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dualidad matlis

En álgebra , la dualidad de Matlis es una dualidad entre módulos artinianos y noetherianos sobre un anillo local noetheriano completo . En el caso especial en el que el anillo local tiene un campo [ se necesita aclaración ] que se asigna al campo residual, está estrechamente relacionado con trabajos anteriores de Francis Sowerby Macaulay sobre anillos polinómicos y a veces se le llama dualidad de Macaulay , y el caso general fue introducido por Matlis  ( 1958).

Declaración

Supongamos que R es un anillo local completo noetheriano con campo residual k y elija E como una carcasa inyectiva de k (a veces llamado módulo Matlis ). El dual DR ( M ) de un módulo M se define como Hom R ( M , E ). Entonces , la dualidad de Matlis establece que el funtor de dualidad DR da una antiequivalencia entre las categorías de módulos R artinianos y noetherianos . En particular, el functor de dualidad proporciona una antiequivalencia de la categoría de módulos de longitud finita a sí mismo.

Ejemplos

Supongamos que el anillo local completo noetheriano R tiene un subcampo k que se asigna a un subcampo de índice finito de su campo residual R / m . Entonces el dual de Matlis de cualquier R -módulo es simplemente su dual como espacio vectorial topológico sobre k , si al módulo se le da su m -topología ádica. En particular, el dual de R como espacio vectorial topológico sobre k es un módulo Matlis. Este caso está estrechamente relacionado con el trabajo de Macaulay sobre anillos polinomiales graduados y a veces se le llama dualidad de Macaulay.

Si R es un anillo de valoración discreto con campo cociente K, entonces el módulo Matlis es K / R . En el caso especial en el que R es el anillo de p -números ádicos , el dual de Matlis de un módulo generado finitamente es el dual de Pontryagin considerado como un grupo abeliano localmente compacto .

Si R es un anillo local de Cohen-Macaulay de dimensión d con módulo de dualización Ω, entonces el módulo de Matlis viene dado por el grupo de cohomología local Hdr
(Ω). En particular, si R es un anillo local artiniano, entonces el módulo Matlis es el mismo que el módulo dualizador.

Explicación mediante funtores adjuntos

La dualidad de Matlis se puede explicar conceptualmente utilizando el lenguaje de funtores adjuntos y categorías derivadas : [1] el functor entre las categorías derivadas de R y k módulos inducido al considerar un k módulo como un R módulo, admite un adjunto derecho ( Hom interno derivado )

Este adjunto derecho envía el casco inyectivo mencionado anteriormente a k , que es un objeto dualizador en . Este hecho abstracto da lugar entonces a la equivalencia antes mencionada.

Ver también

Referencias

  1. ^ Paul Balmer , Ivo Dell'Ambrogio y Beren Sanders. Dualidad Grothendieck-Neeman y isomorfismo de Wirthmüller, 2015. Ejemplo 7.2.