Campo aleatorio

En física y matemáticas , un campo aleatorio es una función aleatoria sobre un dominio arbitrario (normalmente un espacio multidimensional como ). Es decir, es una función que toma un valor aleatorio en cada punto (o en algún otro dominio). A veces también se considera un sinónimo de un proceso estocástico con alguna restricción en su conjunto de índices. Es decir, según las definiciones modernas, un campo aleatorio es una generalización de un proceso estocástico donde el parámetro subyacente ya no necesita ser un "tiempo" de valor real o entero , sino que puede tomar valores que son vectores multidimensionales o puntos en alguna variedad . ^[1] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$

Definición formal

Dado un espacio de probabilidad , un campo aleatorio de valor X es una colección de variables aleatorias de valor X indexadas por elementos en un espacio topológico T. Es decir, un campo aleatorio F es una colección ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$

${\displaystyle \{F_{t}:t\in T\}}$

donde cada uno es una variable aleatoria con valor X. ${\displaystyle F_{t}}$

Ejemplos

En su versión discreta, un campo aleatorio es una lista de números aleatorios cuyos índices se identifican con un conjunto discreto de puntos en un espacio (por ejemplo, un espacio euclidiano n- dimensional ). Supongamos que hay cuatro variables aleatorias, , , y , ubicadas en una cuadrícula 2D en (0,0), (0,2), (2,2) y (2,0), respectivamente. Supongamos que cada variable aleatoria puede tomar el valor de -1 o 1, y la probabilidad del valor de cada variable aleatoria depende de sus vecinos inmediatamente adyacentes. Este es un ejemplo simple de un campo aleatorio discreto. ${\displaystyle X_{1}}$ ${\displaystyle X_{2}}$ ${\displaystyle X_{3}}$ ${\displaystyle X_{4}}$

En términos más generales, los valores que puede adoptar cada uno de ellos se pueden definir en un dominio continuo. En cuadrículas más grandes, también puede ser útil pensar en el campo aleatorio como una variable aleatoria "con valores de función", como se describió anteriormente. En la teoría cuántica de campos, la noción se generaliza a una función aleatoria , que adopta valores aleatorios en un espacio de funciones (véase la integral de Feynman ). ${\displaystyle X_{i}}$

Existen varios tipos de campos aleatorios, entre ellos el campo aleatorio de Markov (MRF), el campo aleatorio de Gibbs , el campo aleatorio condicional (CRF) y el campo aleatorio gaussiano . En 1974, Julian Besag propuso un método de aproximación basado en la relación entre los MRF y los RF de Gibbs. ^{[ cita requerida ]}

Propiedades de ejemplo

Un MRF exhibe la propiedad de Markov

${\displaystyle P(X_{i}=x_{i}|X_{j}=x_{j},i\neq j)=P(X_{i}=x_{i}|X_{j}=x_{j},j\in \partial _{i}),\,}$

para cada elección de valores . Aquí cada uno es el conjunto de vecinos de . En otras palabras, la probabilidad de que una variable aleatoria asuma un valor depende de sus variables aleatorias vecinas inmediatas. La probabilidad de una variable aleatoria en una MRF ^{[ aclaración necesaria ]} está dada por ${\displaystyle (x_{j})_{j}}$ ${\displaystyle \partial _{i}}$ ${\displaystyle i}$

${\displaystyle P(X_{i}=x_{i}|\partial _{i})={\frac {P(X_{i}=x_{i},\partial _{i})}{\sum _{k}P(X_{i}=k,\partial _{i})}},}$

donde la suma (puede ser una integral) es sobre los valores posibles de k. ^{[ aclaración necesaria ]} A veces es difícil calcular esta cantidad con exactitud.

Aplicaciones

Cuando se utilizan en las ciencias naturales , los valores en un campo aleatorio suelen estar correlacionados espacialmente. Por ejemplo, los valores adyacentes (es decir, los valores con índices adyacentes) no difieren tanto como los valores que están más separados. Este es un ejemplo de una estructura de covarianza , de la cual se pueden modelar muchos tipos diferentes en un campo aleatorio. Un ejemplo es el modelo de Ising , donde a veces las interacciones del vecino más cercano solo se incluyen como una simplificación para comprender mejor el modelo.

Un uso común de los campos aleatorios es en la generación de gráficos de computadora, particularmente aquellos que imitan superficies naturales como el agua y la tierra . Los campos aleatorios también se han utilizado en modelos de subsuelo como en ^[2]

En neurociencia , particularmente en estudios de imágenes cerebrales funcionales relacionados con tareas que utilizan PET o fMRI , el análisis estadístico de campos aleatorios es una alternativa común a la corrección para comparaciones múltiples para encontrar regiones con activación verdaderamente significativa. ^[3] De manera más general, los campos aleatorios se pueden utilizar para corregir el efecto de búsqueda en otra parte en pruebas estadísticas, donde el dominio es el espacio de parámetros que se está buscando. ^[4]

También se utilizan en aplicaciones de aprendizaje automático (ver modelos gráficos ).

Campos aleatorios con valores tensoriales

Los campos aleatorios son de gran utilidad en el estudio de procesos naturales mediante el método de Monte Carlo, en el que los campos aleatorios corresponden a propiedades que varían espacialmente de forma natural. Esto conduce a campos aleatorios con valores tensoriales ^{[ aclaración necesaria ]} en los que el papel clave lo desempeña un elemento de volumen estadístico (SVE), que es una caja espacial sobre la que se pueden promediar las propiedades; cuando el SVE se vuelve suficientemente grande, sus propiedades se vuelven deterministas y se recupera el elemento de volumen representativo (RVE) de la física determinista del continuo. El segundo tipo de campo aleatorio que aparece en las teorías del continuo son los de cantidades dependientes (temperatura, desplazamiento, velocidad, deformación, rotación, fuerzas de cuerpo y superficie, tensión, etc.). ^{[5] [ aclaración necesaria ]}

Véase también

• Covarianza
• Kriging
• Variograma
• Revender
• Proceso estocástico
• Sistema de partículas interactuantes
• Autómatas celulares estocásticos

Referencias

1. Vanmarcke, Erik (2010). Campos aleatorios: análisis y síntesis . World Scientific Publishing Company. ISBN 978-9812563538.
2. Cardenas, IC (2023). "Un enfoque bidimensional para cuantificar la incertidumbre estratigráfica a partir de datos de pozos utilizando campos aleatorios no homogéneos". Ingeniería Geológica . doi : 10.1016/j.enggeo.2023.107001 .
3. Worsley, KJ; Evans, AC; Marrett, S.; Neelin, P. (noviembre de 1992). "Un análisis estadístico tridimensional para estudios de activación del flujo sanguíneo cerebral en el cerebro humano". Journal of Cerebral Blood Flow & Metabolism . 12 (6): 900–918. doi : 10.1038/jcbfm.1992.127 . ISSN  0271-678X. PMID  1400644.
4. Vitells, Ofer; Gross, Eilam (2011). "Estimación de la significancia de una señal en una búsqueda multidimensional". Astroparticle Physics . 35 : 230–234. arXiv : 1105.4355 . doi :10.1016/j.astropartphys.2011.08.005.
5. Malyarenko, Anatoliy; Ostoja-Starzewski, Martin (2019). Campos aleatorios con valores tensoriales para la física del medio continuo . Cambridge University Press. ISBN 9781108429856.

Lectura adicional

• Adler, RJ y Taylor, Jonathan (2007). Campos aleatorios y geometría . Springer. ISBN 978-0-387-48112-8.
• Besag, JE (1974). "Interacción espacial y análisis estadístico de sistemas reticulares". Revista de la Royal Statistical Society . Serie B. 36 (2): 192–236. doi :10.1111/j.2517-6161.1974.tb00999.x.
• Griffeath, David (1976). "Campos aleatorios". En Kemeny, John G .; Snell, Laurie ; Knapp, Anthony W. (eds.). Cadenas de Markov numerables (2.ª ed.). Springer. ISBN 0-387-90177-9.
• Davar Khoshnevisan (2002). Procesos multiparamétricos: una introducción a los campos aleatorios . Springer. ISBN 0-387-95459-7.