Ley esférica de los cosenos

Relación matemática en triángulos esféricos.

En trigonometría esférica , la ley de los cosenos (también llamada regla del coseno para los lados ^[1] ) es un teorema que relaciona los lados y ángulos de triángulos esféricos , análogo a la ley ordinaria de los cosenos de la trigonometría plana .

Triángulo esférico resuelto por la ley de los cosenos.

Dada una esfera unitaria, un "triángulo esférico" en la superficie de la esfera está definido por los círculos máximos que conectan tres puntos u , v y w en la esfera (que se muestran a la derecha). Si las longitudes de estos tres lados son a (de u a v ), b (de u a w ) y c (de v a w ), y el ángulo de la esquina opuesta a c es C , entonces la (primera) esférica ley de cosenos estados: ^{[2] [1]}

$${\displaystyle \cos c=\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos C\,}$$

Dado que se trata de una esfera unitaria, las longitudes a , b y c son simplemente iguales a los ángulos (en radianes ) subtendidos por esos lados desde el centro de la esfera. (Para una esfera no unitaria, las longitudes son los ángulos subtendidos multiplicados por el radio, y la fórmula sigue siendo válida si a , b y c se reinterpretan como los ángulos subtendidos). Como caso especial, para C =π/2, entonces cos C = 0 , y se obtiene el análogo esférico del teorema de Pitágoras :

$${\displaystyle \cos c=\cos a\cos b\,}$$

Si se utiliza la ley de los cosenos para resolver c , la necesidad de invertir el coseno magnifica los errores de redondeo cuando c es pequeño. En este caso, es preferible la formulación alternativa de la ley de haversines . ^[3]

Una variación de la ley de los cosenos, la segunda ley esférica de los cosenos, ^[4] (también llamada regla del coseno para los ángulos ^[1] ) establece:

$${\displaystyle \cos C=-\cos A\cos B+\sin A\sin B\cos c\,}$$

donde A y B son los ángulos de las esquinas opuestas a los lados a y b , respectivamente. Se puede obtener considerando un triángulo esférico dual al dado.

Pruebas

Primera prueba

Sean u , v y w los vectores unitarios desde el centro de la esfera hasta esas esquinas del triángulo. Los ángulos y las distancias no cambian si se gira el sistema de coordenadas, por lo que podemos rotar el sistema de coordenadas para que esté en el polo norte y en algún lugar del meridiano principal (longitud 0). Con esta rotación, las coordenadas esféricas de son donde θ es el ángulo medido desde el polo norte, no desde el ecuador, y las coordenadas esféricas de son Las coordenadas cartesianas de son y las coordenadas cartesianas de son El valor de es el producto escalar de dos vectores cartesianos, que es ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle (r,\theta ,\phi )=(1,a,0),}$ ${\displaystyle \mathbf {w} }$ ${\displaystyle (r,\theta ,\phi )=(1,b,C).}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle (x,y,z)=(\sin a,0,\cos a)}$ ${\displaystyle \mathbf {w} }$ ${\displaystyle (x,y,z)=(\sin b\cos C,\sin b\sin C,\cos b).}$ ${\displaystyle \cos c}$ ${\displaystyle \sin a\sin b\cos C+\cos a\cos b.}$

Segunda prueba

Sean u , v y w los vectores unitarios desde el centro de la esfera hasta esas esquinas del triángulo. Tenemos u · u = 1 , v · w = cos c , u · v = cos a y u · w = cos b . Los vectores u × v y u × w tienen longitudes sen a y sen b respectivamente y el ángulo entre ellos es C , entonces

pecado a pecado b cos C = ( u × v ) · ( u × w ) = ( u · u ) ( v · w ) − ( u · v ) ( u · w ) = cos c − cos a cos b ,

usando productos cruzados , productos escalares y la identidad de Binet-Cauchy ( p × q ) · ( r × s ) = ( p · r ) ( q · s ) − ( p · s ) ( q · r ) .

Tercera prueba

Sean u , v y w los vectores unitarios desde el centro de la esfera hasta esas esquinas del triángulo. Considere la siguiente secuencia de rotación en la que primero rotamos el vector v hacia u en un ángulo seguido de otra rotación del vector u hacia w en un ángulo, después de lo cual rotamos el vector w nuevamente hacia v en un ángulo . La composición de estas tres rotaciones se formará una transformación de identidad. ^{[ aclaración necesaria ]} Es decir, la rotación compuesta asigna el punto v a sí mismo. Estas tres operaciones de rotación se pueden representar mediante cuaterniones : ${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle b,}$ ${\displaystyle c.}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}q_{A}&=\cos {\frac {a}{2}}+\mathbf {A} \sin {\frac {a}{2}},\\q_{B}&=\cos {\frac {b}{2}}+\mathbf {B} \sin {\frac {b}{2}},\\q_{C}&=\cos {\frac {c}{2}}+\mathbf {C} \sin {\frac {c}{2}},\end{aligned}}}$$

regla de la mano derecha^{[5] [6]} ${\displaystyle \mathbf {A} ,}$ ${\displaystyle \mathbf {B} ,}$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$ ${\displaystyle q_{C}q_{B}q_{A}=1.}$ ${\displaystyle q_{A}^{*}q_{B}^{*},}$ ${\displaystyle q_{C}=q_{A}^{*}q_{B}^{*},}$ ${\textstyle q_{A}^{*}=\cos {\frac {a}{2}}-\mathbf {A} \sin {\frac {a}{2}}}$ ${\textstyle q_{B}^{*}=\cos {\frac {b}{2}}-\mathbf {B} \sin {\frac {b}{2}}.}$

$${\displaystyle \cos {\frac {c}{2}}+\mathbf {C} \sin {\frac {c}{2}}=\left(\cos {\frac {a}{2}}-\mathbf {A} \sin {\frac {a}{2}}\right)\left(\cos {\frac {b}{2}}-\mathbf {B} \sin {\frac {b}{2}}\right).}$$

El producto del cuaternión en el lado derecho de esta identidad viene dado por

$${\displaystyle \left(\cos {\frac {a}{2}}\cos {\frac {b}{2}}-\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} \sin {\frac {a}{2}}\sin {\frac {b}{2}}\right)-\left(\mathbf {A} \sin {\frac {a}{2}}\cos {\frac {b}{2}}+\mathbf {B} \cos {\frac {a}{2}}\sin {\frac {b}{2}}-\mathbf {A} \times \mathbf {B} \sin {\frac {a}{2}}\sin {\frac {b}{2}}\right).}$$

Igualando las partes escalares en ambos lados de la identidad, tenemos

$${\displaystyle \cos {\frac {c}{2}}=\cos {\frac {a}{2}}\cos {\frac {b}{2}}-\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} \sin {\frac {a}{2}}\sin {\frac {b}{2}}.}$$

Aquí Dado que esta identidad es válida para cualquier ángulo de arco, suprimiendo las mitades, tenemos ${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =\cos(\pi -C)=-\cos C.}$

$${\displaystyle \cos c=\cos a\cos b+\cos C\sin a\sin b.}$$

También podemos recuperar la ley del seno observando primero que y luego igualando las partes del vector en ambos lados de la identidad como ${\displaystyle \mathbf {A} \times \mathbf {B} =-\mathbf {u} \sin C}$

$${\displaystyle \mathbf {C} \sin {\frac {c}{2}}=-\left(\mathbf {A} \sin {\frac {a}{2}}\cos {\frac {b}{2}}+\mathbf {B} \cos {\frac {a}{2}}\sin {\frac {b}{2}}+\mathbf {u} \sin C\sin {\frac {a}{2}}\sin {\frac {b}{2}}\right).}$$

El vector es ortogonal a ambos vectores y como tal Tomando el producto escalar con respecto a en ambos lados y suprimiendo las mitades, tenemos Ahora y entonces tenemos Dividiendo cada lado por tenemos ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {B} ,}$ ${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {A} =\mathbf {u} \cdot \mathbf {B} =0.}$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {C} \sin c=-\sin C\sin a\sin b.}$ ${\displaystyle \mathbf {v} \times \mathbf {w} =-\mathbf {C} \sin c}$ ${\displaystyle \mathbf {u} \cdot (\mathbf {v} \times \mathbf {w} )=-\mathbf {u} \cdot \mathbf {C} \sin c=\sin C\sin a\sin b.}$ ${\displaystyle \sin a\sin b\sin c,}$

$${\displaystyle {\frac {\sin C}{\sin c}}={\frac {\mathbf {u} \cdot (\mathbf {w} \times \mathbf {v} )}{\sin a\sin b\sin c}}.}$$

Dado que el lado derecho de la expresión anterior no cambia mediante la permutación cíclica, tenemos

$${\displaystyle {\frac {\sin A}{\sin a}}={\frac {\sin B}{\sin b}}={\frac {\sin C}{\sin c}}.}$$

Reordenamientos

La primera y segunda leyes esféricas de los cosenos se pueden reorganizar para colocar los lados ( a , b , c ) y los ángulos ( A , B , C ) en lados opuestos de las ecuaciones:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\cos C&={\frac {\cos c-\cos a\cos b}{\sin a\sin b}}\\\cos c&={\frac {\cos C+\cos A\cos B}{\sin A\sin B}}\\\end{aligned}}}$$

Límite plano: ángulos pequeños

Para triángulos esféricos pequeños , es decir, para a , b y c pequeños , la ley esférica de los cosenos es aproximadamente la misma que la ley plana ordinaria de los cosenos,

$${\displaystyle c^{2}\approx a^{2}+b^{2}-2ab\cos C\,.}$$

Para demostrar esto, usaremos la aproximación de ángulo pequeño obtenida de la serie de Maclaurin para las funciones coseno y seno:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\cos a&=1-{\frac {a^{2}}{2}}+O\left(a^{4}\right)\\\sin a&=a+O\left(a^{3}\right)\end{aligned}}}$$

Sustituyendo estas expresiones en la ley esférica de los cosenos se obtiene:

$${\displaystyle 1-{\frac {c^{2}}{2}}+O\left(c^{4}\right)=1-{\frac {a^{2}}{2}}-{\frac {b^{2}}{2}}+{\frac {a^{2}b^{2}}{4}}+O\left(a^{4}\right)+O\left(b^{4}\right)+\cos(C)\left(ab+O\left(a^{3}b\right)+O\left(ab^{3}\right)+O\left(a^{3}b^{3}\right)\right)}$$

o después de simplificar:

$${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C+O\left(c^{4}\right)+O\left(a^{4}\right)+O\left(b^{4}\right)+O\left(a^{2}b^{2}\right)+O\left(a^{3}b\right)+O\left(ab^{3}\right)+O\left(a^{3}b^{3}\right).}$$

Los términos O grandes para a y b están dominados por O ( a ⁴ ) + O ( b ⁴ ) a medida que a y b se vuelven pequeños, por lo que podemos escribir esta última expresión como:

$${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C+O\left(a^{4}\right)+O\left(b^{4}\right)+O\left(c^{4}\right).}$$

Historia

Algo equivalente a la ley esférica de los cosenos fue utilizado (pero no declarado en general) por al-Khwārizmī (siglo IX), al-Battānī (siglo IX) y Nīlakaṇṭha (siglo XV). ^[7]

Ver también

• Fórmula de medio lado
• Ley hiperbólica de los cosenos
• Solución de triángulos
• Ley esférica de los senos

Notas

1. W. Gellert, S. Gottwald, M. Hellwich, H. Kästner y H. Küstner, The VNR Concise Encyclopedia of Mathematics , 2ª ed., cap. 12 (Van Nostrand Reinhold: Nueva York, 1989).
2. Romuald Ireneus 'Scibor-Marchocki, Trigonometría esférica, página web de trigonometría de geometría elemental (1997).
3. RW Sinnott, "Virtudes de Haversine", Sky and Telescope 68 (2), 159 (1984).
4. Reiman, István (1999). Geometria és határterületei . Szalay Könyvkiadó és Kereskedőház Kft. pag. 83.
5. Marca, Louis (1947). "§186 Arcos del Gran Círculo". Análisis vectorial y tensorial . Wiley. págs. 416–417.
6. Kuipers, Jack B. (1999). "§10 Trignometría esférica". Cuaterniones y secuencias de rotación . Prensa de la Universidad de Princeton. págs. 235-255.
7. Van Brummelen, Glen (2012). Matemáticas celestiales: el arte olvidado de la trigonometría esférica . Prensa de la Universidad de Princeton. pag. 98. Código Bib : 2012hmfa.book..... V.