kriging

Método de interpolación

Ejemplo de interpolación de datos unidimensionales mediante kriging, con intervalos creíbles . Los cuadrados indican la ubicación de los datos. La interpolación kriging, que se muestra en rojo, recorre la media de los intervalos creíbles normalmente distribuidos que se muestran en gris. La curva discontinua muestra una spline suave, pero que se aleja significativamente de los valores esperados dados por esos medios.

En estadística , originalmente en geoestadística , kriging o Kriging , ( / ˈk r iː ɡ ɪ ŋ / ), también conocido como regresión del proceso gaussiano , es un método de interpolación basado en el proceso gaussiano regido por covarianzas previas . Bajo los supuestos adecuados de lo anterior, el kriging proporciona la mejor predicción lineal insesgada (BLUP) en ubicaciones no muestreadas. ^[1] Es posible que los métodos de interpolación basados ​​en otros criterios como la suavidad (p. ej., suavizado spline ) no produzcan el BLUP. El método se utiliza ampliamente en el ámbito del análisis espacial y los experimentos informáticos . La técnica también se conoce como predicción de Wiener-Kolmogorov , en honor a Norbert Wiener y Andrey Kolmogorov .

La base teórica del método fue desarrollada por el matemático francés Georges Matheron en 1960, basándose en la tesis de maestría de Danie G. Krige , el trazador pionero de las leyes de oro promedio ponderadas por distancia en el complejo de arrecifes de Witwatersrand en Sudáfrica . Krige intentó estimar la distribución más probable del oro basándose en muestras de algunos pozos. El verbo inglés es krige y el sustantivo más común es kriging . La palabra a veces se escribe con mayúscula como Kriging en la literatura.

Aunque requiere mucha computación en su formulación básica, el kriging se puede escalar a problemas más grandes utilizando varios métodos de aproximación .

Principios fundamentales

Términos y técnicas relacionados

Kriging predice el valor de una función en un punto dado calculando un promedio ponderado de los valores conocidos de la función en las proximidades del punto. El método está estrechamente relacionado con el análisis de regresión . Ambas teorías derivan un mejor estimador lineal insesgado basado en supuestos sobre covarianzas , utilizan el teorema de Gauss-Markov para demostrar la independencia de la estimación y el error, y utilizan fórmulas muy similares. Aun así, son útiles en diferentes marcos: el kriging se realiza para la estimación de una única realización de un campo aleatorio, mientras que los modelos de regresión se basan en múltiples observaciones de un conjunto de datos multivariados.

La estimación de kriging también puede verse como una spline en un espacio de Hilbert del núcleo reproductor , con el núcleo reproductor dado por la función de covarianza. ^[2] La diferencia con el enfoque de kriging clásico la proporciona la interpretación: mientras que el spline está motivado por una interpolación de norma mínima basada en una estructura de espacio de Hilbert, el kriging está motivado por un error de predicción cuadrático esperado basado en un modelo estocástico.

El kriging con superficies de tendencia polinomiales es matemáticamente idéntico al ajuste de curvas polinomiales de mínimos cuadrados generalizados .

Kriging también puede entenderse como una forma de optimización bayesiana . ^[3] Kriging comienza con una distribución previa de funciones . Esto a priori toma la forma de un proceso gaussiano: las muestras de una función se distribuirán normalmente , donde la covarianza entre dos muestras cualesquiera es la función de covarianza (o núcleo ) del proceso gaussiano evaluado en la ubicación espacial de dos puntos. Luego se observa un conjunto de valores, cada valor asociado con una ubicación espacial. Ahora, se puede predecir un nuevo valor en cualquier ubicación espacial nueva combinando el valor previo gaussiano con una función de probabilidad gaussiana para cada uno de los valores observados. La distribución posterior resultante también es gaussiana, con una media y una covarianza que pueden calcularse simplemente a partir de los valores observados, su varianza y la matriz central derivada de la anterior. ${\displaystyle N}$

Estimador geoestadístico

En los modelos geoestadísticos, los datos muestreados se interpretan como el resultado de un proceso aleatorio. El hecho de que estos modelos incorporen incertidumbre en su conceptualización no significa que el fenómeno –el bosque, el acuífero, el depósito mineral– haya resultado de un proceso aleatorio, sino que permite construir una base metodológica para la inferencia espacial de cantidades en ubicaciones no observadas y cuantificar la incertidumbre asociada con el estimador.

Un proceso estocástico es, en el contexto de este modelo, simplemente una forma de abordar el conjunto de datos recopilados de las muestras. El primer paso en la modulación geoestadística es crear un proceso aleatorio que describa mejor el conjunto de datos observados.

Un valor de ubicación (denominación genérica de un conjunto de coordenadas geográficas ) se interpreta como una realización de la variable aleatoria . En el espacio donde se dispersa el conjunto de muestras, existen realizaciones de las variables aleatorias , correlacionadas entre sí. ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle z(x_{1})}$ ${\displaystyle Z(x_{1})}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle Z(x_{1}),Z(x_{2}),\ldots ,Z(x_{N})}$

El conjunto de variables aleatorias constituye una función aleatoria, de la que sólo se conoce una realización: el conjunto de datos observados. Con una sola realización de cada variable aleatoria, es teóricamente imposible determinar cualquier parámetro estadístico de las variables individuales o de la función. La solución propuesta en el formalismo geoestadístico consiste en asumir varios grados de estacionariedad en la función aleatoria, para hacer posible la inferencia de algunos valores estadísticos. ${\displaystyle z(x_{i})}$

Por ejemplo, si se supone, basándose en la homogeneidad de las muestras en el área donde se distribuye la variable, la hipótesis de que el primer momento es estacionario (es decir, todas las variables aleatorias tienen la misma media), entonces se supone que la media se puede estimar. por la media aritmética de los valores muestreados. ${\displaystyle A}$

La hipótesis de estacionariedad relacionada con el segundo momento se define de la siguiente manera: la correlación entre dos variables aleatorias depende únicamente de la distancia espacial entre ellas y es independiente de su ubicación. Así, si y , entonces: ${\displaystyle \mathbf {h} =x_{2}-x_{1}}$ ${\displaystyle |\mathbf {h} |=h}$

${\displaystyle C{\big (}Z(x_{1}),Z(x_{2}){\big )}=C{\big (}Z(x_{i}),Z(x_{i}+\mathbf {h} ){\big )}=C(h),}$

${\displaystyle \gamma {\big (}Z(x_{1}),Z(x_{2}){\big )}=\gamma {\big (}Z(x_{i}),Z(x_{i}+\mathbf {h} ){\big )}=\gamma (h).}$

Por simplicidad, definimos y . ${\displaystyle C(x_{i},x_{j})=C{\big (}Z(x_{i}),Z(x_{j}){\big )}}$ ${\displaystyle \gamma (x_{i},x_{j})=\gamma {\big (}Z(x_{i}),Z(x_{j}){\big )}}$

Esta hipótesis permite inferir esas dos medidas: el variograma y el covariograma:

${\displaystyle \gamma (h)={\frac {1}{2|N(h)|}}\sum _{(i,j)\in N(h)}{\big (}Z(x_{i})-Z(x_{j}){\big )}^{2},}$

${\displaystyle C(h)={\frac {1}{|N(h)|}}\sum _{(i,j)\in N(h)}{\big (}Z(x_{i})-m(h){\big )}{\big (}Z(x_{j})-m(h){\big )},}$

dónde:

${\displaystyle m(h)={\frac {1}{2|N(h)|}}\sum _{(i,j)\in N(h)}Z(x_{i})+Z(x_{j})}$;

${\displaystyle N(h)}$denota el conjunto de pares de observaciones tales que y es el número de pares en el conjunto. ${\displaystyle i,\;j}$ ${\displaystyle |x_{i}-x_{j}|=h}$ ${\displaystyle |N(h)|}$

En este conjunto, y denota el mismo elemento. Generalmente se utiliza una "distancia aproximada", implementada utilizando una cierta tolerancia. ${\displaystyle (i,\;j)}$ ${\displaystyle (j,\;i)}$ ${\displaystyle h}$

Estimación lineal

La inferencia espacial, o estimación, de una cantidad , en una ubicación no observada , se calcula a partir de una combinación lineal de los valores y pesos observados : ${\displaystyle Z\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle z_{i}=Z(x_{i})}$ ${\displaystyle w_{i}(x_{0}),\;i=1,\ldots ,N}$

${\displaystyle {\hat {Z}}(x_{0})={\begin{bmatrix}w_{1}&w_{2}&\cdots &w_{N}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}z_{1}\\z_{2}\\\vdots \\z_{N}\end{bmatrix}}=\sum _{i=1}^{N}w_{i}(x_{0})Z(x_{i}).}$

Los pesos pretenden resumir dos procedimientos extremadamente importantes en un proceso de inferencia espacial: ${\displaystyle w_{i}}$

• reflejar la "proximidad" estructural de las muestras al lugar de estimación ; ${\displaystyle x_{0}}$
• al mismo tiempo, deberían tener un efecto de desagregación, a fin de evitar sesgos causados ​​por eventuales conglomerados de muestras .

Al calcular los pesos , existen dos objetivos en el formalismo geoestadístico: insesgo y varianza mínima de estimación . ${\displaystyle w_{i}}$

Si la nube de valores reales se traza contra los valores estimados , el criterio de insesgo global, estacionariedad intrínseca o estacionariedad de sentido amplio del campo, implica que la media de las estimaciones debe ser igual a la media de los valores reales. ${\displaystyle Z(x_{0})}$ ${\displaystyle {\hat {Z}}(x_{0})}$

El segundo criterio dice que la media de las desviaciones al cuadrado debe ser mínima, lo que significa que cuando la nube de valores estimados versus la nube de valores reales está más dispersa, el estimador es más impreciso. ${\displaystyle {\big (}{\hat {Z}}(x)-Z(x){\big )}}$

Métodos

Dependiendo de las propiedades estocásticas del campo aleatorio y de los distintos grados de estacionariedad supuestos, se pueden deducir diferentes métodos para calcular los pesos, es decir, se aplican diferentes tipos de kriging. Los métodos clásicos son:

• El kriging ordinario supone una media desconocida constante sólo en la zona de búsqueda de . ${\displaystyle x_{0}}$
• El kriging simple supone la estacionariedad del primer momento en todo el dominio con una media conocida: , donde está la media conocida. ${\displaystyle E\{Z(x)\}=E\{Z(x_{0})\}=m}$ ${\displaystyle m}$
• kriging universalSe supone un modelo de tendencia polinomial general, como el modelo de tendencia lineal . ${\displaystyle \textstyle E\{Z(x)\}=\sum _{k=0}^{p}\beta _{k}f_{k}(x)}$
• kriging IRFkse supone que es un polinomio desconocido en . ${\displaystyle E\{Z(x)\}}$ ${\displaystyle x}$
• kriging indicadorutiliza funciones indicadoras en lugar del proceso en sí, para estimar las probabilidades de transición.
  • Kriging de indicadores múltipleses una versión del kriging de indicadores que trabaja con una familia de indicadores. Inicialmente, MIK mostró una promesa considerable como un nuevo método que podría estimar con mayor precisión las concentraciones o leyes globales de los depósitos minerales. Sin embargo, estos beneficios han sido superados por otros problemas inherentes de practicidad en el modelado debido a los tamaños de bloques inherentemente grandes utilizados y también a la falta de resolución de escala minera. La simulación condicional es rápida, convirtiéndose en la técnica de reemplazo aceptada en este caso. ^{[ cita necesaria ]}
• kriging disyuntivoes una generalización no lineal de kriging.
• Kriging logarítmico normalInterpola datos positivos mediante logaritmos .
• El kriging latente asume los diversos krigings en el nivel latente (segunda etapa) del modelo no lineal de efectos mixtos para producir una predicción funcional espacial. ^[4] Esta técnica es útil cuando se analizan datos funcionales espaciales , donde son datos de series de tiempo durante un período, son un vector de covariables y son una ubicación espacial (longitud, latitud) del -ésimo sujeto. ${\displaystyle \{(y_{i},x_{i},s_{i})\}_{i=1}^{n}}$ ${\displaystyle y_{i}=(y_{i1},y_{i2},\cdots ,y_{iT_{i}})^{\top }}$ ${\displaystyle T_{i}}$ ${\displaystyle x_{i}=(x_{i1},x_{i2},\cdots ,x_{ip})^{\top }}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle s_{i}=(s_{i1},s_{i2})^{\top }}$ ${\displaystyle i}$
• Co-kriging denota el kriging conjunto de datos de múltiples fuentes con una relación entre las diferentes fuentes de datos. ^[5] El co-kriging también es posible en un enfoque bayesiano . ^{[6] [7]}
• El kriging bayesiano parte de la optimización de coeficientes e hiperparámetros desconocidos, lo que se entiende como una estimación de máxima verosimilitud desde la perspectiva bayesiana. En cambio, los coeficientes y los hiperparámetros se estiman a partir de sus valores esperados . Una ventaja del kriging bayesiano es que permite cuantificar la evidencia y la incertidumbre del emulador de kriging . ^[8] Si el emulador se emplea para propagar incertidumbres, la calidad del emulador kriging se puede evaluar comparando la incertidumbre del emulador con la incertidumbre total (ver también Caos polinómico bayesiano ). El kriging bayesiano también se puede mezclar con el co-kriging. ^{[6] [7]}

kriging ordinario

El valor desconocido se interpreta como una variable aleatoria ubicada en , así como los valores de las muestras vecinas . El estimador también se interpreta como una variable aleatoria ubicada en , resultado de la combinación lineal de variables. ${\displaystyle Z(x_{0})}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle Z(x_{i}),\ i=1,\ldots ,N}$ ${\displaystyle {\hat {Z}}(x_{0})}$ ${\displaystyle x_{0}}$

Kriging busca minimizar el valor cuadrático medio del siguiente error en la estimación , sujeto a la falta de sesgo: ${\displaystyle Z(x_{0})}$

${\displaystyle \epsilon (x_{0})={\hat {Z}}(x_{0})-Z(x_{0})={\begin{bmatrix}W^{T}&-1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}Z(x_{1})&\cdots &Z(x_{N})&Z(x_{0})\end{bmatrix}}^{T}=\sum _{i=1}^{N}w_{i}(x_{0})\times Z(x_{i})-Z(x_{0}).}$

Los dos criterios de calidad mencionados anteriormente ahora se pueden expresar en términos de la media y la varianza de la nueva variable aleatoria : ${\displaystyle \epsilon (x_{0})}$

Falta de sesgo

Dado que la función aleatoria es estacionaria, los pesos deben sumar 1 para garantizar que el modelo sea insesgado. Esto se puede ver de la siguiente manera: ${\displaystyle E[Z(x_{i})]=E[Z(x_{0})]=m}$

${\displaystyle E[\epsilon (x_{0})]=0\Leftrightarrow \sum _{i=1}^{N}w_{i}(x_{0})\times E[Z(x_{i})]-E[Z(x_{0})]=0}$

${\displaystyle \Leftrightarrow m\sum _{i=1}^{N}w_{i}(x_{0})-m=0\Leftrightarrow \sum _{i=1}^{N}w_{i}(x_{0})=1\Leftrightarrow \mathbf {1} ^{T}\cdot W=1.}$

Variación mínima

Dos estimadores pueden tener , pero la dispersión alrededor de su media determina la diferencia entre la calidad de los estimadores. Para encontrar un estimador con varianza mínima, necesitamos minimizar . ${\displaystyle E[\epsilon (x_{0})]=0}$ ${\displaystyle E[\epsilon (x_{0})^{2}]}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} (\epsilon (x_{0}))&=\operatorname {Var} \left({\begin{bmatrix}W^{T}&-1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}Z(x_{1})&\cdots &Z(x_{N})&Z(x_{0})\end{bmatrix}}^{T}\right)\\&={\begin{bmatrix}W^{T}&-1\end{bmatrix}}\cdot \operatorname {Var} \left({\begin{bmatrix}Z(x_{1})&\cdots &Z(x_{N})&Z(x_{0})\end{bmatrix}}^{T}\right)\cdot {\begin{bmatrix}W\\-1\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$

Consulte la matriz de covarianza para obtener una explicación detallada.

${\displaystyle \operatorname {Var} (\epsilon (x_{0}))={\begin{bmatrix}W^{T}&-1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}\operatorname {Var} _{x_{i}}&\operatorname {Cov} _{x_{i}x_{0}}\\\operatorname {Cov} _{x_{i}x_{0}}^{T}&\operatorname {Var} _{x_{0}}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}W\\-1\end{bmatrix}},}$

donde los literales representan ${\displaystyle \left\{\operatorname {Var} _{x_{i}},\operatorname {Var} _{x_{0}},\operatorname {Cov} _{x_{i}x_{0}}\right\}}$

${\displaystyle \left\{\operatorname {Var} \left({\begin{bmatrix}Z(x_{1})&\cdots &Z(x_{N})\end{bmatrix}}^{T}\right),\operatorname {Var} {\big (}Z(x_{0}){\big )},\operatorname {Cov} \left({\begin{bmatrix}Z(x_{1})&\cdots &Z(x_{N})\end{bmatrix}}^{T},Z(x_{0})\right)\right\}.}$

Una vez definido el modelo de covarianza o variograma , válido en todo campo de análisis , entonces podemos escribir una expresión para la varianza de estimación de cualquier estimador en función de la covarianza entre las muestras y las covarianzas entre las muestras y el punto a estimar. : ${\displaystyle C(\mathbf {h} )}$ ${\displaystyle \gamma (\mathbf {h} )}$ ${\displaystyle Z(x)}$

${\displaystyle {\begin{cases}\operatorname {Var} {\big (}\epsilon (x_{0}){\big )}=W^{T}\cdot \operatorname {Var} _{x_{i}}\cdot W-\operatorname {Cov} _{x_{i}x_{0}}^{T}\cdot W-W^{T}\cdot \operatorname {Cov} _{x_{i}x_{0}}+\operatorname {Var} _{x_{0}},\\\operatorname {Var} {\big (}\epsilon (x_{0}){\big )}=\operatorname {Cov} (0)+\sum _{i}\sum _{j}w_{i}w_{j}\operatorname {Cov} (x_{i},x_{j})-2\sum _{i}w_{i}C(x_{i},x_{0}).\end{cases}}}$

De esta expresión se pueden extraer algunas conclusiones. La varianza de la estimación:

• no es cuantificable para ningún estimador lineal, una vez que se asume la estacionariedad de la media y de las covarianzas espaciales, o variogramas;
• crece cuando la covarianza entre las muestras y el punto a estimar disminuye. Esto significa que, cuanto más alejadas están las muestras de , la estimación empeora; ${\displaystyle x_{0}}$
• crece con la varianza a priori de la variable ; cuando la variable está menos dispersa, la varianza es menor en cualquier punto del área ; ${\displaystyle C(0)}$ ${\displaystyle Z(x)}$ ${\displaystyle A}$
• no depende de los valores de las muestras, lo que significa que la misma configuración espacial (con las mismas relaciones geométricas entre las muestras y el punto a estimar) siempre reproduce la misma varianza de estimación en cualquier parte del área ; de esta manera, la varianza no mide la incertidumbre de estimación producida por la variable local. ${\displaystyle A}$

Sistema de ecuaciones

${\displaystyle W={\underset {\mathbf {1} ^{T}\cdot W=1}{\operatorname {arg\,min} }}\left(W^{T}\cdot \operatorname {Var} _{x_{i}}\cdot W-\operatorname {Cov} _{x_{i}x_{0}}^{T}\cdot W-W^{T}\cdot \operatorname {Cov} _{x_{i}x_{0}}+\operatorname {Var} _{x_{0}}\right).}$

Resolver este problema de optimización (ver multiplicadores de Lagrange ) da como resultado el sistema kriging :

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\hat {W}}\\\mu \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\operatorname {Var} _{x_{i}}&\mathbf {1} \\\mathbf {1} ^{T}&0\end{bmatrix}}^{-1}\cdot {\begin{bmatrix}\operatorname {Cov} _{x_{i}x_{0}}\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\gamma (x_{1},x_{1})&\cdots &\gamma (x_{1},x_{n})&1\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\\gamma (x_{n},x_{1})&\cdots &\gamma (x_{n},x_{n})&1\\1&\cdots &1&0\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}\gamma (x_{1},x^{*})\\\vdots \\\gamma (x_{n},x^{*})\\1\end{bmatrix}}.}$

El parámetro adicional es un multiplicador de Lagrange utilizado en la minimización del error de kriging para cumplir con la condición de imparcialidad. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma _{k}^{2}(x)}$

kriging sencillo

El kriging simple puede verse como la media y la envolvente de los recorridos aleatorios brownianos que pasan por los puntos de datos.

El kriging simple es matemáticamente el más simple, pero el menos general. ^[9] Asume que se conoce la expectativa del campo aleatorio y se basa en una función de covarianza . Sin embargo, en la mayoría de las aplicaciones ni la expectativa ni la covarianza se conocen de antemano.

Los supuestos prácticos para la aplicación del kriging simple son:

• Estacionariedad del campo en sentido amplio (varianza estacionaria).
• La expectativa es cero en todas partes: . ${\displaystyle \mu (x)=0}$
• Función de covarianza conocida . ${\displaystyle c(x,y)=\operatorname {Cov} {\big (}Z(x),Z(y){\big )}}$

La función de covarianza es una elección de diseño crucial, ya que estipula las propiedades del proceso gaussiano y, por tanto, el comportamiento del modelo. La función de covarianza codifica información sobre, por ejemplo, suavidad y periodicidad, que se refleja en la estimación producida. Una función de covarianza muy común es la exponencial al cuadrado, que favorece en gran medida las estimaciones suaves de la función. ^[10] Por esta razón, puede producir estimaciones deficientes en muchas aplicaciones del mundo real, especialmente cuando la verdadera función subyacente contiene discontinuidades y cambios rápidos.

Sistema de ecuaciones

Los pesos de kriging del kriging simple no tienen condición de insesgamiento y están dados por el sistema de ecuaciones de kriging simple :

${\displaystyle {\begin{pmatrix}w_{1}\\\vdots \\w_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}c(x_{1},x_{1})&\cdots &c(x_{1},x_{n})\\\vdots &\ddots &\vdots \\c(x_{n},x_{1})&\cdots &c(x_{n},x_{n})\end{pmatrix}}^{-1}{\begin{pmatrix}c(x_{1},x_{0})\\\vdots \\c(x_{n},x_{0})\end{pmatrix}}.}$

Esto es análogo a una regresión lineal de, por otro lado . ${\displaystyle Z(x_{0})}$ ${\displaystyle z_{1},\ldots ,z_{n}}$

Estimacion

La interpolación por kriging simple viene dada por

${\displaystyle {\hat {Z}}(x_{0})={\begin{pmatrix}z_{1}\\\vdots \\z_{n}\end{pmatrix}}'{\begin{pmatrix}c(x_{1},x_{1})&\cdots &c(x_{1},x_{n})\\\vdots &\ddots &\vdots \\c(x_{n},x_{1})&\cdots &c(x_{n},x_{n})\end{pmatrix}}^{-1}{\begin{pmatrix}c(x_{1},x_{0})\\\vdots \\c(x_{n},x_{0})\end{pmatrix}}.}$

El error de kriging viene dado por

${\displaystyle \operatorname {Var} {\big (}{\hat {Z}}(x_{0})-Z(x_{0}){\big )}=\underbrace {c(x_{0},x_{0})} _{\operatorname {Var} {\big (}Z(x_{0}){\big )}}-\underbrace {{\begin{pmatrix}c(x_{1},x_{0})\\\vdots \\c(x_{n},x_{0})\end{pmatrix}}'{\begin{pmatrix}c(x_{1},x_{1})&\cdots &c(x_{1},x_{n})\\\vdots &\ddots &\vdots \\c(x_{n},x_{1})&\cdots &c(x_{n},x_{n})\end{pmatrix}}^{-1}{\begin{pmatrix}c(x_{1},x_{0})\\\vdots \\c(x_{n},x_{0})\end{pmatrix}}} _{\operatorname {Var} {\big (}{\hat {Z}}(x_{0}){\big )}},}$

lo que conduce a la versión generalizada de mínimos cuadrados del teorema de Gauss-Markov (Chiles y Delfiner 1999, p. 159):

${\displaystyle \operatorname {Var} {\big (}Z(x_{0}){\big )}=\operatorname {Var} {\big (}{\hat {Z}}(x_{0}){\big )}+\operatorname {Var} {\big (}{\hat {Z}}(x_{0})-Z(x_{0}){\big )}.}$

kriging bayesiano

Véase también Caos polinomial bayesiano

Propiedades

• La estimación kriging es insesgada: . ${\displaystyle E[{\hat {Z}}(x_{i})]=E[Z(x_{i})]}$
• La estimación kriging respeta el valor realmente observado: (asumiendo que no se incurre en ningún error de medición). ${\displaystyle {\hat {Z}}(x_{i})=Z(x_{i})}$
• La estimación kriging es el mejor estimador lineal insesgado de si los supuestos se cumplen. Sin embargo (por ejemplo, Cressie 1993): ^[11] ${\displaystyle {\hat {Z}}(x)}$ ${\displaystyle Z(x)}$
  • Como ocurre con cualquier método, si los supuestos no se cumplen, el kriging podría ser malo.
  • Podría haber mejores métodos no lineales y/o sesgados.
  • No se garantizan propiedades cuando se utiliza un variograma incorrecto. Sin embargo, normalmente se consigue una interpolación "buena".
  • Lo mejor no es necesariamente bueno: por ejemplo, en caso de que no haya dependencia espacial, la interpolación kriging es tan buena como la media aritmética.
• Kriging proporciona como medida de precisión. Sin embargo, esta medida depende de la exactitud del variograma. ${\displaystyle \sigma _{k}^{2}}$

Aplicaciones

Aunque kriging se desarrolló originalmente para aplicaciones en geoestadística, es un método general de interpolación estadística y se puede aplicar dentro de cualquier disciplina para muestrear datos de campos aleatorios que satisfagan los supuestos matemáticos apropiados. Se puede utilizar cuando se han recopilado datos relacionados espacialmente (en 2-D o 3-D) y se desean estimaciones de datos de "relleno" en las ubicaciones (espacios espaciales) entre las mediciones reales.

Hasta la fecha, el kriging se ha utilizado en una variedad de disciplinas, incluidas las siguientes:

• Ciencias ambientales ^[12]
• Hidrogeología ^{[13] [14] [15]}
• Minería ^{[16] [17]}
• Recursos naturales ^{[18] [19]}
• Teledetección ^[20]
• Tasación de inmuebles ^[21]
• Análisis y optimización de circuitos integrados ^[22]
• Modelado de dispositivos de microondas ^[23]
• Astronomía ^{[24] [25] [26]}
• Predicción de la curva de producción de petróleo de los pozos de petróleo de esquisto ^[27]

Diseño y análisis de experimentos informáticos.

Otro campo de aplicación muy importante y de rápido crecimiento en ingeniería es la interpolación de datos que surgen como variables de respuesta de simulaciones deterministas por computadora, ^[28] por ejemplo, simulaciones por el método de elementos finitos (FEM). En este caso, el kriging se utiliza como una herramienta de metamodelado , es decir, un modelo de caja negra construido sobre un conjunto diseñado de experimentos por computadora . En muchos problemas prácticos de ingeniería, como el diseño de un proceso de conformado de metales , una sola simulación FEM puede durar varias horas o incluso unos días. Por lo tanto, es más eficiente diseñar y ejecutar un número limitado de simulaciones por computadora y luego usar un interpolador kriging para predecir rápidamente la respuesta en cualquier otro punto de diseño. Por lo tanto, Kriging se utiliza muy a menudo como el llamado modelo sustituto , implementado dentro de rutinas de optimización . ^[29]

Ver también

• Estadística lineal de Bayes
• proceso gaussiano
• Interpolación multivariada
• Regresión no paramétrica
• Interpolación de función de base radial
• Mapeo espacial
• Dependencia espacial
• variograma
• Kriging mejorado con gradiente (GEK)
• modelo sustituto
• Teoría del campo de información

Referencias

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2. Wahba, gracia (1990). Modelos spline para datos observacionales . vol. 59. SIAM. doi :10.1137/1.9781611970128. ISBN 978-0-89871-244-5.
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Otras lecturas

Referencias históricas

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Libros

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• Stein, ML (1999), Interpolación estadística de datos espaciales: alguna teoría para Kriging , Springer, Nueva York.
• Wackernagel, H. (1995) Geoestadística multivariada: una introducción con aplicaciones , Springer Berlin