Propiedad de Dunford-Pettis

En el análisis funcional , la propiedad de Dunford-Pettis , llamada así por Nelson Dunford y BJ Pettis , es una propiedad de un espacio de Banach que establece que todos los operadores débilmente compactos de este espacio en otro espacio de Banach son completamente continuos. Muchos espacios de Banach estándar tienen esta propiedad, en particular, el espacio de funciones continuas en un espacio compacto y el espacio de las funciones integrables de Lebesgue en un espacio de medida . Alexander Grothendieck introdujo el concepto a principios de la década de 1950 (Grothendieck 1953), siguiendo el trabajo de Dunford y Pettis, quienes desarrollaron resultados anteriores de Shizuo Kakutani , Kōsaku Yosida y varios otros. Más recientemente, Jean Bourgain obtuvo resultados importantes . Sin embargo, la propiedad de Dunford-Pettis no se entiende completamente. ${\displaystyle C(K)}$ ${\displaystyle L^{1}(\mu )}$

Definición

Un espacio de Banach tiene la propiedad de Dunford-Pettis si cada operador continuo débilmente compacto de en otro espacio de Banach transforma conjuntos débilmente compactos en en conjuntos norma-compactos en (tales operadores se denominan completamente continuos ). Una definición equivalente importante es que para cualquier secuencia débilmente convergente de y del espacio dual que converge (débilmente) a y la secuencia converge a ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f_{1},f_{2},\ldots }$ ${\displaystyle X^{*},}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle f_{1}(x_{1}),f_{2}(x_{2}),\ldots ,f_{n}(x_{n}),\ldots }$ ${\displaystyle f(x).}$

Contraejemplos

• La segunda definición puede parecer contraintuitiva al principio, pero considere una base ortonormal de un espacio de Hilbert separable de dimensión infinita. Entonces , débilmente, pero para todos los espacios de Hilbert separables de dimensión infinita no pueden tener la propiedad de Dunford-Pettis. ${\displaystyle e_{n}}$ ${\displaystyle H.}$ ${\displaystyle e_{n}\to 0}$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle \langle e_{n},e_{n}\rangle =1.}$$
• Consideremos como otro ejemplo el espacio donde las secuencias en y en ambas convergen débilmente a cero. Pero ${\displaystyle L^{p}(-\pi ,\pi )}$ ${\displaystyle 1<p<\infty .}$ ${\displaystyle x_{n}=e^{inx}}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle f_{n}=e^{inx}}$ ${\displaystyle L^{q}=\left(L^{p}\right)^{*}}$ $${\displaystyle \langle f_{n},x_{n}\rangle =\int \limits _{-\pi }^{\pi }1\,{\rm {d}}x=2\pi .}$$
• En términos más generales, ningún espacio de Banach reflexivo de dimensión infinita puede tener la propiedad de Dunford-Pettis. En particular, un espacio de Hilbert de dimensión infinita y, en términos más generales, los espacios Lp no poseen esta propiedad. ${\displaystyle 1<p<\infty }$

Ejemplos

• Si es un espacio de Hausdorff compacto , entonces el espacio de Banach de funciones continuas con norma uniforme tiene la propiedad de Dunford-Pettis. ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle C(K)}$

Véase también

• Espacio Grothendieck

Referencias

• Bourgain, Jean (1981), "Sobre la propiedad Dunford-Pettis", Actas de la American Mathematical Society , 81 (2): 265–272, doi : 10.2307/2044207 , JSTOR  2044207
• Grothendieck, Alexander (1953), "Sur les application linéaires faiblement compactes d'espaces du type C(K)", Canadian Journal of Mathematics , 5 : 129–173, doi : 10.4153/CJM-1953-017-4
• JMF Castillo, SY Shaw (2001) [1994], "Propiedad de Dunford-Pettis", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Lin, Pei-Kee (2004), Espacios funcionales de Köthe-Bochner, Birkhäuser, ISBN 0-8176-3521-1, OCLC  226084233
• Randrianantoanina, Narcisse (1997), "Algunas observaciones sobre la propiedad Dunford-Pettis" (PDF) , Rocky Mountain Journal of Mathematics , 27 (4): 1199–1213, doi : 10.1216/rmjm/1181071869 , S2CID  15539667