Entropía de Tsallis

En física, la entropía de Tsallis es una generalización de la entropía estándar de Boltzmann-Gibbs . Es proporcional al valor esperado del logaritmo q de una distribución.

Historia

El concepto fue introducido en 1988 por Constantino Tsallis ^[1] como base para generalizar la mecánica estadística estándar y es idéntico en forma a la α-entropía estructural de Havrda-Charvát, ^[2] introducida en 1967 dentro de la teoría de la información .

Definición

Dado un conjunto discreto de probabilidades con la condición , y cualquier número real, la entropía de Tsallis se define como ${\displaystyle \{p_{i}\}}$ ${\displaystyle \sum _{i}p_{i}=1}$ ${\displaystyle q}$

${\displaystyle S_{q}({p_{i}})=k\cdot {\frac {1}{q-1}}\left(1-\sum _{i}p_{i}^{q}\right),}$

donde es un parámetro real a veces llamado índice entrópico y una constante positiva. ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle k}$

En el límite como , se recupera la entropía habitual de Boltzmann-Gibbs, es decir ${\displaystyle q\to 1}$

${\displaystyle S_{\text{BG}}=S_{1}(p)=-k\sum _{i}p_{i}\ln p_{i},}$

donde uno se identifica con la constante de Boltzmann . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k_{B}}$

Para distribuciones de probabilidad continuas, definimos la entropía como

${\displaystyle S_{q}[p]={1 \over q-1}\left(1-\int (p(x))^{q}\,dx\right),}$

donde es una función de densidad de probabilidad . ${\displaystyle p(x)}$

Entropía cruzada

El pendiente de entropía cruzada es la expectativa del logaritmo q negativo con respecto a una segunda distribución, . Por lo tanto . ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{q-1}}(1-{\textstyle \sum _{i}}p_{i}^{q}\cdot {\tfrac {r_{i}}{p_{i}}})}$

Usando , esto puede escribirse . Para valores más pequeños, todos tienden hacia . ${\displaystyle t=q-1}$ ${\displaystyle (1-E_{r}[p^{t}])/t}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle p_{i}^{t}}$ ${\displaystyle 1}$

El límite calcula el negativo de la pendiente de en y se recupera . Por lo tanto, para valores pequeños fijos , aumentar esta expectativa se relaciona con la maximización de la verosimilitud logarítmica . ${\displaystyle q\to 1}$ ${\displaystyle E_{r}[p^{t}]}$ ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle -{\textstyle \sum _{i}}r_{i}\ln p_{i}}$ ${\displaystyle t}$

Propiedades

Identidades

Un logaritmo se puede expresar en términos de una pendiente que da como resultado la siguiente fórmula para la entropía estándar: ${\displaystyle {\tfrac {d}{dx}}p^{x}=p^{x}\ln p}$

${\displaystyle S=-\lim _{x\rightarrow 1}{\tfrac {d}{dx}}\sum _{i}p_{i}^{x}=-{\textstyle \sum _{i}}p_{i}\ln p_{i}}$

Del mismo modo, la entropía discreta de Tsallis satisface

${\displaystyle S_{q}=-\lim _{x\rightarrow 1}D_{q}\sum _{i}p_{i}^{x}}$

donde D _q es la derivada q con respecto a x .

No aditividad

Dados dos sistemas independientes A y B , para los cuales la densidad de probabilidad conjunta satisface

${\displaystyle p(A,B)=p(A)p(B),\,}$

La entropía de Tsallis de este sistema satisface

${\displaystyle S_{q}(A,B)=S_{q}(A)+S_{q}(B)+(1-q)S_{q}(A)S_{q}(B).\,}$

De este resultado se desprende que el parámetro es una medida de la desviación de la aditividad. En el límite cuando q = 1, ${\displaystyle |1-q|}$

${\displaystyle S(A,B)=S(A)+S(B),\,}$

que es lo que se espera de un sistema aditivo. Esta propiedad a veces se denomina "pseudoaditividad".

Familias exponenciales

Muchas distribuciones comunes, como la distribución normal, pertenecen a las familias exponenciales estadísticas . La entropía de Tsallis para una familia exponencial se puede escribir ^[3] como

${\displaystyle H_{q}^{T}(p_{F}(x;\theta ))={\frac {1}{1-q}}\left((e^{F(q\theta )-qF(\theta )})E_{p}[e^{(q-1)k(x)}]-1\right)}$

donde F es el logaritmo normalizador y k el término que indica la medida del portador. Para la normal multivariante, el término k es cero y, por lo tanto, la entropía de Tsallis está en forma cerrada.

Aplicaciones

La entropía de Tsallis se ha utilizado junto con el principio de máxima entropía para derivar la distribución de Tsallis .

En la literatura científica se ha debatido la relevancia física de la entropía de Tsallis. ^{[4] [5] [6]} Sin embargo, a partir de los años 2000 se han identificado un espectro cada vez más amplio de sistemas complejos naturales, artificiales y sociales que confirman las predicciones y consecuencias que se derivan de esta entropía no aditiva, como la mecánica estadística no extensiva, ^[7] que generaliza la teoría de Boltzmann-Gibbs.

Entre las diversas verificaciones y aplicaciones experimentales actualmente disponibles en la literatura, merecen una mención especial las siguientes:

1. Distribución que caracteriza el movimiento de átomos fríos en redes ópticas disipativas predicha en 2003 ^[8] y observada en 2006. ^[9]
2. Las fluctuaciones del campo magnético del viento solar permitieron el cálculo del triplete q (o triplete de Tsallis). ^[10]
3. Distribuciones de velocidad en un plasma polvoriento disipativo impulsado . ^[11]
4. Relajación del vidrio de espín . ^[12]
5. Ion atrapado interactuando con un gas tampón clásico . ^[13]
6. Experimentos de colisión de alta energía en el LHC/CERN (detectores CMS, ATLAS y ALICE) ^{[14] [15]} y en el RHIC/Brookhaven (detectores STAR y PHENIX). ^[16]

Entre los diversos resultados teóricos disponibles que aclaran las condiciones físicas bajo las cuales se aplican la entropía de Tsallis y las estadísticas asociadas, se pueden seleccionar los siguientes:

1. Difusión anómala . ^{[17] [18]}
2. Teorema de unicidad . ^[19]
3. Sensibilidad a las condiciones iniciales y producción de entropía en el borde del caos. ^{[20] [21]}
4. Conjuntos de probabilidad que hacen que la entropía de Tsallis no aditiva sea extensiva en el sentido termodinámico. ^[22]
5. Sistemas fuertemente entrelazados cuánticamente y termodinámica. ^[23]
6. Termostatística del movimiento sobreamortiguado de partículas en interacción. ^{[24] [25]}
7. Generalizaciones no lineales de las ecuaciones de Schrödinger, Klein-Gordon y Dirac . ^[26]
8. Cálculo de la entropía de un agujero negro. ^[27]

Para más detalles, una bibliografía está disponible en http://tsallis.cat.cbpf.br/biblio.htm

Entropías generalizadas

Varios sistemas físicos interesantes ^{[28] se rigen por} funcionales entrópicos que son más generales que la entropía estándar de Tsallis. Por lo tanto, se han introducido varias generalizaciones físicamente significativas. Las dos más generales de estas son, en particular: Superestadísticas , introducidas por C. Beck y EGD Cohen en 2003 ^[29] y Estadísticas espectrales, introducidas por GA Tsekouras y Constantino Tsallis en 2005. ^[30] Ambas formas entrópicas tienen las estadísticas de Tsallis y Boltzmann-Gibbs como casos especiales; se ha demostrado que las Estadísticas espectrales contienen al menos Superestadísticas y se ha conjeturado que también cubren algunos casos adicionales. ^{[ cita requerida ]}

Véase también

• Entropía de Rényi
• Distribución de Tsallis

Referencias

1. Tsallis, C. (1988). "Posible generalización de las estadísticas de Boltzmann-Gibbs". Journal of Statistical Physics . 52 (1–2): 479–487. Bibcode :1988JSP....52..479T. doi :10.1007/BF01016429. hdl : 10338.dmlcz/142811 . S2CID  16385640.
2. Havrda, J.; Charvát, F. (1967). "Método de cuantificación de procesos de clasificación. Concepto de α-entropía estructural" (PDF) . Kybernetika . 3 (1): 30–35.
3. Nielsen, F.; Nock, R. (2012). "Una expresión de forma cerrada para la entropía de Sharma–Mittal de familias exponenciales". Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical . 45 (3): 032003. arXiv : 1112.4221 . Bibcode :2012JPhA...45c2003N. doi :10.1088/1751-8113/45/3/032003. S2CID  8653096.
4. Cho, A. (2002). "Una nueva perspectiva sobre el desorden, ¿o ciencia desordenada?". Science . 297 (5585): 1268–1269. doi :10.1126/science.297.5585.1268. PMID  12193769. S2CID  5441957.
5. Abe, S.; Rajagopal, AK (2003). "Revisitando el desorden y las estadísticas de Tsallis". Science . 300 (5617): 249–251. doi :10.1126/science.300.5617.249d. PMID  12690173. S2CID  39719500.
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10. Burlaga, LF; - Viñas, AF (2005). "Triángulo para el índice entrópico q de la mecánica estadística no extensiva observada por la Voyager 1 en la heliosfera distante". Physica A: Mecánica estadística y sus aplicaciones . 356 (2–4): 375. arXiv : physics/0507212 . Bibcode :2005PhyA..356..375B. doi :10.1016/j.physa.2005.06.065. S2CID  18823047.
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12. Pickup, R.; Cywinski, R.; Pappas, C.; Farago, B.; Fouquet, P. (2009). "Relajación generalizada del vidrio de espín". Physical Review Letters . 102 (9): 097202. arXiv : 0902.4183 . Código Bibliográfico :2009PhRvL.102i7202P. doi :10.1103/PhysRevLett.102.097202. PMID  19392558. S2CID  6454082.
13. Devoe, R. (2009). "Distribuciones de ley de potencia para un ion atrapado que interactúa con un gas tampón clásico". Physical Review Letters . 102 (6): 063001. arXiv : 0903.0637 . Código Bibliográfico :2009PhRvL.102f3001D. doi :10.1103/PhysRevLett.102.063001. PMID  19257583. S2CID  15945382.
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15. Chatrchyan, S.; Khachatryan, V.; Sirunyan, AM; Tumasyan, A.; Adán, W.; Bergauer, T.; Dragicevic, M.; Erö, J.; Fabjan, C.; Friedl, M.; Frühwirth, R.; Ghete, VM; Martillo, J.; Hänsel, S.; Hoch, M.; Hörmann, N.; Hrubec, J.; Jeitler, M.; Kiesenhofer, W.; Krammer, M.; Liko, D.; Mikulec, I.; Pernicka, M.; Rohringer, H.; Schöfbeck, R.; Strauss, J.; Taurok, A.; Teischinger, F.; Wagner, P.; et al. (2011). "Espectros de momento transversal de partículas cargadas en colisiones pp a √ s = 0,9 y 7 TeV". Journal of High Energy Physics . 2011 (8): 86. arXiv : 1104.3547 . Bibcode :2011JHEP...08..086C. doi : 10.1007/JHEP08(2011)086.S2CID 122835798  .
16. Adare, A.; Afanasiev, S.; Aidala, C.; Ajitanand, N.; Akiba, Y.; Al-Bataineh, H.; Alejandro, J.; Aoki, K.; Aphecetche, L.; Armendáriz, R.; Aronson, SH; Asai, J.; Atomssa, ET; Averbeck, R.; Asombro, TC; Azmoun, B.; Babintsev, V.; Bai, M.; Baksay, G.; Baksay, L.; Baldisseri, A.; Barish, KN; Barnes, PD; Bassalleck, B.; Basye, AT; Bañarse, S.; Batsouli, S.; Baublis, V.; Baumann, C.; et al. (2011). "Medición de mesones neutros en colisiones p + p a √ s = 200 GeV y propiedades de escala de la producción de hadrones". Physical Review D . 83 (5): 052004. arXiv : 1005.3674 . Bibcode :2011PhRvD..83e2004A. doi :10.1103/ Número de modelo: PhysRevD.83.052004.S2CID 85560021  .
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Lectura adicional

• Furuichi, Shigeru; Mitroi-Symeonidis, Flavia-Corina; Symeonidis, Eleutherius (2014). "Sobre algunas propiedades de las hipoentropías e hipodivergencias de Tsallis". Entropía . 16 (10): 5377–5399. arXiv : 1410.4903 . Código Bibliográfico :2014Entrp..16.5377F. doi : 10.3390/e16105377 .
• Furuichi, Shigeru; Mitroi, Flavia-Corina (2012). "Desigualdades matemáticas para algunas divergencias". Physica A . 391 (1–2): 388–400. arXiv : 1104.5603 . Código Bibliográfico :2012PhyA..391..388F. doi :10.1016/j.physa.2011.07.052. S2CID  92394.
• Furuichi, Shigeru; Minculete, Nicușor; Mitroi, Flavia-Corina (2012). "Algunas desigualdades en entropías generalizadas". Revista de desigualdades y aplicaciones . 2012 : 226. arXiv : 1104.0360 . doi : 10.1186/1029-242X-2012-226 .

Enlaces externos

• Estadística de Tsallis, mecánica estadística para sistemas no extensivos e interacciones de largo alcance