Teoría de Arakelov

Teoría matemática

En matemáticas , la teoría de Arakelov (o geometría de Arakelov ) es una aproximación a la geometría diofántica , llamada así por Suren Arakelov . Se utiliza para estudiar ecuaciones diofánticas en dimensiones superiores.

Fondo

La principal motivación detrás de la geometría de Arakelov es que hay una correspondencia entre ideales primos y lugares finitos , pero también existe un lugar en el infinito , dado por la valoración de Arquímedes , que no tiene un ideal primo correspondiente. La geometría de Arakelov proporciona una técnica para compactificar en un espacio completo que tiene un primo en el infinito. La construcción original de Arakelov estudia una de esas teorías, donde una definición de divisores es constructor para un esquema de dimensión relativa 1 sobre tal que se extiende a una superficie de Riemann para cada valoración en el infinito. Además, equipa estas superficies de Riemann con métricas hermíticas en fibrados vectoriales holomorfos sobre X ( C ), los puntos complejos de . Esta estructura hermítica adicional se aplica como un sustituto del fracaso del esquema Spec( Z ) para ser una variedad completa . ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\in {\text{Spec}}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle v_{p}:\mathbb {Q} ^{*}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle v_{\infty }}$ ${\displaystyle {\text{Spec}}(\mathbb {Z} )}$ $${\displaystyle {\overline {{\text{Spec}}(\mathbb {Z} )}}}$$ ${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$ ${\displaystyle {\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{K})}$ ${\displaystyle X_{\infty }={\mathfrak {X}}(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle X}$

Téngase en cuenta que existen otras técnicas para construir un espacio completo que se extiende a , que es la base de la geometría F 1 . ${\displaystyle {\text{Spec}}(\mathbb {Z} )}$

Definición original de divisores

Sea un cuerpo, su anillo de enteros y una curva de género sobre un modelo no singular , llamado superficie aritmética . Además, sea una inclusión de cuerpos (que se supone que representa un lugar en el infinito). Además, sea la superficie de Riemann asociada desde el cambio de base a . Usando estos datos, uno puede definir un c-divisor como una combinación lineal formal donde es un subconjunto cerrado irreducible de de codimensión 1, , y , y la suma representa la suma sobre cada incrustación real de y sobre una incrustación para cada par de incrustaciones complejas . El conjunto de c-divisores forma un grupo . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\mathfrak {X}}\to {\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{K})}$ $${\displaystyle \infty :K\to \mathbb {C} }$$ ${\displaystyle X_{\infty }}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ $${\displaystyle D=\sum _{i}k_{i}C_{i}+\sum _{\infty }\lambda _{\infty }X_{\infty }}$$ ${\displaystyle C_{i}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$ ${\displaystyle k_{i}\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \lambda _{\infty }\in \mathbb {R} }$ $${\displaystyle \sum _{\infty }}$$ ${\displaystyle K\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle K\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\text{Div}}_{c}({\mathfrak {X}})}$

Resultados

Arakelov  (1974, 1975) definió una teoría de intersecciones sobre las superficies aritméticas unidas a curvas proyectivas suaves sobre cuerpos de números, con el objetivo de probar ciertos resultados, conocidos en el caso de cuerpos de funciones, en el caso de cuerpos de números. Gerd Faltings  (1984) amplió el trabajo de Arakelov estableciendo resultados como un teorema de Riemann-Roch, una fórmula de Noether , un teorema del índice de Hodge y la no negatividad de la autointersección del haz dualizante en este contexto.

La teoría de Arakelov fue utilizada por Paul Vojta (1991) para dar una nueva prueba de la conjetura de Mordell , y por Gerd Faltings  (1991) en su prueba de la generalización de Serge Lang de la conjetura de Mordell.

Pierre Deligne  (1987) desarrolló un marco más general para definir el emparejamiento de intersección definido en una superficie aritmética sobre el espectro de un anillo de números enteros por Arakelov. Shou-Wu Zhang  (1992) desarrolló una teoría de fibrados de líneas positivos y demostró un teorema de tipo Nakai-Moishezon para superficies aritméticas. Los desarrollos posteriores en la teoría de fibrados de líneas positivos por Zhang (1993, 1995a, 1995b) y Lucien Szpiro , Emmanuel Ullmo y Zhang (1997) culminaron en una prueba de la conjetura de Bogomolov por Ullmo (1998) y Zhang (1998). ^[1]

La teoría de Arakelov fue generalizada por Henri Gillet y Christophe Soulé a dimensiones superiores. Es decir, Gillet y Soulé definieron un emparejamiento de intersección sobre una variedad aritmética. Uno de los principales resultados de Gillet y Soulé es el teorema aritmético de Riemann-Roch de Gillet & Soulé (1992), una extensión del teorema de Grothendieck-Riemann-Roch a las variedades aritméticas. Para ello se definen grupos aritméticos de Chow CH ^p ( X ) de una variedad aritmética X , y se definen clases de Chern para fibrados vectoriales hermíticos sobre X que toman valores en los grupos aritméticos de Chow. El teorema aritmético de Riemann-Roch describe entonces cómo se comporta la clase de Chern bajo empuje hacia delante de fibrados vectoriales bajo una función propia de variedades aritméticas. Una demostración completa de este teorema fue publicada recientemente por Gillet, Rössler y Soulé.

La teoría de intersecciones de Arakelov para superficies aritméticas fue desarrollada por Jean-Benoît Bost (1999). La teoría de Bost se basa en el uso de funciones de Green que, hasta las singularidades logarítmicas, pertenecen al espacio de Sobolev . En este contexto, Bost obtiene un teorema del índice de Hodge aritmético y lo utiliza para obtener teoremas de Lefschetz para superficies aritméticas. ${\displaystyle L_{1}^{2}}$

Grupos de Chow aritméticos

Un ciclo aritmético de codimensión p es un par ( Z ,  g ) donde Z  ∈  Z ^p ( X ) es un p -ciclo en X y g es una corriente de Green para Z , una generalización de dimensión superior de una función de Green. El grupo aritmético de Chow de codimensión p es el cociente de este grupo por el subgrupo generado por ciertos ciclos "triviales". ^[2] ${\displaystyle {\widehat {\mathrm {CH} }}_{p}(X)}$

El teorema aritmético de Riemann-Roch

El teorema habitual de Grothendieck–Riemann–Roch describe cómo se comporta el carácter de Chern ch bajo empuje hacia delante de haces, y establece que ch( f _* ( E ))= f _* (ch(E)Td _{X / Y} ), donde f es un morfismo propio de X a Y y E es un fibrado vectorial sobre f . El teorema aritmético de Riemann–Roch es similar, excepto que la clase de Todd se multiplica por una cierta serie de potencias . El teorema aritmético de Riemann–Roch establece donde $${\displaystyle {\hat {\mathrm {ch} }}(f_{*}([E]))=f_{*}({\hat {\mathrm {ch} }}(E){\widehat {\mathrm {Td} }}^{R}(T_{X/Y}))}$$

• X e Y son esquemas aritméticos proyectivos regulares.
• f es una función propia y suave de X a Y
• E es un fibrado vectorial aritmético sobre X.
• ${\displaystyle {\hat {\mathrm {ch} }}}$es el carácter aritmético de Chern.
• T _X/Y es el fibrado tangente relativo
• ${\displaystyle {\hat {\mathrm {Td} }}}$es la clase aritmética de Todd
• ${\displaystyle {\hat {\mathrm {Td} }}^{R}(E)}$es ${\displaystyle {\hat {\mathrm {Td} }}(E)(1-\epsilon (R(E)))}$
• R ( X ) es la clase característica aditiva asociada a la serie de potencias formales $${\displaystyle \sum _{m>0 \atop m{\text{ odd}}}{\frac {X^{m}}{m!}}\left[2\zeta '(-m)+\zeta (-m)\left({1 \over 1}+{1 \over 2}+\cdots +{1 \over m}\right)\right].}$$

Véase también

• Teoría de Hodge-Arakelov
• Teoría de Hodge
• Teoría de Hodge p-ádica
• Grupo Adelico

Notas

1. Leong, YK (julio-diciembre de 2018). "Shou-Wu Zhang: teoría de números y geometría algebraica aritmética" (PDF) . Impresos . N.º 32. Instituto de Ciencias Matemáticas, Universidad Nacional de Singapur. págs. 32–36 . Consultado el 5 de mayo de 2019 .
2. Manin y Panchishkin (2008) págs. 400-401

Referencias

• Arakelov, Suren J. (1974), "Teoría de la intersección de divisores en una superficie aritmética", Math. URSS Izv. , 8 (6): 1167–1180, doi :10.1070/IM1974v008n06ABEH002141, Zbl  0355.14002
• Arakelov, Suren J. (1975), "Teoría de intersecciones en una superficie aritmética", Proc. Internat. Congr. Mathematicians Vancouver , vol. 1, Amer. Math. Soc., págs. 405–408, Zbl  0351.14003
• Bost, Jean-Benoît (1999), "Teorema del potencial y teoremas de Lefschetz para superficies aritméticas" (PDF) , Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , Série 4, 32 (2): 241–312, doi :10.1016/s0012- 9593(99)80015-9, ISSN  0012-9593, Zbl  0931.14014
• Deligne, P. (1987), "El determinante de la cohomología", Current trends in arithmetical algebraic geometry (Arcata, Calif., 1985) [ El determinante de la cohomología ], Contemporary Mathematics, vol. 67, Providence, RI: American Mathematical Society, págs. 93–177, doi :10.1090/conm/067/902592, MR  0902592
• Faltings, Gerd (1984), "Cálculo sobre superficies aritméticas", Anales de Matemáticas , Segunda serie, 119 (2): 387–424, doi :10.2307/2007043, JSTOR  2007043
• Faltings, Gerd (1991), "Aproximación diofántica sobre variedades abelianas", Anales de matemáticas , Segunda serie, 133 (3): 549–576, doi :10.2307/2944319, JSTOR  2944319
• Faltings, Gerd (1992), Lecciones sobre el teorema aritmético de Riemann-Roch , Annals of Mathematics Studies, vol. 127, Princeton, NJ: Princeton University Press, doi :10.1515/9781400882472, ISBN 0-691-08771-7, Sr.  1158661
• Gillet, Henri ; Soulé, Christophe (1992), "Un teorema aritmético de Riemann-Roch", Inventiones Mathematicae , 110 : 473–543, doi :10.1007/BF01231343
• Kawaguchi, Shu; Moriwaki, Atsushi; Yamaki, Kazuhiko (2002), "Introducción a la geometría de Arakelov", Geometría algebraica en Asia Oriental (Kioto, 2001) , River Edge, NJ: World Sci. Publ., págs. 1–74, doi :10.1142/9789812705105_0001, ISBN 978-981-238-265-8, Sr.  2030448
• Lang, Serge (1988), Introducción a la teoría de Arakelov , Nueva York: Springer-Verlag, doi :10.1007/978-1-4612-1031-3, ISBN 0-387-96793-1, MR  0969124, Zbl  0667.14001
• Manin, Yu. I. ; Panchishkin, AA (2007). Introducción a la teoría de números moderna . Enciclopedia de ciencias matemáticas. Vol. 49 (segunda edición). ISBN 978-3-540-20364-3. ISSN  0938-0396. Zbl  1079.11002.
• Soulé, Christophe (2001) [1994], "Teoría de Arakelov", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Soulé, C. ; con la colaboración de D. Abramovich, J.-F. Burnol y J. Kramer (1992), Lectures on Arakelov geometry , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 33, Cambridge: Cambridge University Press, pp. viii+177, doi :10.1017/CBO9780511623950, ISBN 0-521-41669-8, Sr.  1208731
• Szpiro, Lucien ; Ullmo, Emmanuel ; Zhang, Shou-Wu (1997), "Equirépartition des petits point", Inventiones Mathematicae , 127 (2): 337–347, Bibcode :1997InMat.127..337S, doi :10.1007/s002220050123, S2CID  119668209.
• Ullmo, Emmanuel (1998), "Positivité et Discrétion des Points Algébriques des Courbes", Annals of Mathematics , 147 (1): 167–179, arXiv : alg-geom/9606017 , doi :10.2307/120987, Zbl  0934.14013
• Vojta, Paul (1991), "Teorema de Siegel en el caso compacto", Anales de Matemáticas , 133 (3), Anales de Matemáticas, vol. 133, núm. 3: 509–548, doi :10.2307/2944318, JSTOR  2944318
• Zhang, Shou-Wu (1992), "Fibrados de líneas positivas en superficies aritméticas", Anales de Matemáticas , 136 (3): 569–587, doi :10.2307/2946601.
• Zhang, Shou-Wu (1993), "Emparejamiento admisible en una curva", Inventiones Mathematicae , 112 (1): 421–432, Bibcode :1993InMat.112..171Z, doi :10.1007/BF01232429, S2CID  120229374.
• Zhang, Shou-Wu (1995a), "Puntos pequeños y métricas adélicas", Journal of Algebraic Geometry , 8 (1): 281–300.
• Zhang, Shou-Wu (1995b), "Fibrados de líneas positivas en variedades aritméticas", Journal of the American Mathematical Society , 136 (3): 187–221, doi : 10.1090/S0894-0347-1995-1254133-7.
• Zhang, Shou-Wu (1996), "Alturas y reducciones de variedades semiestables", Compositio Mathematica , 104 (1): 77–105.
• Zhang, Shou-Wu (1998), "Equidistribución de puntos pequeños en variedades abelianas", Annals of Mathematics , 147 (1): 159–165, doi :10.2307/120986, JSTOR  120986.

Enlaces externos

• Documento original
• Archivo de preimpresión de geometría de Arakelov