En geometría , el cubo de Prince Rupert es el cubo más grande que puede pasar a través de un agujero cortado a través de un cubo unitario sin dividirlo en dos pedazos. La longitud de su lado es aproximadamente 1,06, 6% mayor que la longitud del lado 1 del cubo unitario por el que pasa. El problema de encontrar el cuadrado más grande que se encuentre completamente dentro de un cubo unitario está estrechamente relacionado y tiene la misma solución.
El cubo del Príncipe Ruperto lleva el nombre del Príncipe Ruperto del Rin , quien preguntó si se podía pasar un cubo a través de un agujero hecho en otro cubo del mismo tamaño sin dividirlo en dos partes. John Wallis dio una respuesta positiva . Aproximadamente 100 años después, Pieter Nieuwland encontró el cubo más grande posible que puede pasar a través de un agujero en un cubo unitario.
Se ha demostrado que muchos otros poliedros convexos , incluidos los cinco sólidos platónicos , tienen la propiedad de Rupert : una copia del poliedro, de forma igual o mayor, puede pasar a través de un agujero en el poliedro. Se desconoce si esto es cierto para todos los poliedros convexos.
Coloque dos puntos en dos aristas adyacentes de un cubo unitario, cada uno a una distancia de 3/4 del punto donde se unen las dos aristas, y dos puntos más simétricamente en la cara opuesta del cubo. Entonces estos cuatro puntos forman un cuadrado con longitud de lado
Las partes del cubo unitario que quedan, tras vaciar este hueco, forman dos prismas triangulares y dos tetraedros irregulares , conectados por finos puentes en los cuatro vértices del cuadrado. Cada prisma tiene como seis vértices dos vértices adyacentes del cubo y cuatro puntos a lo largo de las aristas del cubo a una distancia de 1/4 de estos vértices del cubo. Cada tetraedro tiene como cuatro vértices un vértice del cubo, dos puntos a una distancia de 3/4 de él en dos de las aristas adyacentes y un punto a una distancia de 3/16 del vértice del cubo a lo largo de la tercera arista adyacente. [2]
El cubo del Príncipe Ruperto lleva el nombre del Príncipe Ruperto del Rin . Según una historia contada en 1693 por el matemático inglés John Wallis , el príncipe Rupert apostó que se podía hacer un agujero en un cubo, lo suficientemente grande como para dejar pasar otro cubo del mismo tamaño a través de él. Wallis demostró que, de hecho, tal agujero era posible (con algunos errores que no se corrigieron hasta mucho más tarde), y el príncipe Rupert ganó su apuesta. [3] [4]
Wallis supuso que el agujero sería paralelo a una diagonal espacial del cubo. La proyección del cubo sobre un plano perpendicular a esta diagonal es un hexágono regular , y el mejor agujero paralelo a la diagonal se puede encontrar dibujando el cuadrado más grande posible que pueda inscribirse en este hexágono. Calcular el tamaño de este cuadrado muestra que un cubo con longitud de lado
un poco más grande que uno, es capaz de pasar por el agujero. [3]
Aproximadamente 100 años después, el matemático holandés Pieter Nieuwland descubrió que se podía lograr una mejor solución utilizando un agujero con un ángulo diferente al de la diagonal espacial. De hecho, la solución de Nieuwland es óptima. Nieuwland murió en 1794, un año después de ocupar un puesto como profesor en la Universidad de Leiden , y su solución fue publicada póstumamente en 1816 por el mentor de Nieuwland, Jean Henri van Swinden . [3] [4] [5]
Desde entonces, el problema se ha repetido en muchos libros sobre matemáticas recreativas , en algunos casos con la solución subóptima de Wallis en lugar de la solución óptima. [1] [2] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12]
La construcción de un modelo físico del cubo de Prince Rupert resulta desafiante por la precisión con la que dicho modelo debe medirse y la delgadez de las conexiones entre las partes restantes del cubo unitario después de cortar el agujero. Para el cubo interior de tamaño máximo con una longitud ≈1,06 en relación con el cubo exterior de 1 longitud, construir un modelo es "matemáticamente posible pero prácticamente imposible". [13] Por otro lado, usar la orientación del cubo máximo pero hacer un agujero más pequeño, lo suficientemente grande solo para una unidad de cubo, deja un espesor adicional que permite la integridad estructural. [14]
En el ejemplo, utilizando dos cubos del mismo tamaño, como propuso originalmente el príncipe Rupert, es posible construir un modelo. En un estudio del problema realizado en 1950, DJE Schrek publicó fotografías de un modelo de un cubo que pasa a través de un agujero en otro cubo. [15] Martin Raynsford ha diseñado una plantilla para construir modelos de papel de un cubo con otro cubo que lo atraviesa; sin embargo, para tener en cuenta las tolerancias de la construcción del papel y no rasgar el papel en las uniones estrechas entre las partes del cubo perforado, el agujero en el modelo de Raynsford sólo deja pasar cubos que son ligeramente más pequeños que el cubo exterior. [dieciséis]
Desde la llegada de la impresión 3D , la construcción de un cubo Prince Rupert con una proporción completa de 1:1 se ha vuelto fácil. [17]
Se dice que un poliedro tiene la propiedad de Rupert si un poliedro del mismo o mayor tamaño y de la misma forma puede pasar a través de un agujero en . [18] Los cinco sólidos platónicos (el cubo, el tetraedro regular , el octaedro regular , [19] el dodecaedro regular y el icosaedro regular ) tienen la propiedad de Rupert. De los 13 sólidos de Arquímedes , se sabe que al menos estos diez tienen la propiedad de Rupert: el cuboctaedro , octaedro truncado , cubo truncado , rombicuboctaedro , icosidodecaedro , cuboctaedro truncado , icosaedro truncado , dodecaedro truncado , [20] y el tetraedro truncado [21 ] [22] , así como el icosidodecaedro truncado [23] [24] . Se ha conjeturado que todos los poliedros convexos tridimensionales tienen esta propiedad [18] , pero también, por el contrario, que el rombicosidodecaedro no tiene la propiedad de Rupert [23] [24] .
¿ Todos los poliedros convexos tienen la propiedad de Rupert?
Los cubos y todos los sólidos rectangulares tienen pasajes de Rupert en todas las direcciones que no sean paralelas a ninguna de sus caras. [25]
Otra forma de expresar el mismo problema es pedir el cuadrado más grande que se encuentra dentro de un cubo unitario. De manera más general, Jerrard y Wetzel (2004) muestran cómo encontrar el rectángulo más grande de una relación de aspecto determinada que se encuentra dentro de un cubo unitario. Como observan, el rectángulo óptimo siempre debe estar centrado en el centro del cubo, con sus vértices en las aristas del cubo. Dependiendo de su relación de aspecto , la relación entre sus lados largo y corto, hay dos casos sobre cómo se puede colocar dentro del cubo. Para una relación de aspecto de o más, el rectángulo óptimo se encuentra dentro del rectángulo que conecta dos bordes opuestos del cubo, que tiene una relación de aspecto exactamente . Para relaciones de aspecto más cercanas a 1 (incluida la relación de aspecto 1 para el cuadrado del cubo de Prince Rupert), dos de los cuatro vértices de un rectángulo óptimo están equidistantes de un vértice del cubo, a lo largo de dos de los tres bordes que tocan ese vértice. Los otros dos vértices del rectángulo son los reflejos de los dos primeros en el centro del cubo. [4] Si la relación de aspecto no está restringida, el rectángulo con el área más grande que cabe dentro de un cubo es aquel cuya relación de aspecto tiene dos bordes opuestos del cubo como dos de sus lados y dos caras diagonales como las otras dos. lados. [26]
Para todos , el hipercubo de dimensiones también tiene la propiedad de Rupert. [27] Además, uno puede preguntar por el hipercubo de dimensiones más grande que se puede dibujar dentro de un hipercubo unitario de dimensiones . La respuesta es siempre un número algebraico . Por ejemplo, el problema pide el cubo (tridimensional) más grande dentro de un hipercubo de cuatro dimensiones. Después de que Martin Gardner planteara esta pregunta en Scientific American , Kay R. Pechenick DeVicci y varios otros lectores demostraron que la respuesta para el caso (3,4) es la raíz cuadrada de la menor de dos raíces reales del polinomio , lo que resulta en aproximadamente 1,007435. [1] [28] Para , la longitud lateral óptima del cuadrado más grande en un hipercubo de dimensiones es o , dependiendo de si es par o impar respectivamente. [29]
{{citation}}: Mantenimiento CS1: nombres numéricos: lista de autores ( enlace )