En matemáticas , la intransitividad (a veces llamada no transitividad ) es una propiedad de las relaciones binarias que no son relaciones transitivas . Esto puede incluir cualquier relación que no sea transitiva, o la propiedad más fuerte de antitransitividad , que describe una relación que nunca es transitiva.
Una relación es transitiva si, siempre que relaciona algún A con algún B, y ese B con algún C, también relaciona ese A con ese C. Algunos autores llaman intransitiva a una relación si no es transitiva, es decir, (si la relación en cuestión se llama )
Esta afirmación equivale a
Por ejemplo, considere la relación R sobre los números enteros tal que a R b si y sólo si a es múltiplo de b o divisor de b . Esta relación es intransitiva ya que, por ejemplo, 2 R 6 (2 es divisor de 6) y 6 R 3 (6 es múltiplo de 3), pero 2 no es múltiplo ni divisor de 3. Esto no implica que la relación es antitransitiva (ver más abajo); por ejemplo, 2 R 6, 6 R 12 y 2 R 12 también.
Como otro ejemplo, en la cadena alimentaria , los lobos se alimentan de ciervos y los ciervos se alimentan de pasto, pero los lobos no se alimentan de pasto. [1] Por tanto, la alimentación de la relación entre formas de vida es intransitiva, en este sentido.
Otro ejemplo que no involucra bucles de preferencia surge en la masonería : en algunos casos la logia A reconoce la logia B y la logia B reconoce la logia C, pero la logia A no reconoce la logia C. Por lo tanto, la relación de reconocimiento entre logias masónicas es intransitiva.
A menudo, el término intransitivo se utiliza para referirse a la propiedad más fuerte de la antitransitividad.
En el ejemplo anterior, la relación de alimentación no es transitiva, pero aún contiene cierta transitividad: por ejemplo, los humanos se alimentan de conejos, los conejos se alimentan de zanahorias y los humanos también se alimentan de zanahorias.
Una relación es antitransitiva si esto nunca ocurre en absoluto, es decir
Muchos autores utilizan el término intransitividad para referirse a antitransitividad . [2] [3]
Por ejemplo, la relación R sobre los números enteros, tal que a R b si y sólo si a + b es impar, es intransitiva. Si a R b y b R c , entonces a y c son impares y b es par, o viceversa. En cualquier caso, a + c es par.
Un segundo ejemplo de relación antitransitiva: la relación de derrota en torneos eliminatorios . Si el jugador A derrotó al jugador B y el jugador B derrotó al jugador C, es posible que A nunca haya jugado contra C y, por lo tanto, A no haya derrotado a C.
Por transposición , cada una de las siguientes fórmulas equivale a la antitransitividad de R :
El término intransitividad se utiliza a menudo cuando se habla de escenarios en los que una relación describe las preferencias relativas entre pares de opciones, y sopesar varias opciones produce un "bucle" de preferencia:
Piedra Papel tijeras ; dados intransitivos ; y el juego de Penney son ejemplos. Las relaciones reales de combate entre especies rivales, [5] las estrategias de los animales individuales, [6] y los combates de vehículos teledirigidos en los espectáculos BattleBots ("darwinismo robótico") [7] también pueden ser cíclicos.
Suponiendo que no se prefiere ninguna opción a sí misma, es decir, que la relación es irreflexiva , una relación de preferencia con un bucle no es transitiva. De ser así, cada opción del bucle tiene preferencia sobre cada opción, incluida ella misma. Esto se puede ilustrar con este ejemplo de un bucle entre A, B y C. Supongamos que la relación es transitiva. Entonces, dado que A se prefiere a B y B se prefiere a C, también se prefiere A a C. Pero entonces, dado que C se prefiere a A, también se prefiere A a A.
Por lo tanto, dicho bucle (o ciclo ) de preferencia se conoce como intransitividad .
Observe que un ciclo no es necesario ni suficiente para que una relación binaria no sea transitiva. Por ejemplo, una relación de equivalencia posee ciclos pero es transitiva. Ahora, consideremos la relación "es enemigo de" y supongamos que la relación es simétrica y satisface la condición de que, para cualquier país, cualquier enemigo de un enemigo del país no es en sí mismo un enemigo del país. Este es un ejemplo de una relación antitransitiva que no tiene ciclos. En particular, por ser antitransitiva, la relación no es transitiva.
El juego de piedra, papel y tijera es un ejemplo. La relación entre piedra, papel y tijera es "derrota", y las reglas estándar del juego son tales que la piedra vence a las tijeras, las tijeras vencen al papel y el papel vence a la piedra. Además, también es cierto que las tijeras no vencen a la piedra, el papel no vence a las tijeras y la piedra no vence al papel. Por último, también es cierto que ninguna opción se vence a sí misma. Esta información se puede representar en una tabla:
El primer argumento de la relación es una fila y el segundo es una columna. Unos indican que la relación se cumple, cero indica que no se cumple. Ahora, observe que la siguiente afirmación es verdadera para cualquier par de elementos xey extraídos (con reemplazo) del conjunto {piedra, tijera, papel}: Si x vence a y, y y vence a z, entonces x no vence a z. Por tanto la relación es antitransitiva.
Por tanto, un ciclo no es necesario ni suficiente para que una relación binaria sea antitransitiva.
Se ha sugerido que la votación de Condorcet tiende a eliminar los "bucles intransitivos" cuando participan un gran número de votantes porque los criterios generales de evaluación de los votantes se equilibran. Por ejemplo, los votantes pueden preferir candidatos en varias unidades de medida diferentes, como por orden de conciencia social o por orden de mayor conservadoridad fiscal.
En tales casos, la intransitividad se reduce a una ecuación más amplia de números de personas y el peso de sus unidades de medida al evaluar a los candidatos.
Como:
Si bien es posible que cada votante no evalúe las unidades de medida de manera idéntica, la tendencia se convierte en un vector único en el que el consenso coincide en que es un equilibrio preferido de los criterios de los candidatos.
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\forall a,b,c:aRb\land aRc\implica \lnot (bRc)\\[3pt]&\forall a,b,c:aRc\land bRc\implica \ lno (aRb)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d1168551e81d1a0a66ea65d8123d3fe3b4e594c)