teoría L

En matemáticas , la teoría L algebraica es la teoría K de formas cuadráticas ; El término fue acuñado por CTC Wall , utilizándose L como letra después de K. La teoría L algebraica , también conocida como " teoría K hermitiana ", es importante en la teoría quirúrgica . ^[1]

Definición

Se pueden definir L -grupos para cualquier anillo con involución R : los L -grupos cuadráticos (Wall) y los L -grupos simétricos (Mishchenko, Ranicki). ${\displaystyle L_{*}(R)}$ ${\displaystyle L^{*}(R)}$

incluso dimensión

Los grupos L de dimensión par se definen como los grupos de Witt de formas ε-cuadráticas sobre el anillo R con . Más precisamente, ${\displaystyle L_{2k}(R)}$ ${\displaystyle \epsilon =(-1)^{k}}$

${\displaystyle L_{2k}(R)}$

es el grupo abeliano de clases de equivalencia de formas ε-cuadráticas no degeneradas sobre R, donde los módulos R subyacentes F se generan de forma finita y libre. La relación de equivalencia viene dada por la estabilización con respecto a formas ε-cuadráticas hiperbólicas : ${\displaystyle [\psi ]}$ ${\displaystyle \psi \in Q_{\epsilon }(F)}$

${\displaystyle [\psi ]=[\psi ']\Longleftrightarrow n,n'\in {\mathbb {N} }_{0}:\psi \oplus H_{(-1)^{k}}(R)^{n}\cong \psi '\oplus H_{(-1)^{k}}(R)^{n'}}$.

La suma está definida por ${\displaystyle L_{2k}(R)}$

${\displaystyle [\psi _{1}]+[\psi _{2}]:=[\psi _{1}\oplus \psi _{2}].}$

El elemento cero está representado por for any . La inversa de es . ${\displaystyle H_{(-1)^{k}}(R)^{n}}$ ${\displaystyle n\in {\mathbb {N} }_{0}}$ ${\displaystyle [\psi ]}$ ${\displaystyle [-\psi ]}$

Dimensión extraña

Definir grupos L de dimensiones impares es más complicado; Se pueden encontrar más detalles y la definición de los grupos L de dimensiones impares en las referencias mencionadas a continuación.

Ejemplos y aplicaciones

Los grupos L de un grupo son los grupos L del anillo de grupo . En las aplicaciones a la topología es el grupo fundamental de un espacio . Los grupos L cuadráticos desempeñan un papel central en la clasificación quirúrgica de los tipos de homotopía de variedades de dimensión -dimensionales y en la formulación de la conjetura de Novikov . ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle L_{*}(\mathbf {Z} [\pi ])}$ ${\displaystyle \mathbf {Z} [\pi ]}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L_{*}(\mathbf {Z} [\pi ])}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n>4}$

La distinción entre grupos L simétricos y grupos L cuadráticos , indicados por índices superior e inferior, refleja el uso en homología y cohomología de grupos. La cohomología de grupo del grupo cíclico se ocupa de los puntos fijos de una acción, mientras que la homología de grupo se ocupa de las órbitas de una acción; compare (puntos fijos) y (órbitas, cociente) para notación de índice superior/inferior. ${\displaystyle H^{*}}$ ${\displaystyle \mathbf {Z} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {Z} _{2}}$ ${\displaystyle H_{*}}$ ${\displaystyle \mathbf {Z} _{2}}$ ${\displaystyle X^{G}}$ ${\displaystyle X_{G}=X/G}$

Los grupos L cuadráticos : y los grupos L simétricos : están relacionados por un mapa de simetrización que es un isomorfismo módulo 2-torsión, y que corresponde a las identidades de polarización . ${\displaystyle L_{n}(R)}$ ${\displaystyle L^{n}(R)}$ ${\displaystyle L_{n}(R)\to L^{n}(R)}$

Los grupos L cuadráticos y simétricos son cuádruples periódicos (el comentario de Ranicki, página 12, sobre la no periodicidad de los grupos L simétricos se refiere a otro tipo de grupos L , definidos mediante "complejos cortos").

En vista de las aplicaciones a la clasificación de variedades, existen cálculos extensos de los grupos cuadráticos . Para finitos se utilizan métodos algebraicos, y en su mayoría métodos geométricos (por ejemplo, topología controlada) para infinitos . ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L_{*}(\mathbf {Z} [\pi ])}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi }$

De manera más general, se pueden definir grupos L para cualquier categoría de aditivo con una dualidad de cadena , como en Ranicki (sección 1).

Enteros

Los grupos L simplemente conectados son también los grupos L de los números enteros, ya que para ambos = o Para grupos L cuadráticos , estos son los obstáculos quirúrgicos para la cirugía simplemente conectada . ${\displaystyle L(e):=L(\mathbf {Z} [e])=L(\mathbf {Z} )}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L^{*}}$ ${\displaystyle L_{*}.}$

Los L -grupos cuadráticos de los números enteros son:

${\displaystyle {\begin{aligned}L_{4k}(\mathbf {Z} )&=\mathbf {Z} &&{\text{signature}}/8\\L_{4k+1}(\mathbf {Z} )&=0\\L_{4k+2}(\mathbf {Z} )&=\mathbf {Z} /2&&{\text{Arf invariant}}\\L_{4k+3}(\mathbf {Z} )&=0.\end{aligned}}}$

En dimensión doblemente par (4 k ), los grupos L cuadráticos detectan la firma ; en una dimensión par (4 k +2), los grupos L detectan el invariante Arf (topológicamente el invariante de Kervaire ).

Los L -grupos simétricos de los números enteros son:

${\displaystyle {\begin{aligned}L^{4k}(\mathbf {Z} )&=\mathbf {Z} &&{\text{signature}}\\L^{4k+1}(\mathbf {Z} )&=\mathbf {Z} /2&&{\text{de Rham invariant}}\\L^{4k+2}(\mathbf {Z} )&=0\\L^{4k+3}(\mathbf {Z} )&=0.\end{aligned}}}$

En dimensión doblemente par (4k ) , los grupos L simétricos , al igual que los grupos L cuadráticos , detectan la firma; en dimensión (4 k +1), los grupos L detectan el invariante de De Rham .

Referencias

1. "Teoría L, teoría K e involuciones, por Levikov, Filipp, 2013, en la Universidad de Aberdeen (ISNI:0000 0004 2745 8820)".

• Lück, Wolfgang (2002), "Una introducción básica a la teoría de la cirugía" (PDF) , Topología de variedades de alta dimensión, No. 1, 2 (Trieste, 2001) , ICTP Lect. Notas, vol. 9, Abdus Salam Int. Centavo. Teoría. Phys., Trieste, págs. 1–224, MR  1937016
• Ranicki, Andrew A. (1992), Teoría L algebraica y variedades topológicas (PDF) , Cambridge Tracts in Mathematics, vol. 102, Prensa de la Universidad de Cambridge , ISBN 978-0-521-42024-2, SEÑOR  1211640
• Wall, CTC (1999) [1970], Ranicki, Andrew (ed.), Cirugía en colectores compactos (PDF) , Mathematical Surveys and Monographs, vol. 69 (2ª ed.), Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense , ISBN 978-0-8218-0942-6, señor  1687388