases de equivalencia que otros atributos. A menudo, nos preguntamos si existe un subconjunto de atributos que pueda, por sí solo, caracterizar completamente el conocimiento en la base de datos; dicho conjunto de atributos se denomina reduct .

Formalmente, una reducción es un subconjunto de atributos tales que ${\displaystyle \mathrm {RED} \subseteq P}$

• ${\displaystyle [x]_{\mathrm {RED} }}$= , es decir, las clases de equivalencia inducidas por el conjunto de atributos reducido son las mismas que la estructura de clases de equivalencia inducida por el conjunto de atributos completo . ${\displaystyle [x]_{P}}$ ${\displaystyle \mathrm {RED} }$ ${\displaystyle P}$
• El conjunto de atributos es mínimo , en el sentido de que para cualquier atributo ; en otras palabras, no se puede eliminar ningún atributo del conjunto sin cambiar las clases de equivalencia . ${\displaystyle \mathrm {RED} }$ ${\displaystyle [x]_{(\mathrm {RED} -\{a\})}\neq [x]_{P}}$ ${\displaystyle a\in \mathrm {RED} }$ ${\displaystyle \mathrm {RED} }$ ${\displaystyle [x]_{P}}$

Se puede pensar en un reduct como un conjunto suficiente de características, es decir, suficiente para representar la estructura de categorías. En la tabla de ejemplo anterior, el conjunto de atributos es un reduct: el sistema de información proyectado únicamente sobre estos atributos posee la misma estructura de clases de equivalencia que la expresada por el conjunto de atributos completo: ${\displaystyle \{P_{3},P_{4},P_{5}\}}$

${\displaystyle {\begin{cases}\{O_{1},O_{2}\}\\\{O_{3},O_{7},O_{10}\}\\\{O_{4}\}\\\{O_{5}\}\\\{O_{6}\}\\\{O_{8}\}\\\{O_{9}\}\end{cases}}}$

El conjunto de atributos es una reducción porque la eliminación de cualquiera de estos atributos provoca un colapso de la estructura de clase de equivalencia, con el resultado de que . ${\displaystyle \{P_{3},P_{4},P_{5}\}}$ ${\displaystyle [x]_{\mathrm {RED} }\neq [x]_{P}}$

La reducción de un sistema de información no es única : puede haber muchos subconjuntos de atributos que preservan la estructura de clase de equivalencia (es decir, el conocimiento) expresado en el sistema de información. En el sistema de información de ejemplo anterior, otra reducción es , que produce la misma estructura de clase de equivalencia que . ${\displaystyle \{P_{1},P_{2},P_{5}\}}$ ${\displaystyle [x]_{P}}$

El conjunto de atributos que es común a todos los reductos se llama núcleo : el núcleo es el conjunto de atributos que posee cada reducto y, por lo tanto, consiste en atributos que no se pueden eliminar del sistema de información sin causar el colapso de la estructura de clase de equivalencia. El núcleo puede considerarse como el conjunto de atributos necesarios , es decir, necesarios para que se represente la estructura de categorías. En el ejemplo, el único atributo de este tipo es ; cualquiera de los otros atributos se puede eliminar individualmente sin dañar la estructura de clase de equivalencia y, por lo tanto, todos son prescindibles . Sin embargo, la eliminación por sí sola cambia la estructura de clase de equivalencia y, por lo tanto, es el atributo indispensable de este sistema de información y, por lo tanto, el núcleo. ${\displaystyle \{P_{5}\}}$ ${\displaystyle \{P_{5}\}}$ ${\displaystyle \{P_{5}\}}$

Es posible que el núcleo esté vacío, lo que significa que no hay ningún atributo indispensable: cualquier atributo individual en un sistema de información de este tipo puede eliminarse sin alterar la estructura de clases de equivalencia. En tales casos, no hay ningún atributo esencial o necesario que se requiera para que la estructura de clases esté representada.

Dependencia de atributos

Uno de los aspectos más importantes del análisis de bases de datos o de la adquisición de datos es el descubrimiento de dependencias entre atributos; es decir, queremos descubrir qué variables están fuertemente relacionadas con qué otras variables. Generalmente, son estas fuertes relaciones las que justificarán una mayor investigación y las que, en última instancia, serán de utilidad en el modelado predictivo.

En la teoría de conjuntos aproximados, la noción de dependencia se define de forma muy sencilla. Tomemos dos conjuntos (disjuntos) de atributos, conjunto y conjunto , e investiguemos qué grado de dependencia se da entre ellos. Cada conjunto de atributos induce una estructura de clases de equivalencia (indiscernibilidad), las clases de equivalencia inducidas por dado por , y las clases de equivalencia inducidas por dado por . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle [x]_{P}}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle [x]_{Q}}$

Sea , donde es una clase de equivalencia dada a partir de la estructura de clase de equivalencia inducida por el conjunto de atributos . Entonces, la dependencia del conjunto de atributos con respecto al conjunto de atributos , , está dada por ${\displaystyle [x]_{Q}=\{Q_{1},Q_{2},Q_{3},\dots ,Q_{N}\}}$ ${\displaystyle Q_{i}}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \gamma _{P}(Q)}$

${\displaystyle \gamma _{P}(Q)={\frac {\sum _{i=1}^{N}\left|{\underline {P}}Q_{i}\right|}{\left|\mathbb {U} \right|}}\leq 1}$

Es decir, para cada clase de equivalencia en , sumamos el tamaño de su aproximación inferior por los atributos en , es decir, . Esta aproximación (como la anterior, para un conjunto arbitrario ) es el número de objetos que, en el conjunto de atributos, pueden identificarse positivamente como pertenecientes al conjunto objetivo . Sumado a todas las clases de equivalencia en , el numerador anterior representa el número total de objetos que, en función del conjunto de atributos , pueden categorizarse positivamente según la clasificación inducida por los atributos . Por lo tanto, la relación de dependencia expresa la proporción (dentro de todo el universo) de tales objetos clasificables. La dependencia "puede interpretarse como una proporción de tales objetos en el sistema de información para los que basta conocer los valores de los atributos en para determinar los valores de los atributos en ". ${\displaystyle Q_{i}}$ ${\displaystyle [x]_{Q}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle {\underline {P}}Q_{i}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q_{i}}$ ${\displaystyle [x]_{Q}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \gamma _{P}(Q)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$

Otra forma intuitiva de considerar la dependencia es tomar la partición inducida por como la clase de destino y considerar como el conjunto de atributos que deseamos usar para "reconstruir" la clase de destino . Si puede reconstruir completamente , entonces depende totalmente de ; si da como resultado una reconstrucción pobre y quizás aleatoria de , entonces no depende de en absoluto. ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P}$

Por lo tanto, esta medida de dependencia expresa el grado de dependencia funcional (es decir, determinista) de un conjunto de atributos respecto de otro conjunto de atributos ; no es simétrica. La relación de esta noción de dependencia de atributos con nociones más tradicionales de teoría de la información (es decir, entrópicas) de dependencia de atributos se ha analizado en varias fuentes, por ejemplo, Pawlak, Wong y Ziarko (1988), ^[4] Yao y Yao (2002), ^[5] Wong, Ziarko y Ye (1986), ^[6] y Quafafou y Boussouf (2000). ^[7] ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P}$

Extracción de reglas

Las representaciones de categorías que hemos analizado anteriormente son todas de naturaleza extensional ; es decir, una categoría o clase compleja es simplemente la suma de todos sus miembros. Representar una categoría es, entonces, simplemente poder enumerar o identificar todos los objetos que pertenecen a esa categoría. Sin embargo, las representaciones de categorías extensionales tienen un uso práctico muy limitado, porque no proporcionan ninguna información para decidir si los objetos nuevos (nunca antes vistos) son miembros de la categoría.

Lo que generalmente se desea es una descripción intencional de la categoría, una representación de la categoría basada en un conjunto de reglas que describen el alcance de la categoría. La elección de tales reglas no es única, y allí radica el problema del sesgo inductivo . Consulte Espacio de versiones y Selección de modelos para obtener más información sobre este tema.

Existen varios métodos de extracción de reglas. Comenzaremos con un procedimiento de extracción de reglas basado en Ziarko y Shan (1995). ^[8]

Matrices de decisión

Digamos que queremos encontrar el conjunto mínimo de reglas consistentes ( implicaciones lógicas ) que caracterizan nuestro sistema de muestra. Para un conjunto de atributos de condición y un atributo de decisión , estas reglas deben tener la forma , o, escritas como ${\displaystyle {\mathcal {P}}=\{P_{1},P_{2},P_{3},\dots ,P_{n}\}}$ ${\displaystyle Q,Q\notin {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle P_{i}^{a}P_{j}^{b}\dots P_{k}^{c}\to Q^{d}}$

${\displaystyle (P_{i}=a)\land (P_{j}=b)\land \dots \land (P_{k}=c)\to (Q=d)}$

donde son valores legítimos de los dominios de sus respectivos atributos. Esta es una forma típica de las reglas de asociación , y el número de elementos en los que coincide la condición/antecedente se denomina soporte de la regla. El método para extraer dichas reglas dado en Ziarko & Shan (1995) es formar una matriz de decisión correspondiente a cada valor individual del atributo de decisión . De manera informal, la matriz de decisión para el valor del atributo de decisión enumera todos los pares atributo-valor que difieren entre los objetos que tienen y . ${\displaystyle \{a,b,c,\dots \}}$ ${\displaystyle \mathbb {U} }$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle Q=d}$ ${\displaystyle Q\neq d}$

Esto se explica mejor con un ejemplo (que también evita mucha notación). Considere la tabla anterior y sea la variable de decisión (es decir, la variable en el lado derecho de las implicaciones) y sea las variables de condición (en el lado izquierdo de la implicación). Observamos que la variable de decisión toma dos valores diferentes, a saber . Tratamos cada caso por separado. ${\displaystyle P_{4}}$ ${\displaystyle \{P_{1},P_{2},P_{3}\}}$ ${\displaystyle P_{4}}$ ${\displaystyle \{1,2\}}$

Primero, observamos el caso , y lo dividimos en objetos que tienen y aquellos que tienen . (Observe que los objetos con en este caso son simplemente los objetos que tienen , pero en general, incluirían todos los objetos que tengan cualquier valor para distinto de , y puede haber varias clases de objetos de este tipo (por ejemplo, aquellos que tienen ).) En este caso, los objetos que tienen son mientras que los objetos que tienen son . La matriz de decisión para enumera todas las diferencias entre los objetos que tienen y aquellos que tienen ; es decir, la matriz de decisión enumera todas las diferencias entre y . Colocamos los objetos "positivos" ( ) como filas y los objetos "negativos" como columnas. ${\displaystyle P_{4}=1}$ ${\displaystyle \mathbb {U} }$ ${\displaystyle P_{4}=1}$ ${\displaystyle P_{4}\neq 1}$ ${\displaystyle P_{4}\neq 1}$ ${\displaystyle P_{4}=2}$ ${\displaystyle P_{4}\neq 1}$ ${\displaystyle P_{4}}$ ${\displaystyle P_{4}=1}$ ${\displaystyle P_{4}=2,3,4,etc.}$ ${\displaystyle P_{4}=1}$ ${\displaystyle \{O_{1},O_{2},O_{3},O_{7},O_{10}\}}$ ${\displaystyle P_{4}\neq 1}$ ${\displaystyle \{O_{4},O_{5},O_{6},O_{8},O_{9}\}}$ ${\displaystyle P_{4}=1}$ ${\displaystyle P_{4}=1}$ ${\displaystyle P_{4}\neq 1}$ ${\displaystyle \{O_{1},O_{2},O_{3},O_{7},O_{10}\}}$ ${\displaystyle \{O_{4},O_{5},O_{6},O_{8},O_{9}\}}$ ${\displaystyle P_{4}=1}$ ${\displaystyle P_{4}\neq 1}$

Para leer esta matriz de decisión, observe, por ejemplo, la intersección de la fila y la columna , que se muestra en la celda . Esto significa que, con respecto al valor de decisión , el objeto difiere del objeto en los atributos y , y los valores particulares de estos atributos para el objeto positivo son y . Esto nos dice que la clasificación correcta de como perteneciente a la clase de decisión se basa en los atributos y ; aunque uno u otro podría ser prescindible, sabemos que al menos uno de estos atributos es prescindible . ${\displaystyle O_{3}}$ ${\displaystyle O_{6}}$ ${\displaystyle P_{1}^{2},P_{3}^{0}}$ ${\displaystyle P_{4}=1}$ ${\displaystyle O_{3}}$ ${\displaystyle O_{6}}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle P_{3}}$ ${\displaystyle O_{3}}$ ${\displaystyle P_{1}=2}$ ${\displaystyle P_{3}=0}$ ${\displaystyle O_{3}}$ ${\displaystyle P_{4}=1}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle P_{3}}$

A continuación, a partir de cada matriz de decisión, formamos un conjunto de expresiones booleanas , una expresión para cada fila de la matriz. Los elementos dentro de cada celda se agregan de forma disyuntiva y, a continuación, las celdas individuales se agregan de forma conjuntiva. Por lo tanto, para la tabla anterior tenemos las siguientes cinco expresiones booleanas:

${\displaystyle {\begin{cases}(P_{1}^{1}\lor P_{2}^{2}\lor P_{3}^{0})\land (P_{1}^{1}\lor P_{2}^{2})\land (P_{1}^{1}\lor P_{2}^{2}\lor P_{3}^{0})\land (P_{1}^{1}\lor P_{2}^{2}\lor P_{3}^{0})\land (P_{1}^{1}\lor P_{2}^{2})\\(P_{1}^{1}\lor P_{2}^{2}\lor P_{3}^{0})\land (P_{1}^{1}\lor P_{2}^{2})\land (P_{1}^{1}\lor P_{2}^{2}\lor P_{3}^{0})\land (P_{1}^{1}\lor P_{2}^{2}\lor P_{3}^{0})\land (P_{1}^{1}\lor P_{2}^{2})\\(P_{1}^{2}\lor P_{3}^{0})\land (P_{2}^{0})\land (P_{1}^{2}\lor P_{3}^{0})\land (P_{1}^{2}\lor P_{2}^{0}\lor P_{3}^{0})\land (P_{2}^{0})\\(P_{1}^{2}\lor P_{3}^{0})\land (P_{2}^{0})\land (P_{1}^{2}\lor P_{3}^{0})\land (P_{1}^{2}\lor P_{2}^{0}\lor P_{3}^{0})\land (P_{2}^{0})\\(P_{1}^{2}\lor P_{3}^{0})\land (P_{2}^{0})\land (P_{1}^{2}\lor P_{3}^{0})\land (P_{1}^{2}\lor P_{2}^{0}\lor P_{3}^{0})\land (P_{2}^{0})\end{cases}}}$

Cada enunciado aquí es esencialmente una regla muy específica (probablemente demasiado específica) que rige la pertenencia a la clase del objeto correspondiente. Por ejemplo, el último enunciado, correspondiente a object , establece que se deben cumplir todos los siguientes requisitos: ${\displaystyle P_{4}=1}$ ${\displaystyle O_{10}}$

1. Debe tener valor 2, o debe tener valor 0, o ambos. ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle P_{3}}$
2. ${\displaystyle P_{2}}$debe tener valor 0.
3. Debe tener valor 2, o debe tener valor 0, o ambos. ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle P_{3}}$
4. Debe tener el valor 2, o debe tener el valor 0, o debe tener el valor 0, o cualquier combinación de ellos. ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle P_{3}}$
5. ${\displaystyle P_{2}}$debe tener valor 0.

Está claro que hay una gran cantidad de redundancia aquí, y el siguiente paso es simplificar utilizando el álgebra booleana tradicional . La declaración correspondiente a los objetos se simplifica a , lo que produce la implicación ${\displaystyle (P_{1}^{1}\lor P_{2}^{2}\lor P_{3}^{0})\land (P_{1}^{1}\lor P_{2}^{2})\land (P_{1}^{1}\lor P_{2}^{2}\lor P_{3}^{0})\land (P_{1}^{1}\lor P_{2}^{2}\lor P_{3}^{0})\land (P_{1}^{1}\lor P_{2}^{2})}$ ${\displaystyle \{O_{1},O_{2}\}}$ ${\displaystyle P_{1}^{1}\lor P_{2}^{2}}$

${\displaystyle (P_{1}=1)\lor (P_{2}=2)\to (P_{4}=1)}$

De la misma manera, la declaración correspondiente a los objetos se simplifica a . Esto nos da la implicación ${\displaystyle (P_{1}^{2}\lor P_{3}^{0})\land (P_{2}^{0})\land (P_{1}^{2}\lor P_{3}^{0})\land (P_{1}^{2}\lor P_{2}^{0}\lor P_{3}^{0})\land (P_{2}^{0})}$ ${\displaystyle \{O_{3},O_{7},O_{10}\}}$ ${\displaystyle P_{1}^{2}P_{2}^{0}\lor P_{3}^{0}P_{2}^{0}}$

${\displaystyle (P_{1}=2\land P_{2}=0)\lor (P_{3}=0\land P_{2}=0)\to (P_{4}=1)}$

Las implicaciones anteriores también pueden escribirse como el siguiente conjunto de reglas:

${\displaystyle {\begin{cases}(P_{1}=1)\to (P_{4}=1)\\(P_{2}=2)\to (P_{4}=1)\\(P_{1}=2)\land (P_{2}=0)\to (P_{4}=1)\\(P_{3}=0)\land (P_{2}=0)\to (P_{4}=1)\end{cases}}}$

Se puede observar que cada una de las dos primeras reglas tiene un soporte de 1 (es decir, el antecedente coincide con dos objetos), mientras que cada una de las dos últimas reglas tiene un soporte de 2. Para terminar de escribir el conjunto de reglas para este sistema de conocimiento, se debe seguir el mismo procedimiento que el anterior (comenzando con la escritura de una nueva matriz de decisión) para el caso de , obteniendo así un nuevo conjunto de implicaciones para ese valor de decisión (es decir, un conjunto de implicaciones con como consecuente). En general, el procedimiento se repetirá para cada valor posible de la variable de decisión. ${\displaystyle P_{4}=2}$ ${\displaystyle P_{4}=2}$

Sistema de inducción de reglas LERS

El sistema de datos LERS (Learning from Examples based on Rough Sets) ^[9] puede inducir reglas a partir de datos inconsistentes, es decir, datos con objetos conflictivos. Dos objetos son conflictivos cuando se caracterizan por los mismos valores de todos los atributos, pero pertenecen a conceptos (clases) diferentes. LERS utiliza la teoría de conjuntos aproximados para calcular aproximaciones inferiores y superiores para conceptos involucrados en conflictos con otros conceptos.

Las reglas inducidas a partir de la aproximación inferior del concepto describen ciertamente el concepto, por lo que dichas reglas se denominan ciertas . Por otro lado, las reglas inducidas a partir de la aproximación superior del concepto describen el concepto posiblemente , por lo que estas reglas se denominan posibles . Para la inducción de reglas, LERS utiliza tres algoritmos: LEM1, LEM2 e IRIM.

El algoritmo LEM2 de LERS se utiliza con frecuencia para la inducción de reglas y se utiliza no solo en LERS sino también en otros sistemas, por ejemplo, en RSES. ^[10] LEM2 explora el espacio de búsqueda de pares atributo-valor . Su conjunto de datos de entrada es una aproximación inferior o superior de un concepto, por lo que su conjunto de datos de entrada siempre es consistente. En general, LEM2 calcula una cobertura local y luego la convierte en un conjunto de reglas. Citaremos algunas definiciones para describir el algoritmo LEM2.

El algoritmo LEM2 se basa en la idea de un bloque de pares atributo-valor. Sea una aproximación inferior o superior no vacía de un concepto representado por un par de decisión-valor . El conjunto depende de un conjunto de pares atributo-valor si y solo si ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (d,w)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle t=(a,v)}$

${\displaystyle \emptyset \neq [T]=\bigcap _{t\in T}[t]\subseteq X.}$

Un conjunto es un complejo mínimo de si y solo si depende de y no existe ningún subconjunto propio de tal que dependa de . Sea una colección no vacía de conjuntos no vacíos de pares atributo-valor. Entonces es una cobertura local de si y solo si se cumplen las tres condiciones siguientes: ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle X}$

cada miembro de es un complejo mínimo de , ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \bigcup _{t\in \mathbb {T} }[T]=X,}$

${\displaystyle \mathbb {T} }$es mínimo, es decir, tiene el menor número posible de miembros. ${\displaystyle \mathbb {T} }$

Para nuestro sistema de información de muestra, LEM2 inducirá las siguientes reglas:

${\displaystyle {\begin{cases}(P_{1},1)\to (P_{4},1)\\(P_{5},0)\to (P_{4},1)\\(P_{1},0)\to (P_{4},2)\\(P_{2},1)\to (P_{4},2)\end{cases}}}$

Se pueden encontrar otros métodos de aprendizaje de reglas, por ejemplo, en Pawlak (1991), ^[1] Stefanowski (1998), ^[11] Bazan et al. (2004), ^[10] etc.

Datos incompletos

La teoría de conjuntos aproximados es útil para la inducción de reglas a partir de conjuntos de datos incompletos. Con este enfoque podemos distinguir entre tres tipos de valores de atributos faltantes: valores perdidos (los valores que se registraron pero que actualmente no están disponibles), valores de atributos-conceptos (estos valores de atributos faltantes pueden reemplazarse por cualquier valor de atributo limitado al mismo concepto) y condiciones de "no importa" (los valores originales eran irrelevantes). Un concepto ( clase ) es un conjunto de todos los objetos clasificados (o diagnosticados) de la misma manera.

Se estudiaron exhaustivamente dos conjuntos de datos especiales con valores de atributos faltantes: en el primer caso, se perdieron todos los valores de atributos faltantes, ^[12] en el segundo caso, todos los valores de atributos faltantes eran condiciones de "no importa". ^[13]

En la interpretación de valores de atributo-concepto de un valor de atributo faltante, el valor de atributo faltante puede ser reemplazado por cualquier valor del dominio de atributo restringido al concepto al que pertenece el objeto con un valor de atributo faltante. ^[14] Por ejemplo, si para un paciente falta el valor de un atributo Temperatura, este paciente está enfermo de gripe y todos los pacientes restantes enfermos de gripe tienen valores altos o muy altos para Temperatura cuando usamos la interpretación del valor de atributo faltante como el valor de atributo-concepto, reemplazaremos el valor de atributo faltante con alto y muy alto. Además, la relación característica , (ver, por ejemplo, Grzymala-Busse & Grzymala-Busse (2007)) permite procesar conjuntos de datos con los tres tipos de valores de atributo faltantes al mismo tiempo: perdidos, condiciones de "no importa" y valores de atributo-concepto.

Aplicaciones

Los métodos de conjuntos aproximados se pueden aplicar como un componente de soluciones híbridas en el aprendizaje automático y la minería de datos . Se ha descubierto que son particularmente útiles para la inducción de reglas y la selección de características ( reducción de dimensionalidad que preserva la semántica ). Los métodos de análisis de datos basados ​​en conjuntos aproximados se han aplicado con éxito en bioinformática , economía y finanzas, medicina, multimedia, minería de texto y web , procesamiento de señales e imágenes, ingeniería de software , robótica e ingeniería (por ejemplo, sistemas de energía e ingeniería de control ). Recientemente, las tres regiones de los conjuntos aproximados se interpretan como regiones de aceptación, rechazo y aplazamiento. Esto conduce a un enfoque de toma de decisiones de tres vías con el modelo que potencialmente puede conducir a futuras aplicaciones interesantes.

Historia

La idea de conjunto aproximado fue propuesta por Pawlak (1981) como una nueva herramienta matemática para tratar conceptos vagos. Comer, Grzymala-Busse, Iwinski, Nieminen, Novotny, Pawlak, Obtulowicz y Pomykala han estudiado las propiedades algebraicas de los conjuntos aproximados. P. Pagliani, I. Duntsch, MK Chakraborty, M. Banerjee y A. Mani han desarrollado diferentes semánticas algebraicas; estas han sido extendidas a conjuntos aproximados más generalizados por D. Cattaneo y A. Mani, en particular. Los conjuntos aproximados se pueden utilizar para representar ambigüedad , vaguedad e incertidumbre general .

Extensiones y generalizaciones

Desde el desarrollo de los conjuntos aproximados, las extensiones y generalizaciones han seguido evolucionando. Los desarrollos iniciales se centraron en la relación (tanto las similitudes como las diferencias) con los conjuntos difusos . Si bien algunos estudios sostienen que estos conceptos son diferentes, otros consideran que los conjuntos aproximados son una generalización de los conjuntos difusos, representados a través de conjuntos aproximados difusos o conjuntos difusos aproximados. Pawlak (1995) consideró que los conjuntos aproximados y difusos deberían tratarse como complementarios entre sí, abordando diferentes aspectos de la incertidumbre y la vaguedad.

Tres extensiones notables de los conjuntos aproximados clásicos son:

• El enfoque de conjuntos aproximados basado en dominancia (DRSA) es una extensión de la teoría de conjuntos aproximados para el análisis de decisiones de criterios múltiples (MCDA), introducida por Greco, Matarazzo y Słowiński (2001). ^[15] El principal cambio en esta extensión de los conjuntos aproximados clásicos es la sustitución de la relación de indiscernibilidad por una relación de dominancia , que permite que el formalismo aborde las inconsistencias típicas en la consideración de criterios y clases de decisión ordenadas por preferencias.
• Los conjuntos aproximados teóricos de decisiones (DTRS) son una extensión probabilística de la teoría de conjuntos aproximados introducida por Yao, Wong y Lingras (1990). ^[16] Utiliza un procedimiento de decisión bayesiano para la toma de decisiones de riesgo mínimo. Los elementos se incluyen en las aproximaciones inferior y superior en función de si su probabilidad condicional está por encima de los umbrales y . Estos umbrales superior e inferior determinan la inclusión de la región para los elementos. Este modelo es único y poderoso ya que los umbrales mismos se calculan a partir de un conjunto de seis funciones de pérdida que representan los riesgos de clasificación. ${\displaystyle \textstyle \alpha }$ ${\displaystyle \textstyle \beta }$
• Los conjuntos aproximados de teoría de juegos (GTRS) son una extensión basada en la teoría de juegos de los conjuntos aproximados que fue introducida por Herbert y Yao (2011). ^[17] Utiliza un entorno de teoría de juegos para optimizar ciertos criterios de clasificación o toma de decisiones basados ​​en conjuntos aproximados con el fin de obtener tamaños de región efectivos.

Membresía aproximada

Los conjuntos aproximados también pueden definirse, como una generalización, empleando una función de pertenencia aproximada en lugar de una aproximación objetiva. La función de pertenencia aproximada expresa una probabilidad condicional que pertenece a un determinado . Esto puede interpretarse como un grado que pertenece a en términos de información sobre expresado por . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} }$

La pertenencia aproximada se diferencia principalmente de la pertenencia difusa en que la pertenencia de la unión y la intersección de conjuntos no se puede calcular, en general, a partir de su pertenencia constituyente, como es el caso de los conjuntos difusos. En este sentido, la pertenencia aproximada es una generalización de la pertenencia difusa. Además, la función de pertenencia aproximada se basa más en la probabilidad que los conceptos convencionales de la función de pertenencia difusa.

Otras generalizaciones

Se han introducido, estudiado y aplicado varias generalizaciones de conjuntos aproximados para la resolución de problemas. A continuación se presentan algunas de estas generalizaciones:

• Conjuntos múltiples aproximados ^[18]
• Los conjuntos aproximados difusos amplían el concepto de conjunto aproximado mediante el uso de clases de equivalencia difusa ^[19]
• Teoría de conjuntos aproximados alfa (α-RST): una generalización de la teoría de conjuntos aproximados que permite la aproximación mediante conceptos difusos ^[20]
• Conjuntos aproximados difusos intuicionistas ^[21]
• Conjuntos difusos generalizados ^{[22] [23]}
• Conjuntos difusos intuicionistas aproximados ^[24]
• Conjuntos difusos suaves y ásperos y conjuntos difusos suaves y ásperos ^[25]
• Conjuntos compuestos en bruto ^[26]

Véase también

• Semántica algebraica
• Teoría de conjuntos alternativos
• Ordenador analógico
• Lógica descriptiva
• Lógica difusa
• Teoría de conjuntos difusos
• Computación granular
• Conjuntos cercanos
• Hibridación difusa áspera
• Conjuntos y sistemas difusos de tipo 2
• Conjuntos aproximados de teoría de decisiones
• Espacio de versiones
• Enfoque de conjunto aproximado basado en la dominancia

Referencias

1. Pawlak, Zdzisław (1991). Conjuntos aproximados: aspectos teóricos del razonamiento sobre datos . Dordrecht: Kluwer Academic Publishing. ISBN 978-0-7923-1472-1.
2. Pawlak, Zdzisław ; Grzymala-Busse, Jerzy; Słowiński, romano; Ziarko, Wojciech (1 de noviembre de 1995). "Conjuntos preliminares". Comunicaciones de la ACM . 38 (11): 88–95. doi :10.1145/219717.219791.
3. Düntsch, Ivo; Gediga, Günther (1995). "Análisis de dependencia de conjuntos aproximados en estudios de evaluación: una aplicación en el estudio de ataques cardíacos repetidos". Informatics Research Reports (10). Universidad del Ulster: 25–30.
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Lectura adicional

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• Burgin, M. (2011), Teoría de conjuntos nombrados, Desarrollos de investigación matemática, Nova Science Pub Inc, ISBN 978-1-61122-788-8 
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• Chen H., Li T., Luo C., Horng SJ., Wang G. (2014). Un método aproximado basado en conjuntos para actualizar las reglas de decisión sobre el engrosamiento y refinamiento de los valores de los atributos, IEEE Transactions on Knowledge and Data Engineering, 26(12): 2886-2899
• Chen H., Li T., Ruan D., Lin J., Hu C, (2013) Un enfoque incremental basado en conjuntos aproximados para actualizar aproximaciones en entornos de mantenimiento dinámico. IEEE Transactions on Knowledge and Data Engineering, 25(2): 274-284

Enlaces externos

• Sociedad Internacional de Rough Set
• Tutorial preliminar
• Conjuntos preliminares: un tutorial rápido
• Sistema de exploración de conjuntos preliminares
• Conjuntos preliminares en el almacenamiento de datos