ley de peirce

Axioma utilizado en lógica y filosofía.

En lógica , la ley de Peirce lleva el nombre del filósofo y lógico Charles Sanders Peirce . Fue tomado como axioma en su primera axiomatización de la lógica proposicional . Puede considerarse como la ley del tercero excluido escrita en una forma que involucra sólo un tipo de conectivo, a saber, implicación.

En cálculo proposicional , la ley de Peirce dice que (( P → Q )→ P ) → P. Escrito, esto significa que P debe ser verdadera si existe una proposición Q tal que la verdad de P se sigue de la verdad de "si P entonces Q ".

La ley de Peirce no se cumple en la lógica intuicionista ni en la lógica intermedia y no puede deducirse únicamente del teorema de deducción .

Según el isomorfismo de Curry-Howard , la ley de Peirce es el tipo de operadores de continuación , por ejemplo, call/cc en Scheme . ^[1]

Historia

Aquí está la propia declaración de la ley de Peirce:

Se requiere un quinto icono para el principio del tercero excluido y otras proposiciones relacionadas con él. Una de las fórmulas más simples de este tipo es:

Esto no es un axioma. Que es verdad se muestra a continuación. Sólo puede ser falso si el consecuente final x es falso mientras que su antecedente ( x ⤙ y ) ⤙ x es verdadero. Si esto es cierto, o su consecuente, x , es verdadero, cuando toda la fórmula sería verdadera, o su antecedente x ⤙ y es falso. Pero en el último caso el antecedente de x ⤙ y , es decir x , debe ser verdadero. (Peirce, los artículos recopilados 3.384).

Peirce continúa señalando una aplicación inmediata de la ley:

De la fórmula que acabamos de dar, obtenemos inmediatamente:

donde a se usa en tal sentido que ( x ⤙ y ) ⤙ a significa que de ( x ⤙ y ) se sigue cada proposición. Con ese entendimiento, la fórmula establece el principio del tercero excluido, que de la falsedad de la negación de x se sigue la verdad de x . (Peirce, los artículos recopilados 3.384).

Advertencia : Como se explica en el texto, " a " aquí no denota un átomo proposicional, sino algo así como la fórmula proposicional cuantificada . La fórmula (( x → y ) → a ) → x no sería una tautología si a se interpretara como un átomo. ${\displaystyle \forall p\,p}$

Relaciones entre principios

En lógica intuicionista, si se prueba o se rechaza, o si se demuestra que es válida, entonces se cumple la ley de Piece para las dos proposiciones. Pero el caso especial de la ley cuando es rechazada, llamado consequentia mirabilis , equivale a un medio excluido ya por encima de la lógica mínima . Esto también significa que la ley de Piece implica lógica clásica sobre lógica intuicionista, como también se muestra a continuación. Intuicionistamente, ni siquiera la restricción implica la ley para dos proposiciones. Postular que esto último es válido da como resultado la lógica intermedia de Smetanich . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \neg Q\to P}$

Es útil considerar la ley de Pierce en su forma equivalente . De hecho, de sigue , y por lo tanto es equivalente a . El caso ahora muestra directamente cómo la eliminación de la doble negación implica consequentia mirabilis sobre la lógica mínima. ${\displaystyle ((P\to Q)\to (P\land Q))\to P}$ ${\displaystyle P\to Q}$ ${\displaystyle P\leftrightarrow (P\land Q)}$ ${\displaystyle (P\to Q)\to P}$ ${\displaystyle (P\to Q)\to (P\land Q)}$ ${\displaystyle Q=\bot }$ ${\displaystyle \neg \neg P\to P}$

En lógica intuicionista, la explosión se puede utilizar para , por lo que aquí el caso especial de la ley, consequentia mirabilis, también implica eliminación por doble negación. Como el tercero excluido doblemente negado siempre es válido incluso en la lógica mínima, esto también demuestra intuicionistamente el tercero excluido. En la otra dirección, también se puede demostrar intuicionistamente que el tercero excluido implica directamente la ley de Piece. Con este fin, tenga en cuenta que utilizando el principio de explosión , el medio excluido puede expresarse como . En palabras, esto puede expresarse como: "Cada proposición contiene o implica cualquier otra proposición". Ahora, para probar la ley, tenga en cuenta que se puede derivar de la introducción de implicaciones por un lado y del modus ponens por el otro. Finalmente, en lugar de considerar . ${\displaystyle \bot \to (P\land \bot )}$ ${\displaystyle P\lor (P\to Q)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle (P\lor R)\to ((R\to P)\to P)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle P\to Q}$

Otra prueba de la ley en la lógica clásica procede pasando dos veces por el silogismo disyuntivo inverso clásicamente válido : Primera nota que está implícita en , que es intuicionistamente equivalente a . Ahora bien, la explosión implica que implica , y usar el medio excluido implica que estos dos son de hecho equivalentes. En conjunto, esto significa que en lógica clásica es equivalente a . ${\displaystyle \neg \neg P}$ ${\displaystyle (\neg \neg P\land \neg Q)\lor P}$ ${\displaystyle \neg (\neg P\lor Q)\lor P}$ ${\displaystyle \neg A\lor B}$ ${\displaystyle A\to B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle (P\to Q)\to P}$

Usando la ley de Peirce con el teorema de deducción

La ley de Peirce permite mejorar la técnica de utilizar el teorema de deducción para demostrar teoremas. Supongamos que se tiene un conjunto de premisas Γ y se quiere deducir una proposición Z a partir de ellas. Con la ley de Peirce, se pueden agregar (sin costo) premisas adicionales de la forma Z → P a Γ. Por ejemplo, supongamos que tenemos P → Z y ( P → Q ) → Z y queremos deducir Z para poder usar el teorema de deducción para concluir que ( P → Z ) → ((( P → Q ) → Z )→ Z ) es un teorema. Entonces podemos agregar otra premisa Z → Q . De eso y P → Z , obtenemos P → Q . Luego aplicamos modus ponens con ( P → Q )→ Z como premisa principal para obtener Z. Aplicando el teorema de deducción, obtenemos que ( Z → Q ) → Z se sigue de las premisas originales. Luego usamos la ley de Peirce en la forma (( Z → Q )→ Z )→ Z y modus ponens para derivar Z de las premisas originales. Luego podremos terminar de demostrar el teorema como pretendíamos originalmente.

Completitud del cálculo proposicional implicacional

Una razón por la que la ley de Peirce es importante es que puede sustituir a la ley del tercero excluido en la lógica que sólo utiliza la implicación. Las oraciones que se pueden deducir de los esquemas de axiomas:

• P →( Q → P )
• ( P →( Q → R ))→(( P → Q )→( P → R ))
• (( P → Q ) → P ) → P
• de P y P → Q infieren Q

(donde P , Q , R contienen solo "→" como conectivo) son todas las tautologías que usan solo "→" como conectivo.

Fracaso en modelos no clásicos de lógica intuicionista

Dado que la ley de Peirce implica la ley del tercero excluido, siempre debe fallar en la lógica intuicionista no clásica. Un contraejemplo explícito simple es el de las lógicas de muchos valores de Gödel , que son una lógica difusa donde los valores de verdad son números reales entre 0 y 1, con implicación material definida por:

${\displaystyle {\begin{aligned}u\mathrel {\xrightarrow[{G}]{}} v&={\begin{cases}1,&{\text{if }}u\leq v\\v,&{\text{if }}u>v\end{cases}}\end{aligned}}}$

y donde la ley de Peirce como fórmula se puede simplificar a:

${\displaystyle {\begin{aligned}((u\mathrel {\xrightarrow[{G}]{}} v)\mathrel {\xrightarrow[{G}]{}} u)\mathrel {\xrightarrow[{G}]{}} u&={\begin{cases}1,&{\text{if }}u\leq v\\u,&{\text{if }}u>v\end{cases}}\end{aligned}}}$

donde ser siempre cierto sería equivalente a la afirmación de que u > v implica u = 1, lo cual es cierto sólo si 0 y 1 son los únicos valores permitidos. Al mismo tiempo, sin embargo, la expresión nunca puede ser igual al valor de verdad inferior de la lógica y su doble negación siempre es verdadera.

Ver también

• Bibliografía de Charles Sanders Peirce

Notas

1. Timothy G. Griffin, A Formulae-as-Types Notion of Control, 1990 - Griffin define K en la página 3 como un equivalente a call/cc de Scheme y luego analiza que su tipo es el equivalente a la ley de Peirce al final de la sección 5 en página 9.

Otras lecturas

• Peirce, CS, "Sobre el álgebra de la lógica: una contribución a la filosofía de la notación", American Journal of Mathematics 7, 180–202 (1885). Reimpresos, los artículos recopilados de Charles Sanders Peirce 3.359–403 y los escritos de Charles S. Peirce: una edición cronológica 5, 162–190.
• Peirce, CS, Artículos recopilados de Charles Sanders Peirce , vols. 1–6, Charles Hartshorne y Paul Weiss (eds.), vols. 7–8, Arthur W. Burks (ed.), Harvard University Press, Cambridge, MA, 1931–1935, 1958.