Ley de radiación térmica de Kirchhoff

Ley de emisión y absorción específicas de la longitud de onda

Gustav Kirchhoff (1824-1887)

En transferencia de calor , la ley de Kirchhoff de la radiación térmica se refiere a la emisión y absorción radiativa específica de longitud de onda por un cuerpo material en equilibrio termodinámico , incluido el equilibrio de intercambio radiativo. Es un caso especial de relaciones recíprocas de Onsager como consecuencia de la reversibilidad temporal de la dinámica microscópica, también conocida como reversibilidad microscópica .

Un cuerpo a temperatura T irradia energía electromagnética . Un cuerpo negro perfecto en equilibrio termodinámico absorbe toda la luz que lo incide e irradia energía de acuerdo con una ley única de potencia de emisión radiativa para la temperatura T ( ley de Stefan-Boltzmann ), universal para todos los cuerpos negros perfectos. La ley de Kirchhoff establece que:

Para un cuerpo de cualquier material que emita y absorba radiación electromagnética térmica en cualquier longitud de onda en equilibrio termodinámico, la relación entre su potencia de emisión y su coeficiente de absorción adimensional es igual a una función universal únicamente de la longitud de onda radiactiva y la temperatura. Esa función universal describe la potencia de emisión perfecta del cuerpo negro. ^{[1] [2] [3] [4] [5] [6]}

Aquí, el coeficiente de absorción adimensional (o absortividad) es la fracción de luz incidente (potencia) en cada frecuencia espectral que es absorbida por el cuerpo cuando está irradiando y absorbiendo en equilibrio termodinámico.

En términos ligeramente diferentes, el poder emisivo de un cuerpo opaco arbitrario de tamaño y forma fijos a una temperatura definida se puede describir mediante una relación adimensional, a veces llamada emisividad : la relación entre el poder emisivo del cuerpo y el poder emisivo de un cuerpo negro del mismo tamaño y forma a la misma temperatura fija. Con esta definición, la ley de Kirchhoff establece, en un lenguaje más simple:

Para un cuerpo arbitrario que emite y absorbe radiación térmica en equilibrio termodinámico, la función de emisividad es igual a la función de absortividad.

En algunos casos, la potencia de emisión y la absortividad pueden definirse como dependientes del ángulo, como se describe a continuación. La condición de equilibrio termodinámico es necesaria en el enunciado, porque la igualdad de emisividad y absortividad a menudo no se cumple cuando el material del cuerpo no está en equilibrio termodinámico.

La ley de Kirchhoff tiene otro corolario: la emisividad no puede ser mayor que uno (porque la absortividad no puede, por conservación de la energía ), por lo que no es posible radiar térmicamente más energía que un cuerpo negro, en equilibrio. En la luminiscencia negativa, la absorción integrada por ángulo y longitud de onda excede la emisión del material; sin embargo, tales sistemas son alimentados por una fuente externa y, por lo tanto, no están en equilibrio termodinámico.

Principio del equilibrio detallado

La ley de Kirchhoff de la radiación térmica tiene un refinamiento en el sentido de que no sólo la emisividad térmica es igual a la absortividad, sino que es igual en detalle . Consideremos una hoja. Es un pobre absorbente de luz verde (alrededor de 470 nm), por lo que parece verde. Por el principio de equilibrio detallado, también es un pobre emisor de luz verde.

En otras palabras, si un material, iluminado por la radiación de un cuerpo negro de temperatura , es oscuro a una determinada frecuencia , entonces su radiación térmica también será oscura a la misma frecuencia y a la misma temperatura . ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle T}$

En términos más generales, todas las propiedades intensivas se equilibran en detalle. Por ejemplo, la absortividad en una determinada dirección de incidencia, para una determinada frecuencia y una determinada polarización, es la misma que la emisividad en la misma dirección, para la misma frecuencia y la misma polarización. Este es el principio del equilibrio detallado. ^{[7] [8]}

En equilibrio, la potencia radiada y absorbida por el cuerpo debe ser igual para cualquier elemento particular del área del cuerpo, para cualquier dirección particular de polarización y para cualquier rango de frecuencia.

Historia

Antes de que se reconociera la ley de Kirchhoff, se había establecido experimentalmente que un buen absorbente es un buen emisor y un mal absorbente es un mal emisor. Naturalmente, un buen reflector debe ser un mal absorbente. Por eso, por ejemplo, las mantas térmicas ligeras de emergencia se basan en revestimientos metálicos reflectantes : pierden poco calor por radiación.

La gran intuición de Kirchhoff fue reconocer la universalidad y unicidad de la función que describe el poder de emisión del cuerpo negro. Pero no conocía la forma o el carácter precisos de esa función universal. Lord Rayleigh y Sir James Jeans (1900-1905) intentaron describirla en términos clásicos, lo que dio como resultado la ley de Rayleigh-Jeans . Esta ley resultó ser inconsistente y produjo la catástrofe ultravioleta . La forma correcta de la ley fue encontrada por Max Planck en 1900, suponiendo una emisión cuantizada de radiación, y se denomina ley de Planck . ^[9] Esto marca el advenimiento de la mecánica cuántica .

Teoría

En un recinto de cuerpo negro que contiene radiación electromagnética con una cierta cantidad de energía en equilibrio termodinámico, este " gas de fotones " tendrá una distribución de energías de Planck. ^[10]

Se puede suponer que un segundo sistema, una cavidad con paredes opacas, rígidas y no perfectamente reflectantes a ninguna longitud de onda, se conecta, a través de un filtro óptico, con el recinto del cuerpo negro, ambos a la misma temperatura. La radiación puede pasar de un sistema al otro. Por ejemplo, supongamos que en el segundo sistema, la densidad de fotones en la banda de frecuencia estrecha alrededor de la longitud de onda fuera mayor que la del primer sistema. Si el filtro óptico pasara sólo por esa banda de frecuencia, entonces habría una transferencia neta de fotones, y su energía, del segundo sistema al primero. Esto viola la segunda ley de la termodinámica, que requiere que no puede haber transferencia neta de calor entre dos cuerpos a la misma temperatura. ${\displaystyle \lambda }$

En el segundo sistema, por lo tanto, en cada frecuencia, las paredes deben absorber y emitir energía de tal manera que se mantenga la distribución del cuerpo negro. ^[11] Por lo tanto, la absortividad y la emisividad deben ser iguales. La absortividad de la pared es la relación entre la energía absorbida por la pared y la energía incidente en la pared, para una longitud de onda particular. Por lo tanto, la energía absorbida es donde es la intensidad de la radiación del cuerpo negro en la longitud de onda y la temperatura . Independientemente de la condición de equilibrio térmico, la emisividad de la pared se define como la relación entre la energía emitida y la cantidad que se irradiaría si la pared fuera un cuerpo negro perfecto. La energía emitida es, por lo tanto, donde es la emisividad en la longitud de onda . Para el mantenimiento del equilibrio térmico, estas dos cantidades deben ser iguales, o de lo contrario la distribución de energías de los fotones en la cavidad se desviará de la de un cuerpo negro. Esto produce la ley de Kirchhoff : ${\displaystyle \alpha _{\lambda }}$ ${\displaystyle \alpha _{\lambda }E_{b\lambda }(\lambda ,T)}$ ${\displaystyle E_{b\lambda }(\lambda ,T)}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \varepsilon _{\lambda }E_{b\lambda }(\lambda ,T)}$ ${\displaystyle \varepsilon _{\lambda }}$ ${\displaystyle \lambda }$

$${\displaystyle \alpha _{\lambda }=\varepsilon _{\lambda }}$$

Mediante un argumento similar, pero más complicado, se puede demostrar que, dado que la radiación del cuerpo negro es igual en todas las direcciones (isotrópica), la emisividad y la absortividad, si dependen de la dirección, deben ser nuevamente iguales para cualquier dirección dada. ^[12]

Los datos de absortividad y emisividad promedio y general se dan a menudo para materiales con valores que difieren entre sí. Por ejemplo, se cita que la pintura blanca tiene una absortividad de 0,16, mientras que tiene una emisividad de 0,93. ^[13] Esto se debe a que la absortividad se promedia con ponderación para el espectro solar, mientras que la emisividad se pondera para la emisión de la propia pintura a temperaturas ambiente normales. La absortividad citada en tales casos se calcula mediante:

$${\displaystyle \alpha _{\mathrm {sun} }=\displaystyle {\frac {\int _{0}^{\infty }\alpha _{\lambda }(\lambda )I_{\lambda \mathrm {sun} }(\lambda )\,d\lambda }{\int _{0}^{\infty }I_{\lambda \mathrm {sun} }(\lambda )\,d\lambda }}}$$

Mientras que la emisividad media viene dada por:

$${\displaystyle \varepsilon _{\mathrm {paint} }={\frac {\int _{0}^{\infty }\varepsilon _{\lambda }(\lambda ,T)E_{b\lambda }(\lambda ,T)\,d\lambda }{\int _{0}^{\infty }E_{b\lambda }(\lambda ,T)\,d\lambda }}}$$

donde es el espectro de emisión del sol, y es el espectro de emisión de la pintura. Aunque, por la ley de Kirchhoff, en las ecuaciones anteriores, los promedios anteriores y no son generalmente iguales entre sí. La pintura blanca servirá como un muy buen aislante contra la radiación solar, porque es muy reflectante de la radiación solar, y aunque por lo tanto emite mal en la banda solar, su temperatura estará alrededor de la temperatura ambiente, y emitirá cualquier radiación que haya absorbido en el infrarrojo, donde su coeficiente de emisión es alto. ${\displaystyle I_{\lambda \mathrm {sun} }}$ ${\displaystyle \varepsilon _{\lambda }E_{b\lambda }(\lambda ,T)}$ ${\displaystyle \varepsilon _{\lambda }=\alpha _{\lambda }}$ ${\displaystyle \alpha _{\mathrm {sun} }}$ ${\displaystyle \varepsilon _{\mathrm {paint} }}$

Derivación de Planck

El aparato que utiliza Hertz para generar y recibir ondas electromagnéticas. El receptor es un resonador hertziano y está sintonizado para recibir una única frecuencia. En notación moderna, el receptor recibe una onda electromagnética con frecuencia . ${\displaystyle \nu =(LC)^{-1/2}}$

Históricamente, Planck derivó la ley de radiación del cuerpo negro y el equilibrio detallado de acuerdo con un argumento termodinámico clásico, con un solo paso heurístico, que luego se interpretó como una hipótesis de cuantificación. ^{[14] [15]}

En el diseño de Planck, comenzó con un gran Hohlraum a una temperatura fija . En equilibrio térmico, el Hohlraum se llena con una distribución de ondas electromagnéticas en equilibrio térmico con las paredes del Hohlraum. A continuación, consideró conectar el Hohlraum a un único resonador pequeño , como los resonadores hertzianos. El resonador alcanza una determinada forma de equilibrio térmico con el Hohlraum, cuando la entrada espectral en el resonador es igual a la salida espectral en la frecuencia de resonancia. ${\displaystyle T}$

A continuación, supongamos que hay dos Hohlraums a la misma temperatura fija ; entonces, Planck argumentó que el equilibrio térmico del pequeño resonador es el mismo cuando se conecta a cualquiera de los Hohlraums. Para ello, podemos desconectar el resonador de un Hohlraum y conectarlo a otro. Si el equilibrio térmico fuera diferente, entonces simplemente habríamos transportado energía de uno a otro, violando la segunda ley. Por lo tanto, el espectro de todos los cuerpos negros es idéntico a la misma temperatura. ${\displaystyle T}$

Utilizando una heurística de cuantificación, que obtuvo de Boltzmann, Planck argumentó que un resonador sintonizado a una frecuencia , con una energía promedio , contendría entropía para alguna constante (más tarde denominada constante de Planck). Luego, aplicando , Planck obtuvo la ley de radiación del cuerpo negro. ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle E}$ $${\displaystyle S_{\nu }=k_{B}\left[\left(1+{\frac {E}{h\nu }}\right)\ln \left(1+{\frac {E}{h\nu }}\right)-{\frac {E}{h\nu }}\ln {\frac {E}{h\nu }}\right]}$$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle k_{B}T=(\partial _{E}S)^{-1}}$

Otro argumento que no depende de la forma precisa de la función de entropía se puede dar de la siguiente manera. A continuación, supongamos que tenemos un material que viola la ley de Kirchhoff cuando se integra, de modo que el coeficiente total de absorción no es igual al coeficiente de emisión a una cierta , entonces si el material a temperatura se coloca en un Hohlraum a temperatura , emitiría espontáneamente más de lo que absorbe, o viceversa, creando así espontáneamente una diferencia de temperatura, violando la segunda ley. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$

Finalmente, supongamos que tenemos un material que viola la ley de Kirchhoff en detalle , de modo que tal que el coeficiente total de absorción no es igual al coeficiente de emisión en una cierta y en una cierta frecuencia , entonces como no viola la ley de Kirchhoff cuando se integra, deben existir dos frecuencias , tales que el material absorbe más de lo que emite a , y viceversa a . Ahora, coloque este material en un Hohlraum. Crearía espontáneamente un cambio en el espectro, haciéndolo más alto en que en . Sin embargo, esto nos permite tomar de un Hohlraum con un resonador sintonizado a , luego separarlo y unirlo a otro Hohlraum a la misma temperatura, transportando así energía de uno a otro, violando la segunda ley. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \nu _{1}\neq \nu _{2}}$ ${\displaystyle \nu _{1}}$ ${\displaystyle \nu _{2}}$ ${\displaystyle \nu _{2}}$ ${\displaystyle \nu _{1}}$ ${\displaystyle \nu _{2}}$

Podemos aplicar el mismo argumento para la polarización y la dirección de la radiación, obteniendo el principio completo del equilibrio detallado. ^[7]

Cuerpos negros

Materiales casi negros

Se sabe desde hace mucho tiempo que un revestimiento de negro de humo hace que un cuerpo sea casi negro. Otros materiales son casi negros en determinadas bandas de longitud de onda. Estos materiales no sobreviven a todas las temperaturas muy altas que son de interés.

En los nanotubos de carbono fabricados se ha encontrado una mejora con respecto al negro de humo. Los materiales nanoporosos pueden alcanzar índices de refracción cercanos a los del vacío, y en un caso se obtuvo una reflectancia promedio de 0,045 %. ^{[16] [17]}

Cuerpos opacos

Los cuerpos opacos a la radiación térmica que incide sobre ellos son valiosos para el estudio de la radiación térmica. Planck analizó tales cuerpos con la aproximación de que se los considere topológicamente como si tuvieran un interior y compartieran una interfase . Comparten la interfase con su medio contiguo, que puede ser material enrarecido como el aire, o material transparente, a través del cual se pueden hacer observaciones. La interfase no es un cuerpo material y no puede emitir ni absorber. Es una superficie matemática que pertenece conjuntamente a los dos medios que la tocan. Es el sitio de refracción de la radiación que lo penetra y de reflexión de la radiación que no lo penetra. Como tal, obedece al principio de reciprocidad de Helmholtz . Se considera que el cuerpo opaco tiene un interior material que absorbe toda y no dispersa ni transmite ninguna de la radiación que lo alcanza a través de la refracción en la interfase. En este sentido, el material del cuerpo opaco es negro a la radiación que lo alcanza, mientras que todo el fenómeno, incluido el interior y la interfase, no muestra una negrura perfecta. En el modelo de Planck, los cuerpos perfectamente negros, que según él no existen en la naturaleza, además de su interior opaco, tienen interfaces que son perfectamente transmisoras y no reflectantes. ^[2]

Radiación de cavidades

Las paredes de una cavidad pueden estar hechas de materiales opacos que absorban cantidades significativas de radiación en todas las longitudes de onda. No es necesario que cada parte de las paredes interiores sea un buen absorbente en todas las longitudes de onda. El rango efectivo de longitudes de onda absorbentes se puede ampliar mediante el uso de parches de varios materiales absorbentes diferentes en partes de las paredes interiores de la cavidad. En equilibrio termodinámico, la radiación de la cavidad obedecerá exactamente la ley de Planck. En este sentido, la radiación de la cavidad en equilibrio termodinámico puede considerarse como radiación de cuerpo negro en equilibrio termodinámico a la que se aplica exactamente la ley de Kirchhoff, aunque no exista ningún cuerpo perfectamente negro en el sentido de Kirchhoff.

Un modelo teórico considerado por Planck consiste en una cavidad con paredes perfectamente reflectantes, inicialmente sin contenido material, en la que luego se coloca un pequeño trozo de carbono. Sin el pequeño trozo de carbono, no hay manera de que la radiación no equilibrada inicialmente en la cavidad se desplace hacia el equilibrio termodinámico. Cuando se coloca el pequeño trozo de carbono, este se transforma entre ^{[ aclarar ]} frecuencias de radiación de manera que la radiación de la cavidad llega al equilibrio termodinámico. ^[2]

Un agujero en la pared de una cavidad.

Para fines experimentales, se puede diseñar un agujero en una cavidad que proporcione una buena aproximación a una superficie negra, pero no será perfectamente lambertiano y debe observarse desde ángulos casi rectos para obtener las mejores propiedades. La construcción de tales dispositivos fue un paso importante en las mediciones empíricas que llevaron a la identificación matemática precisa de la función universal de Kirchhoff, ahora conocida como ley de Planck .

Los cuerpos negros perfectos de Kirchhoff

Planck también observó que los cuerpos negros perfectos de Kirchhoff no existen en la realidad física. Son ficciones teóricas. Los cuerpos negros perfectos de Kirchhoff absorben toda la radiación que cae sobre ellos, justo en una capa superficial infinitamente delgada, sin reflexión ni dispersión. Emiten radiación en perfecto acuerdo con la ley del coseno de Lambert . ^{[1] [2]}

Declaraciones originales

Gustav Kirchhoff enunció su ley en varios artículos en 1859 y 1860, y luego en 1862 en un apéndice a sus reimpresiones recopiladas de esos y algunos artículos relacionados. ^[18]

Antes de los estudios de Kirchhoff, se sabía que, para la radiación térmica total, la relación entre la potencia de emisión y la relación de absorción era la misma para todos los cuerpos que emitían y absorbían radiación térmica en equilibrio termodinámico. Esto significa que un buen absorbente es un buen emisor. Naturalmente, un buen reflector es un mal absorbente. En cuanto a la especificidad de la longitud de onda, antes de Kirchhoff, Balfour Stewart había demostrado experimentalmente que la relación era la misma para todos los cuerpos, pero no se había considerado explícitamente el valor universal de la relación como función de la longitud de onda y la temperatura.

La contribución original de Kirchhoff a la física de la radiación térmica fue su postulado de un cuerpo negro perfecto que irradia y absorbe radiación térmica en un recinto opaco a la radiación térmica y con paredes que absorben en todas las longitudes de onda. El cuerpo negro perfecto de Kirchhoff absorbe toda la radiación que incide sobre él.

Cada uno de estos cuerpos negros emite desde su superficie una radiación espectral que Kirchhoff denominó I ( intensidad específica , el nombre tradicional de la radiación espectral).

La radiancia espectral postulada por Kirchhoff era una función universal, una y la misma para todos los cuerpos negros, que dependía únicamente de la longitud de onda y la temperatura.

Kirchhoff desconocía por completo la expresión matemática precisa de esa función universal y simplemente se postuló su existencia hasta que Max Planck descubrió su expresión matemática precisa en 1900. Hoy en día se la conoce como la ley de Planck.

Luego, en cada longitud de onda, para el equilibrio termodinámico en un recinto opaco a los rayos de calor, con paredes que absorben algo de radiación en cada longitud de onda:

Para un cuerpo cualquiera que irradia y emite radiación térmica, la relación E/A entre la radiancia espectral emisiva, E , y la relación adimensional de absorción, A , es una y la misma para todos los cuerpos a una temperatura dada. Esa relación E/A es igual a la radiancia espectral emisiva I de un cuerpo negro perfecto, una función universal únicamente de la longitud de onda y la temperatura.

Véase también

• Leyes de Kirchhoff (desambiguación)
• Ecuación de Sakuma-Hattori
• Ley de desplazamiento de Wien
• Ley de Stefan-Boltzmann , que establece que la potencia de emisión es proporcional a la cuarta potencia de la temperatura del cuerpo negro.

Referencias

Citas

1. Kirchhoff 1860
2. Planck 1914
3. Milne 1930, pág. 80
4. Chandrasekhar 1960, pág. 8
5. Mihalas y Weibel-Mihalas 1984, pág. 328
6. Goody y Yung 1989, págs. 27-28
7. Reif, Frederick (2009). Fundamentos de física estadística y térmica (ed. Reiss). Long Grove, Ill: Waveland Press. págs. 383–385. ISBN 978-1-57766-612-7.
8. Oxenius, Joachim (1986), Oxenius, Joachim (ed.), "Equilibrio térmico y balance detallado", Teoría cinética de partículas y fotones: Fundamentos teóricos de la espectroscopia de plasma no LTE , Berlín, Heidelberg: Springer, págs. 1–34, doi :10.1007/978-3-642-70728-5_1, ISBN 978-3-642-70728-5, consultado el 25 de junio de 2024
9. Kangro 1976
10. Rybicki y Lightman 1979, págs. 15-20
11. Rybicki & Lightman 1979, pág.  ^{[ página necesaria ]}
12. Rybicki & Lightman 1979, pág.  ^{[ página necesaria ]}
13. "Preguntas frecuentes sobre energía solar y aire acondicionado: Tabla de absortividad y emisividad de materiales y recubrimientos comunes".
14. Duncan, Anthony; Janssen, Michel (29 de agosto de 2019), "Planck, la segunda ley de la termodinámica y la radiación del cuerpo negro", Constructing Quantum Mechanics (1.ª ed.), Oxford University PressOxford, págs. 45–83, doi :10.1093/oso/9780198845478.003.0002, ISBN 978-0-19-884547-8, consultado el 25 de junio de 2024
15. Pippard, Alfred B. (1981). Elementos de termodinámica clásica: para estudiantes avanzados de física (edición revisada). Cambridge: Univ. Pr. pp. 77–78. ISBN 978-0-521-09101-5.
16. Chun 2008
17. Yang y otros, 2008
18. Kirchhoff 1862

Bibliografía

• Chandrasekhar, S. (1960) [1950]. Transferencia radiativa (edición reimpresa revisada). Dover Publications . ISBN 978-0-486-60590-6.
• Chun, Ai L. (2008). "Nanotubos de carbono: más negros que el negro". Nature Nanotechnology . doi : 10.1038/nnano.2008.29 .
• Goody, RM; Yung, YL (1989). Radiación atmosférica: base teórica (2.ª ed.). Oxford University Press . ISBN 978-0-19-510291-8.
• Kangro, H. (1976). Historia temprana de la ley de radiación de Planck . Traducido por REW Madison, con la colaboración de Kangro, del alemán de 1970. Londres: Taylor & Francis. ISBN 0-85066-063-7.
• Kirchhoff, G. (1860). "Ueber das Verhältniss zwischen dem Emissionsvermögen und dem Absortsvermögen der Körper für Wärme and Licht". Annalen der Physik und Chemie . 109 (2): 275–301. Código Bib : 1860AnP...185..275K . doi : 10.1002/andp.18601850205 .
  • Traducido por: Kirchhoff, G. (1860). "Sobre la relación entre los poderes de radiación y absorción de diferentes cuerpos para la luz y el calor". Revista filosófica . Serie 4. 20. Traducido por Guthrie, G.: 1–21.
• Kirchhoff, Gustav (1862). Untersuchungen über das Sonnenspectrum und die Spectren der chemischen Elemente (en alemán). Berlín: Ferd. Verlagsbuchhandlung de Dümmler. Apéndice, Über das Verhältniß zwischen dem Emissionsvermögen und dem Absortsvermögen der Körper für Wärme und Licht, págs. 22–39. ISBN 3-535-00820-4.
  • Reimpreso como Kirchhoff, Gustav; Kangro, Hans (1972). Untersuchungen über das Sonnenspectrum und die Spectren der chemischen Elemente und weitere ergänzende Arbeiten aus den Jahren 1859-1862 (en alemán). Osnabrück: Otto Zeller Verlag. Apéndice, Über das Verhältniß zwischen dem Emissionsvermögen und dem Absortsvermögen der Körper für Wärme und Licht, págs. 45–64. ISBN 9783535008208.
• Mihalas, D .; Weibel-Mihalas, B. (1984). Fundamentos de la hidrodinámica de la radiación . Oxford University Press . ISBN 0-19-503437-6.
• Milne, EA (1930). "Termodinámica de las estrellas". Handbuch der Astrophysik . vol. 3, parte 1. págs. 63–255.
• Planck, M. (1914). La teoría de la radiación térmica. Traducido por Masius, M. (2.ª ed.). P. Blakiston's Son & Co. OL  7154661M .
• Rybicki, George B.; Lightman, Alan P. (1979). Procesos radiativos en astrofísica . John Wiley and Sons .
• Yang, Z.-P.; Ci, L.; Bur, JA; Lin, S.-Y.; Ajayan, PM (2008). "Observación experimental de un material extremadamente oscuro creado con una matriz de nanotubos de baja densidad". Nano Letters . 8 (2): 446–51. Bibcode :2008NanoL...8..446Y. doi :10.1021/nl072369t. PMID  18181658.

Referencias generales

• Evgeny Lifshitz y LP Pitaevskii, Física estadística: Parte 2 , 3.ª edición (Elsevier, 1980).
• F. Reif, Fundamentos de física estadística y térmica (McGraw-Hill: Boston, 1965).
• Lemons, Don S.; Shanahan, William R.; Buchholtz, Louis (2022). Tras la pista de la radiación del cuerpo negro: Max Planck y la física de su época . Cambridge, Massachusetts: The MIT Press. ISBN 978-0-262-04704-3.
• Kuhn, Thomas S. (1993). Teoría del cuerpo negro y la discontinuidad cuántica: 1894-1912 (edición posterior). Chicago: Univ. of Chicago Press. ISBN 978-0-226-45800-7.