Axioma de elección contable

Cada conjunto de la secuencia numerable de conjuntos (S _i ) = S ₁ , S ₂ , S ₃ , ... contiene un número de elementos distinto de cero y posiblemente infinito (o incluso incontablemente infinito ). El axioma de elección numerable nos permite seleccionar arbitrariamente un único elemento de cada conjunto, formando una secuencia correspondiente de elementos ( x _i ) = x ₁ , x ₂ , x ₃ , ...

El axioma de elección numerable o axioma de elección numerable , denotado AC _ω , es un axioma de la teoría de conjuntos que establece que toda colección numerable de conjuntos no vacíos debe tener una función de elección . Es decir, dada una función con dominio (donde denota el conjunto de números naturales ) tal que es un conjunto no vacío para cada , existe una función con dominio tal que para cada . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle A(n)}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle f(n)\in A(n)}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$

Aplicaciones

AC _ω es particularmente útil para el desarrollo del análisis matemático , donde muchos resultados dependen de tener una función de elección para una colección contable de conjuntos de números reales . Por ejemplo, para demostrar que cada punto de acumulación de un conjunto es el límite de alguna secuencia de elementos de , se necesita (una forma débil de) el axioma de elección contable. Cuando se formula para puntos de acumulación de espacios métricos arbitrarios , la afirmación se vuelve equivalente a AC _ω . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S\subseteq \mathbb {R} }$ ${\displaystyle S\setminus \{x\}}$

La capacidad de realizar análisis utilizando la elección contable ha llevado a la inclusión de AC _ω como un axioma en algunas formas de matemáticas constructivas , a pesar de su afirmación de que existe una función de elección sin construirla. ^[1]

Ejemplo: infinito implica Dedekind-infinito

Como ejemplo de una aplicación de AC _ω , aquí hay una prueba (de ZF  + AC _ω ) de que todo conjunto infinito es Dedekind-infinito : ^[2]

Sea infinito. Para cada número natural , sea el conjunto de todas las -tuplas de elementos distintos de . Como es infinito, cada una no está vacía. La aplicación de AC _ω produce una secuencia donde cada una es una -tupla. Luego, se pueden concatenar estas tuplas en una única secuencia de elementos de , posiblemente con elementos repetidos. Suprimir las repeticiones produce una secuencia de elementos distintos, donde ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A_{n}}$ ${\displaystyle (B_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle B_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (b_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (c_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$

${\displaystyle c_{n}=b_{k}}$, con . ${\displaystyle k=\min\{i\mid \forall _{j<n}b_{i}\neq c_{j}\}}$

Esto existe porque al seleccionar no es posible que todos los elementos de estén entre los elementos seleccionados previamente. Por lo tanto, contiene un conjunto contable. La función que asigna cada uno a (y deja todos los demás elementos de fijos) es una función biunívoca de en que no es sobre, lo que demuestra que es Dedekind-infinito. ^[2] ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle c_{n}}$ ${\displaystyle B_{n+1}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle c_{n}}$ ${\displaystyle c_{n+1}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Relación con otros axiomas

Sistemas más fuertes e independientes

El axioma de elección contable (AC _ω ) es estrictamente más débil que el axioma de elección dependiente (DC), ^[3] que a su vez es más débil que el axioma de elección (AC). DC, y por lo tanto también AC _ω , se cumplen en el modelo de Solovay , construido en 1970 por Robert M. Solovay como un modelo de teoría de conjuntos sin el axioma de elección completo, en el que todos los conjuntos de números reales son mensurables. ^[4]

El lema de Urysohn (UL) y el teorema de extensión de Tietze (TET) son independientes de ZF+AC _ω : existen modelos de ZF+AC _ω en los que UL y TET son verdaderos, y modelos en los que son falsos. Tanto UL como TET están implícitos en DC. ^[5]

Sistemas más débiles

Paul Cohen demostró que AC _ω no es demostrable en la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZF) sin el axioma de elección. ^[6] Sin embargo, se puede demostrar que algunos conjuntos numerablemente infinitos de conjuntos no vacíos tienen una función de elección en ZF sin ninguna forma del axioma de elección. Por ejemplo, tiene una función de elección, donde es el conjunto de conjuntos finitos hereditarios , es decir, el primer conjunto en el universo de Von Neumann de rango no finito. La función de elección es (trivialmente) el menor elemento en el buen ordenamiento. Otro ejemplo es el conjunto de intervalos abiertos propios y acotados de números reales con puntos finales racionales. ${\displaystyle V_{\omega }\setminus \{\emptyset \}}$ ${\displaystyle V_{\omega }}$

ZF+AC _ω es suficiente para demostrar que la unión de un número contable de conjuntos contables es contable. Estas afirmaciones no son equivalentes: el primer modelo de Cohen proporciona un ejemplo en el que las uniones contables de conjuntos contables son contables, pero en el que AC _ω no se cumple. ^[7]

Formas equivalentes

Existen muchas formas equivalentes del axioma de elección numerable, en el sentido de que cualquiera de ellas puede ser demostrada en ZF suponiendo cualquier otra de ellas. Entre ellas se incluyen las siguientes: ^{[8] [9]}

• Toda colección contable de conjuntos no vacíos tiene una función de elección. ^[8]
• Toda colección infinita de conjuntos no vacíos tiene una subcolección infinita con una función de elección. ^[8]
• Todo espacio σ-compacto (la unión de un número contable de espacios compactos ) es un espacio de Lindelöf (cada cubierta abierta tiene una subcubierta contable). ^[8] Un espacio métrico es σ-compacto si y solo si es Lindelöf. ^[9]
• Todo espacio contable de segundo orden (tiene una base contable de conjuntos abiertos) es un espacio separable (tiene un subconjunto denso contable). ^[8] Un espacio métrico es separable si y sólo si es σ-compacto. ^[9]
• Toda función de valor real secuencialmente continua en un espacio métrico es una función continua . ^[8]
• Cada punto de acumulación de un subconjunto de un espacio métrico es un límite de una secuencia de puntos del subconjunto. ^[9]
• El lema de Rasiowa-Sikorski MA , una forma contable del axioma de Martin : en un preorden con la condición de cadena contable , cada familia contable de subconjuntos densos tiene un filtro que interseca todos los subconjuntos. (En este contexto, un conjunto se denomina denso si cada elemento del preorden tiene un límite inferior en el conjunto). ^[8] ${\displaystyle (\aleph _{0})}$

Referencias

1. Bauer, Andrej (2017). «Cinco etapas de la aceptación de las matemáticas constructivas». Boletín de la American Mathematical Society . Nueva serie. 54 (3): 481–498. doi : 10.1090/bull/1556 . MR  3662915.
2. Herrlich 2006, Proposición 4.13, p. 48.
3. Jech, Thomas J. (1973). El axioma de la elección . Holanda Septentrional. Págs. 130-131. ISBN 978-0-486-46624-8.
4. Solovay, Robert M. (1970). "Un modelo de teoría de conjuntos en el que cada conjunto de números reales es medible según el método de Lebesgue". Anales de Matemáticas . Segunda serie. 92 (1): 1–56. doi :10.2307/1970696. ISSN  0003-486X. JSTOR  1970696. MR  0265151.
5. Tachtsis, Eleftherios (2019), "El lema de Urysohn es independiente de ZF + elección contable", Actas de la American Mathematical Society , 147 (9): 4029–4038, doi : 10.1090/proc/14590 , MR  3993794
6. Potter, Michael (2004). Teoría de conjuntos y su filosofía: una introducción crítica. Oxford University Press. pág. 164. ISBN 9780191556432.
7. Herrlich, Horst (2006). "Sección A.4". Axioma de elección. Apuntes de clase de matemáticas. Vol. 1876. Springer. doi :10.1007/11601562. ISBN 3-540-30989-6. Recuperado el 18 de julio de 2023 .
8. Howard, Paul; Rubin, Jean E. (1998). Consecuencias del axioma de elección . Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-0977-8.Véase en particular el Formulario 8, págs. 17-18.
9. Herrlich, Horst (1997). "Principios de elección en topología elemental y análisis" (PDF) . Comentario. Math. Univ. Carolinae . 38 (3): 545.Véase, en particular, el Teorema 2.4, págs. 547-548.

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