En álgebra , la dualidad de Matlis es una dualidad entre módulos artinianos y noetherianos sobre un anillo local noetheriano completo . En el caso especial en el que el anillo local tiene un campo [ se necesita aclaración ] que se asigna al campo residual, está estrechamente relacionado con trabajos anteriores de Francis Sowerby Macaulay sobre anillos polinómicos y a veces se le llama dualidad de Macaulay , y el caso general fue introducido por Matlis ( 1958).
Supongamos que R es un anillo local completo noetheriano con campo residual k y elija E como una carcasa inyectiva de k (a veces llamado módulo Matlis ). El dual DR ( M ) de un módulo M se define como Hom R ( M , E ). Entonces , la dualidad de Matlis establece que el funtor de dualidad DR da una antiequivalencia entre las categorías de módulos R artinianos y noetherianos . En particular, el functor de dualidad proporciona una antiequivalencia de la categoría de módulos de longitud finita a sí mismo.
Supongamos que el anillo local completo noetheriano R tiene un subcampo k que se asigna a un subcampo de índice finito de su campo residual R / m . Entonces el dual de Matlis de cualquier R -módulo es simplemente su dual como espacio vectorial topológico sobre k , si al módulo se le da su m -topología ádica. En particular, el dual de R como espacio vectorial topológico sobre k es un módulo Matlis. Este caso está estrechamente relacionado con el trabajo de Macaulay sobre anillos polinomiales graduados y a veces se le llama dualidad de Macaulay.
Si R es un anillo de valoración discreto con campo cociente K, entonces el módulo Matlis es K / R . En el caso especial en el que R es el anillo de p -números ádicos , el dual de Matlis de un módulo generado finitamente es el dual de Pontryagin considerado como un grupo abeliano localmente compacto .
Si R es un anillo local de Cohen-Macaulay de dimensión d con módulo de dualización Ω, entonces el módulo de Matlis viene dado por el grupo de cohomología local Hdr
(Ω). En particular, si R es un anillo local artiniano, entonces el módulo Matlis es el mismo que el módulo dualizador.
La dualidad de Matlis se puede explicar conceptualmente utilizando el lenguaje de funtores adjuntos y categorías derivadas : [1] el functor entre las categorías derivadas de R y k módulos inducido al considerar un k módulo como un R módulo, admite un adjunto derecho ( Hom interno derivado )
Este adjunto derecho envía el casco inyectivo mencionado anteriormente a k , que es un objeto dualizador en . Este hecho abstracto da lugar entonces a la equivalencia antes mencionada.